9

A+
torio

Bonjour godefroy,

La somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 666^999 est 9 .
Merci pour cette énigme calculatoire...

9

Qui a dit "Lent"?

Bonjour Godefroy,

18 est la somme des chiffres de 12942 qui est la somme des chiffres de 666^999.

Merci pour la joute

Bonjour

Je propose 18.

Salut,
En usant de division euclidienne, j'ai utilisé l'algorithme suivant sur Maple:

S := proc (n::integer)
local m, som;
som := 0;
m := n;
while m <> 0 do
som := som+irem(m, 10);
m := iquo(m, 10)
end do;
som;
end proc

Il ne reste plus qu'à entrer:

Le résultat est:

Merci pour cette énigme!

Bonjour,

réponse avec Maple immédiate : 9

Mais peut-être y'avait-il une façon mathématique d'y arriver...

Merci pour l'énigme !

Bonjour,

Je propose 9.

Bonjour,

Une telle puissance doit avoir 2814 chiffres
donc +2+8+1+4 =15 et 1+5 =6
sauf diablerie bien sûr

Bonjour à tous.

Ma réponse : 9.

Merci pour l'énigme.

Après moult calculs, je me suis rendu compte que la somme cherchée était égale à 9 , règle de 3 (ou de 9)oblige...

Bonjour,

Je dirais 9. Mais je ne suis pas sûr...

Merci pour l'énigme. _{Plutôt frit le poisson...}


Mathist.

Bonjour et merci pour la joute !

La réponse est 9. Un petit programme donne facilement la réponse.

666⁹⁹⁹ 12942
1942 18
18 9

Bonjour,

La somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de

44746074474547264933593194165099432404237415975770205612663760728541297147172419592597495645257176199004234877954114605486838775141237482684019
41755524345933065473959224815487340237834330754282365289532408174206105592577360014415762249408019910594156663530076792570003948794545471997679
41927219866725015397817989967007641664398177075696270750422044472442453405693009242134908646935779471762038730403155814589121604990052776114969
82687548172608067862869626422682993508093382323475421472534331639442101614014438381599517089019198580976235457348338317103281933757855557545149
30239011119127525338001505031897833912974709161963016428484809533206182015093887071571173683851436661246990875809643071084880178822567819467392
67912825795784670457843796772752373157829582569312865839584445831370886495581029723268569894913158668545752566788128206906580454425388877688144
46148408360305681240952130228984056311580234497424759222276030875501050749037753875554179237161426251513556262391082632581608356468121288578937
63907595993138885975296842988403974037997946251631719631576993290234178719541755592518579309137740831014216781254746190922903248708199045697271
23695172986621866478340816850445767619523980776106606947794032518193212901533139765996339774239788157042483936421138611700998768612646976317013
79297490766085936121904348764517138167380363560853160824326964527698138800979960965136229415909594769837070434643947052127152036471108168682944
71097347653606427989262266513632334207475288627224429501565675209149266438196399654206722853382744559873525560549871480467235234511503323263795
81810531781103886948026954504398644620224615724832514438862149535244693413889773790994249270728131924651735183184597948868754306147147996724687
56260682990805625138712693000694219112576876039198119595588498147960458904737330717980890150000200007504535931168139919501545705036907789696345
28463782778044182951338196687728888560345551815982256013171038579986962641740500230533027913560797619417972378472229910425849907488417476462746
11590126913959179837345508431089012609087511805973819415312570211392777048193378440633982455642118793227433317792954829671560939278117479601400
26699052755799044486761219064588189330508952453722774900631760358736209232182447359637912099957378260748429930372480996593758323262276378279801
92884337861593081119151005651142118849184988399987360979048120102957177267381543463206917435049907652523592980570026309637430592246957037503490
47829014405132724889726673644031546208767144720191219947646012863381869224666619043365335513835108845107355668606596903656788081306101019131305
68295690484181375772429614243572496358927862412670061931543701052474115611507341417624545021556243601155947279895374495865784524525589318343231
40609575718178516819956968982507699353779883889709693397109111372356640550978649156642535329403487911936

est égale à 9
Merci pocketcas !

