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Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
02-03-13 à 11:11

Bonjour à tous,

Certains nombres entiers ont la particularité de pouvoir être créés à partir des seuls chiffres qui le composent. Nous les appellerons les nombres auto-générateurs.

Par exemple, 32768 = \dfrac{(3-2+7)^6}{8}

Ou encore : 729 = (7+2)^\sqrt{9}

Pour qu'un nombre puisse être qualifié d'auto-générateur, il faut utiliser ses chiffres individuellement et dans l'ordre où on les lit (de gauche à droite).
Chaque chiffre doit être utilisé autant de fois qu'il apparaît dans le nombre.

On peut utiliser les signes mathématiques usuels (y compris la virgule) mais attention à l'ordre dans lesquels on écrit les chiffres.
Notamment, si on veut utiliser une fraction, le numérateur est lu avant le dénominateur.
Par exemple, la séquence 56 pourra donner 5/6 mais pas 6/5.
Pour vérifier que les chiffres sont dans l'ordre, il est recommandé de lire l'expression à voix haute.

Précisions :
- on n'écrit pas le chiffre 2 pour la racine carrée.
- pour pouvoir utiliser le chiffre 0, il faut qu'il apparaisse explicitement dans le nombre.

Question : Trouvez au moins un nombre auto-générateur strictement supérieur à 10 et différent des exemples donnés dans l'énoncé.

Merci à Nicolas_75 qui m'a soufflé l'idée pour cette joute.

Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs

Posté par
totti1000
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 11:21

gagnéSalut Godefroy,

343=(3+4)^3.

Merci pour l'énigme.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 11:22

gagné736 est un nombre autogénérateur:
7 + 3^6 = 7 + 729 = 736

Posté par
panda_adnap
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 11:27

gagné4096 = 4^(0*9+6)

Posté par
manpower
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 11:36

perduBonjour,

je propose 16384 = 16^3 \times 8/\sqrt{4}

Merci pour l'énigme.

On va avoir une sacrée collection vue la largeur de recherche laissée...

Posté par
dpi
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 11:40

gagnéBpnjour

si j'ai compris...

(3/1 +2)^5=3125 dans mon latex  5 lire puissannce

Posté par
masab
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 11:47

gagnéBonjour,

Voici un nombre auto-générateur strictement supérieur à 10 et différent des exemples donnés dans l'énoncé :

343 = (3+4)^3

Merci pour cette énigme un peu trop simple !

Posté par
torio
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 12:52

gagné7 + 36 = 736

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 13:12

gagnéBonjour Godefroy,

Pour le plaisir d'écrire en latex:

99 999 999= (9+\frac{9}{9}) (9-\frac{9}{9}) - \frac{9}{9}


Merci pour la joute

Posté par
rogerd
autogenerateurs 02-03-13 à 14:34

gagnéBonjour à tous et merci à Godefroy

Je n'ai à proposer qu'un exemple affreusement tiré par les cheveux:

16 777 216 (c.a.d. 16 puissance 6).

qu'on peut écrire

((((1+6+7)*7)/7+2)/1)^^6

Posté par
torio
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 15:34

gagnéil y a encore ici

Posté par
Chatof
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 15:40

gagné343=(3+4)3
343=(3+4)^3
Comme beaucoup je présume.
Bonjour,
et merci Godefroy_lehardi

Posté par
Chatof
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 17:01

gagnéPour le plaisir :
9!
362880=(3+6)!+(2+8-8)*0
26!:
403291461126605635584000000=(4*0+3+2+9+1+4+6+1)!+(1+2+6+6+0+5+6+3+5+5+8+4+0+0+0+0+0)*0

Il y a un record avec des nombres qui se suivent mais je ne le retrouve pas.
Sinon voir:

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/Friedman.htm

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 17:08

gagnéBonjour Godefroy, et chapeau ...

(7-5+9-3+7)5 = 759375

Posté par
geo3
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 18:35

gagnéBonjour
Je propose 343 = (3+4)3
A+

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 18:55

gagné343 = (3+4)3
J'avoue avoir louché sur 729
Merci godefroy_lehardi et Nicolas_75 pour cette joute.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 19:04

gagnéUn peu plus compliqué :
2985984 = (2(9/8 + 5))98/4

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 19:07

gagnéoups trop tard !
2985984 = (2(9-8+5))98/4

Posté par
Alishisap
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 20:18

gagnéBonjour et merci pour l'énigme !
En voici un par exemple :

343=(3+4)^3

À bientôt !