édit Océane : retours à la ligne

Bonsoir
La somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 666⁹⁹⁹ =  la somme des chiffres de la somme des chiffres de 12942 =  la somme des chiffres de 18 = 9
A+

Salut godefroy,

Je propose 9.

Merci.

j'ai trouvé pour 666exp999 un nombre a 2747 chiffres, dont
la somme des chiffres vaut : 12203
la somme des chiffres de la somme des chiffres  : 8
la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme de la somme des chiffres : 8

travail dans xls par décomposition des résultats en tranche de 15 chiffres (division par 10exp15 et gestion du reste)

Bonjour,

La somme des chiffres des puissance de 666
donne toujours un total égal à 9 .

Bien sûr comme cela me paraissait évident ,
j'ai fait la somme de la somme du nombre de chiffres de 666^999 et comme l'exposant
est 2813 (à vérifier) cela donne 2814 chiffres dont
la somme est 15 et 1+5 = 6 chiffre diabolique
cela fait une belle énigme ....

la somme des chiffres de 666⁹⁹⁹  est donc 6+6+6+9+9+9=45

d'où la réponse finale est 9.

Mais c'est trop simple !!!!!

ou simplement diabolique

en fait ça doit être la somme des chiffres de l'écriture décimale de 666⁹⁹⁹

où un petit algol et un gros PC permettent de répondre.

Mais je vais maintenir ma première réponse  9  , car tout le monde a du répondre avec la somme de l'écriture décimale...

Bonjour Godefroy.
9

Bonjour
La somme de l'écriture décimale de 666⁹⁹⁹=12942 merci maple diaboliquement efficace :

> n := 666^999; s := 0; while n > 0 do k := `mod`(n, 10); s := s+k; n := (n-k)*(1/10) end do; `somme ` = s;

                         somme  = 12942


la somme des chiffres de 12942 est 18

la somme des chiffres de 18 est 9.


REPONSE : 9

Diabolique en effet...

Bonsoir,
Je propose comme réponse :
9

En effet, :
X = 666⁹⁹⁹ = (666³⁷) ²⁷  = [2.94* 10¹⁰⁴] ²⁷  = 4.42 * 10¹² * 10²⁸⁰⁸ = 4.42 * 10²⁸²⁰
Le nombre X est formé de 2821 chiffres, soit S₁ leur somme.
S₁ <2821*9
S₁ <25839
X  est multiple de 9, donc la somme S₁  des 2821 chiffres est un multiple de 9 .
La somme S₂ des chiffres de S₁ est inférieure à 45 puisque S₁ est un nombre à 5 chiffres ;  c'est aussi un multiple de 9.
Valeurs « théoriquement » possibles de S₂ : {36 ; 27 ; 18 ; 9}
S₃ somme des chiffres de S₂ est nécessairement 9.

Belle énigme, merci !

Je propose 9 !
Merci pour l'énigme

Bonjour
je dirais 9 en remerciant wolfram (4474607447454726493359319416509943240423741597577020561266376072854129714717241959259749564525717619900423487795411460548683877514123748268401941755524345933065473959224815487340237834330754282365289532408174206105592577360014415762249408019910594156663530076792570003948794545471997679419272198667250153978179899670076416643981770756962707504220444724424534056930092421349086469357794717620387304031558145891216049900527761149698268754817260806786286962642268299350809338232347542147253433163944210161401443838159951708901919858097623545734833831710328193375785555754514930239011119127525338001505031897833912974709161963016428484809533206182015093887071571173683851436661246990875809643071084880178822567819467392679128257957846704578437967727523731578295825693128658395844458313708864955810297232685698949131586685457525667881282069065804544253888776881444614840836030568124095213022898405631158023449742475922227603087550105074903775387555417923716142625151355626239108263258160835646812128857893763907595993138885975296842988403974037997946251631719631576993290234178719541755592518579309137740831014216781254746190922903248708199045697271236951729866218664783408168504457676195239807761066069477940325181932129015331397659963397742397881570424839364211386117009987686126469763170137929749076608593612190434876451713816738036356085316082432696452769813880097996096513622941590959476983707043464394705212715203647110816868294471097347653606427989262266513632334207475288627224429501565675209149266438196399654206722853382744559873525560549871480467235234511503323263795818105317811038869480269545043986446202246157248325144388621495352446934138897737909942492707281319246517351831845979488687543061471479967246875626068299080562513871269300069421911257687603919811959558849814796045890473733071798089015000020000750453593116813991950154570503690778969634528463782778044182951338196687728888560345551815982256013171038579986962641740500230533027913560797619417972378472229910425849907488417476462746115901269139591798373455084310890126090875118059738194153125702113927770481933784406339824556421187932274333177929548296715609392781174796014002669905275579904448676121906458818933050895245372277490063176035873620923218244735963791209995737826074842993037248099659375832326227637827980192884337861593081119151005651142118849184988399987360979048120102957177267381543463206917435049907652523592980570026309637430592246957037503490478290144051327248897266736440315462087671447201912199476460128633818692246666190433653355138351088451073556686065969036567880813061010191313056829569048418137577242961424357249635892786241267006193154370105247411561150734141762454502155624360115594727989537449586578452452558931834323140609575718178516819956968982507699353779883889709693397109111372356640550978649156642535329403487911936) et dcode (somme initiale égale 12942)

La réponse est 9.
Merci, bonne soirée.

La somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 666⁹⁹⁹ est égale à 9.

La somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 666⁹⁹⁹ est 9.

L'opération somme des chiffres conserve la congruence à 9. Et en l'appliquant suffisamment de fois on obtient un chiffre.

.

Je n'ai pas pu prouver que l'opération est appliquée suffisamment de fois (19999999999999999999999 < 666⁹⁹⁹ et appliquer 3 fois l'opération donne 10) mais on peut calculer la réponse très rapidement et facilement avec un tout petit programme en calculant les valeurs explicitement. En python, on dépasse la seconde de calcul à partir de 5 '9' (666⁹⁹⁹⁹⁹) qui donne aussi 9.

Bonjour,

sans certitude, mais je prends le risque de répondre :

9

merci pour cette énigme.

Bonjour,

Le résultat de 666^999 (codé en base 10) comporte 999log(666)=2821 chiffres
666^999 étant divisible par 9, la somme de ces 2821 chiffres l'est aussi.
Cette somme vaut au maximum 2821*9=25389, et est divisible par 9
La somme des chiffres d'un nombre inférieur à 25389 et divisible par 9, vaut au maximum 1+4*9=37, et est divisible par 9.
La somme des chiffres d'un nombre inférieur à 37 et divisible par 9 vaut 9.

La réponse à la question est donc : 9

Une énigme très sympa...

A bientôt

Bonjour,
C'est un 9 de Pâques

Bonjour,

Je trouve 9.

Le programme python qui me donne le résultat (c'est le langage qu'on étudie en prépa ^^) :

def somme(N):
    s = 0
    while N != 0:
      s = s + N % 10
      N = N // 10
    return s
print(somme(somme(somme(666**999))))

Voila

Bonjour,

En extrapolant depuis la somme des chiffres de la somme des chiffres de (ça fait une grosse extrapolation, mais bon....) je propose 9.

9

Je propose le chiffre 9.
Apparemment, la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de toutes les puissances de 666 (du moins les puissances < 1000) fait toujours 9.