Posté par
Spemath
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 02-03-13 à 20:26

gagnéTrouvé en - 10 min :

(racine de 4 )-2-9+4+9+6+7+2+9+6 = 4294967296

Posté par
Diablow
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 03-03-13 à 08:03

gagnéBonjour,

Pourquoi faire simple quand on peut compliqué ? J'ai l'impression que 100! avec ses 158 chiffres en base 10 est un bon candidat:

93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000=(9+3+3+2+6+2+1+5+4+4+3+9+4+4+1+5+2+6+8-1+6-9+9+2+3+8+8+5+6+2+6+6+7+0+0+4-9-0-7-1-5-9-6-8+2-6-4-3-8-1-6-2-1-4-6-8-5-9-2-9-6-3-8-9-5-2-1-7-5-9-9-9-9-3-2-2-9-9-1-5-6-0-8-9-4-1-4
+6+3+9+7+6+1+5+6+5+1+8+2+8+6+2+5+3+6+9+7+9+2+0+8+2+7+2+2+3+7+5+8+2+5+1+1+8+5+2+1+0+9+1+6+8+6+4+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0)!


Un ptit coup d'excel, deux/trois itérations et l'affaire est dans le sac...
Je vais réfléchir un peu mais je pense que tous les n! sont autogénérateurs à partir d'un certain rang..

Merci pour cette énigme en tout cas...

Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs

Posté par
Diablow
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 03-03-13 à 08:58

gagnéPour reprendre la dernière question de mon post précédent
1) Existe-il une infinité de nombres autogénéraeurs en base 10 ?
2) Est-ce que les N! à partir d'un certain rang pourraient faire l'affaire pour prouver cela ?

Je pense que la réponse est "oui" aux deux questions.

N!= a1a2a3a4.... ap00000000

En gros, une factorielle est un nombre avec des chiffres pas tous nuls sur la gauche et une ribambelle de zéros sur la droite. En effet, au fur et à mesure que N grandit, le nombre de zéros croit (démonstration plutôt facile :  nbre de multiples de 5 inférieurs à N).  

Pour trouver une forme autogénérée de N!, on va chercher à obtenir N avec une expression de la forme suivante : somme(bi si) +/- 0! +/- 0! ... +/- 0! + 0 + 0 ...+ 0
avec si vaut -1 ou 1
et bi=ai si ai<>0 ou bi=ai!=1 si ai=0


Question n°1:
Est-ce que l'on arrive à atteindre N avec l'ensemble des chiffres non nuls de N ?
La réponse est "oui" car pour 100! on a déjà 158 chiffres à disposition et donc au minimum 158 x 1 (puisque on peut transformer les zéros en 1 avec 0!=1).

Question n°2
Comment arriver exactement à N avec le cumul des bi ?
En partant de la gauche, on cumule les bi jusqu'à dépasser N. Dès que le cumul dépasse N, on soustrait bi. Et on continue le processus. Jusqu'à arriver dans la zones des zéros finals. Des que le cumul vaut N, on ajoute 0. Il est facile de montrer qu'à partir d'une certaine valeur de N, il y a assez de zéro en fin de N! pour atteindre N.

Posté par
gabylu
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 03-03-13 à 14:54

gagnéJe ne suis pas sûr que ça fonctionne, mais bon...

15 = 5i=1 i

Merci pour cette joute !

Posté par
SupHighMe
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 03-03-13 à 23:35

gagnéBonjour, voici un nombre auto-générateur strictement supérieur à 10 :

3125 = (3*1+2)^5

Posté par
LeDino
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 04-03-13 à 01:12

gagnéBonjour,

Je propose le nombre :  5040 = (5 + 0 + \sqrt 4 + 0)!

Je parie mon solex contre une rolex, que je ne serai pas le seul à proposer ce nombre ...

Posté par
Kidam
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 04-03-13 à 07:31

gagnéBonjour Bertrand Renard !

Je propose :

3125 = (3 × 1 + 2)^5

Merci

Posté par
moor
un nombre trouvé 04-03-13 à 08:12

gagnéBonjour, voici le nombre que j'ai trouvé 9765625 = (9+7+6-5+6+2)⁵ . Vous trouvez que c'est un peu grand le nombre ? Moi aussi. Mais, j'ai pas eu de mal a le touver si ce n'est que le hazard ; 25⁵. Le seul effort que j'ai fournit c'est de trouver une combinaison entre les différents chiffres à part celui de l'unité pour avoir le 25. Et voilà... Enfin je remercie notre ami lehardi pour la joute.

Posté par
pdiophante
joute n°102 04-03-13 à 14:02

perduBonjour,

Quelques exemples:
127 = - 1 + 27
343 = (3+4)3
736 = 7 + 36
.....
137797 = (1 + 37*7)*9 + 7
.....
jusqu'au nombre pandigital à 9 chiffres
268435179 = -268 + 4(3*5-1^7) - 9 avec 1^7 = 17.

Pour une grande variété de nombres auto-générateurs, voir:
http://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html

Posté par
rschoon
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 04-03-13 à 16:04

gagnéBonjour à tous.

Ma réponse :

6495 = (64 + 9) x 5

Merci pour l'énigme

Posté par
ksad
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 05-03-13 à 10:13

gagnébonjour
le plus simple que j'aie pu trouver est sans doute
343 = (3+4)^3

mais il en existe beaucoup beaucoup d'autres -- plus ou moins tordus, bien sûr, par exemple
3125 = (3+1\times2)^5
4096 = (4+0\times9)^6
6859 = (6+8+5)^\sqrt{9}

je table sur l'imagination fertile des mathiliens, qui devrait nous en faire découvrir beaucoup d'autres...

Posté par
frenicle
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 05-03-13 à 11:13

gagnéBonjour Godefroy

Je propose 2048=2^{(-0!+4+8)}      (=2^{11})

Posté par
Kidam
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 05-03-13 à 15:46

gagnéEn fait, en utilisant les puissances, il est assez facile de trouver une foultitude de solutions à cette énigme, voire des expressions de plus en plus longues :

1 414 067 010 444 416=((1+4-1)^4+0-6×7+0-10×4×4×4-4)^{1+6}
 \\

Posté par
Kidam
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 05-03-13 à 15:47

gagnéZut, il manque un signe puissance entre le 1 et le 0 (et non 10)

Posté par
raf38
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 06-03-13 à 11:56

gagnéBonjour

Je propose : (3^1+2)^5=3125

Posté par
Surb
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 08-03-13 à 17:42

gagnéBonjour,

Je propose
1953125 = (1+9-5)^{\sqrt{3+1}+2+5}

Je me réjouis de voir si quelqu'un a pu trouver une suite de nombre auto-générateurs.

Merci pour l'énigme!

Posté par
nazzzzdaq
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 10-03-13 à 20:47

perdu(7-5+9-3+7)^5
(9+7+6-5+6+2)^5
(5*2+5*2+1*8+7)^5
(18+45+(2-8)*(1+2))^5
(50+3+2+8-4+3-7)^5
(1*1-60/2+90+6-2)^5
...

Posté par
Luc1408
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 12-03-13 à 21:30

gagnéBonjour !

Je propose

823543 = ((8-2)/3+5)^(4+3)

Merci pour l'énigme !

Posté par
Maitreidmry
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 12-03-13 à 23:46

gagnéMa réponse : 6859=(6+8+5)^{\sqrt{9}}

Posté par
destran
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 13-03-13 à 16:10

gagnéBonjour

Un système avec des puissances :
262144 = 2(6x(2+1)+4-4))
Merci

Posté par
green
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 14-03-13 à 16:09

perdu1 953 125=(1+9_5)^{3-1+2+5}

Posté par
green
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 14-03-13 à 16:10

perdupardon,
1\ 953\ 125=(1+9+5)^{3-1+2+5}

Posté par
brubru777
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 14-03-13 à 19:11

gagnéBonjour,

Je ne sais pas si la fonction exponentielle est autorisée. Au risque de me prendre un poisson, je dirais
2048 = 2^{(-exp(0)+4+8)}

Merci pour l'énigme.

Posté par
mrcha
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 16-03-13 à 15:56

gagnéVoilà le miens

343 = (3+4)3

Posté par
sbarre
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 23-03-13 à 09:31

gagnéBonjour,

très inspiré du 1er exemple et (sans doute ) juste avant le gong:

16384 = ((1+6-3)^8)/4.

Merci

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 24-03-13 à 09:26

Clôture de l'énigme :

Je me doutais bien que le concept devait déjà exister.
C'est vrai qu'elle n'était pas très compliquée. Mais certains ont trouvé des nombres très intéressants.

Quel dommage pour Diablow Les erreurs de signes, quelle plaie !

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 24-03-13 à 13:38

En fait, la réponse de Diablow est juste.
C'est moi qui me trompe dans les signes.
Désolé.

Posté par
Diablow
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 24-03-13 à 14:09

gagnéBonjour,
d'un autre cote j'avais tout fait avec excel et copier/coller donc ça n'étonnait un peu...
Merci pour cette injustice réparée

Posté par
pdiophante
joute n°102 24-03-13 à 22:09

perduBonjour,

Je veux juste comprendre pourquoi les nombres que j'ai proposés sont faux...
Merci d'avance pour la réponse.

Posté par
frenicle
re : Joute n°102 : Les nombres auto-générateurs 24-03-13 à 22:40

gagné@ pdiophante

C'est probablement ton nombre pandigital qui t'a valu le poisson car il ne respecte pas la consigne : 268 ne va pas, il faudrait que les chiffres 2, 6 et 8 soient utilisés individuellement.

Les autres propositions me semblent correctes, par contre.

Posté par
pdiophante
joute n°102 25-03-13 à 07:02

perduFrenicle,

Merci beaucoup pour votre réponse.
Moralité: ne faire des excès de zèle qu'à bon escient

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