Dans le cas précis qui nous occupe, la 999è puissance de 666 fait 4474607447454726493359319416509943240423741597577020561266376072854129714717241959259749564525717619900423487795411460548683877514123748268401941755524345933065473959224815487340237834330754282365289532408174206105592577360014415762249408019910594156663530076792570003948794545471997679419272198667250153978179899670076416643981770756962707504220444724424534056930092421349086469357794717620387304031558145891216049900527761149698268754817260806786286962642268299350809338232347542147253433163944210161401443838159951708901919858097623545734833831710328193375785555754514930239011119127525338001505031897833912974709161963016428484809533206182015093887071571173683851436661246990875809643071084880178822567819467392679128257957846704578437967727523731578295825693128658395844458313708864955810297232685698949131586685457525667881282069065804544253888776881444614840836030568124095213022898405631158023449742475922227603087550105074903775387555417923716142625151355626239108263258160835646812128857893763907595993138885975296842988403974037997946251631719631576993290234178719541755592518579309137740831014216781254746190922903248708199045697271236951729866218664783408168504457676195239807761066069477940325181932129015331397659963397742397881570424839364211386117009987686126469763170137929749076608593612190434876451713816738036356085316082432696452769813880097996096513622941590959476983707043464394705212715203647110816868294471097347653606427989262266513632334207475288627224429501565675209149266438196399654206722853382744559873525560549871480467235234511503323263795818105317811038869480269545043986446202246157248325144388621495352446934138897737909942492707281319246517351831845979488687543061471479967246875626068299080562513871269300069421911257687603919811959558849814796045890473733071798089015000020000750453593116813991950154570503690778969634528463782778044182951338196687728888560345551815982256013171038579986962641740500230533027913560797619417972378472229910425849907488417476462746115901269139591798373455084310890126090875118059738194153125702113927770481933784406339824556421187932274333177929548296715609392781174796014002669905275579904448676121906458818933050895245372277490063176035873620923218244735963791209995737826074842993037248099659375832326227637827980192884337861593081119151005651142118849184988399987360979048120102957177267381543463206917435049907652523592980570026309637430592246957037503490478290144051327248897266736440315462087671447201912199476460128633818692246666190433653355138351088451073556686065969036567880813061010191313056829569048418137577242961424357249635892786241267006193154370105247411561150734141762454502155624360115594727989537449586578452452558931834323140609575718178516819956968982507699353779883889709693397109111372356640550978649156642535329403487911936

... dont la somme des chiffres est 12942
la somme des chiffres de la somme des chiffres est alors 18
et la somme de la somme de la somme fait donc 9.
Merci pour cette joute diabolique !!

9
Merci

Bonjour,
Je trouve comme
première somme : 12942
deuxième somme : 18
Troisième somme : 9

La réponse est : 9

bonjour

la somme des chiffres S₁ 24993
La somme des chiffres de S1, S2 27.
La somme des chiffres de S2, S3 9.

Ne serait-ce pas son résidu?

Somme 12942

Somme de la somme 18

je pense que c'est 9

Bonjour,
Je pense (en espérant que le ciel ne me tombe pas sur la tête) que la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 666⁹⁹⁹est 9!

rebonjour...

ça, il fallait s'y attendre... On a
666^999 = 4474607447454726493359319416509943240423741597577020561266376072854129714717241959259749564525717619900423487795411460548683877514123748268401941755524345933065473959224815487340237834330754282365289532408174206105592577360014415762249408019910594156663530076792570003948794545471997679419272198667250153978179899670076416643981770756962707504220444724424534056930092421349086469357794717620387304031558145891216049900527761149698268754817260806786286962642268299350809338232347542147253433163944210161401443838159951708901919858097623545734833831710328193375785555754514930239011119127525338001505031897833912974709161963016428484809533206182015093887071571173683851436661246990875809643071084880178822567819467392679128257957846704578437967727523731578295825693128658395844458313708864955810297232685698949131586685457525667881282069065804544253888776881444614840836030568124095213022898405631158023449742475922227603087550105074903775387555417923716142625151355626239108263258160835646812128857893763907595993138885975296842988403974037997946251631719631576993290234178719541755592518579309137740831014216781254746190922903248708199045697271236951729866218664783408168504457676195239807761066069477940325181932129015331397659963397742397881570424839364211386117009987686126469763170137929749076608593612190434876451713816738036356085316082432696452769813880097996096513622941590959476983707043464394705212715203647110816868294471097347653606427989262266513632334207475288627224429501565675209149266438196399654206722853382744559873525560549871480467235234511503323263795818105317811038869480269545043986446202246157248325144388621495352446934138897737909942492707281319246517351831845979488687543061471479967246875626068299080562513871269300069421911257687603919811959558849814796045890473733071798089015000020000750453593116813991950154570503690778969634528463782778044182951338196687728888560345551815982256013171038579986962641740500230533027913560797619417972378472229910425849907488417476462746115901269139591798373455084310890126090875118059738194153125702113927770481933784406339824556421187932274333177929548296715609392781174796014002669905275579904448676121906458818933050895245372277490063176035873620923218244735963791209995737826074842993037248099659375832326227637827980192884337861593081119151005651142118849184988399987360979048120102957177267381543463206917435049907652523592980570026309637430592246957037503490478290144051327248897266736440315462087671447201912199476460128633818692246666190433653355138351088451073556686065969036567880813061010191313056829569048418137577242961424357249635892786241267006193154370105247411561150734141762454502155624360115594727989537449586578452452558931834323140609575718178516819956968982507699353779883889709693397109111372356640550978649156642535329403487911936

un nombre de 2821 chiffres et dont la somme fait 148350
la somme des 6 chiffres de148350 vaut 309
ainsi la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 666999 vaut 12

tant pis.... au moins j'aurais appris deux ou trois choses en route

Merci

2

Bonjour, la somme des chiffres de 666^999 est égale à 12942, la somme des chiffres de la somme des chiffres est égale à 18 et la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 666^999 est égale à 9.

Conclusion: Pour conjurer la prophétie, il faudra allumer exactement neuf bougies au même moment à travers le monde.

Bonne journée

Bonjour,

je suis nouveau sur ce site, tombé par hasard sur cette énigme, via Google.

Soit N=666^999, alors log10(N) = 999*log10(666) = 2820,65
N a donc 2821 chiffres
la somme de ses chiffres est comprise entre 1 et 9*2821=25389 (5 chiffres)
la somme des chiffres de la somme des chiffres est donc comprise entre 1 et 9*5=45
la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres est comprise
entre 1 et 12 (maximum 3+9 atteint pour 39 entre 1 et 45)
Par ailleurs 666 et divisible par 9, et donc N également et par suite
la somme de ses chiffres et etc...

Le résultat doit donc être : 9

9

re-re-bonjour,

? je n'y comprends plus rien... mais en découvre toujours plus

Aurais-je eu raison dès le début? ....

on verra

on demontre aisement que la somme des chiffres de 666^p est divisible par 9 avec les congruences
666^999 < 1000^999 =10^(999*3)=10^2997
donc 666^999 comporte moins de 2997 chiffres
donc la somme de ses chiffres est inferieure a 2997*9=26973
le nombre dont la somme des chiffres est la plus grande et qui est inferieur a 26973 est 25999
donc la sommme des chiffres de la somme des chiffres de 666^999 est inferieure a 2+5+9+9+9=34

de meme on trouve que la sommme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 666^999 est inferieure a 2+9=11
le seul multiple de 9 inferieur a 11 est 9

reponse: 9

9
Il faut allumer 9 cierges.

x=la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de 666⁹⁹⁹
666⁹⁹⁹ <  1000⁹⁹⁹ =10^3*999
donc  la somme des chiffres de 666⁹⁹⁹ est inférieur  à 9*3*999=26973
la somme des chiffres d'un nombre inférieur à 26973 (26973<29999)  est inférieur  à 2+4*9=38
la somme des chiffres d'un nombre inférieur à 38 (38<39)  est inférieur  à 3+8=12 donc x<12
or 666 est un multiple de 9 donc   666⁹⁹⁹    est un multiple de 9  donc x est  un multiple de 9
donc x=0 ou x=9
666⁹⁹⁹0 donc x0
donc x=9


Bonjour et merci Godefroy_lehardi