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Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ?

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
31-07-14 à 14:14

Bonjour à tous,

L'égalité suivante est évidemment fausse : 1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9÷10 = 7

Mais si on met des parenthèses aux bons endroits, sans changer l'ordre des chiffres, elle peut devenir vraie.

Par exemple, (1÷2÷3÷4÷5) ÷ (6÷7÷8÷9÷10) = 7

En l'écrivant sous forme de fractions, c'est plus facile à lire.

\dfrac{1}{2\times3\times4\times5} ÷ {\dfrac{6}{7\times8\times9\times10}}=\dfrac{7\times8\times9\times10}{2\times3\times4\times5\times6}=7

Question : Existe-t-il une autre manière de placer des parenthèses (autant qu'on veut) pour rendre l'égalité vraie ?
Si vous pensez que non, précisez-le.
S'il existe plusieurs solutions, une seule suffira.

Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ?

Posté par
panda_adnap
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 31-07-14 à 14:49

gagnéPlusieurs solutions possibles.
Par exemple
1/(2/(3/(4/5/6/7/(8/9/10))))

Posté par
seb_dji
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 31-07-14 à 14:51

gagnéoui
exemple:
1÷(2÷(3÷(4÷5÷6÷7÷(8÷9÷10))))

Posté par
Raphi
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 31-07-14 à 15:03

gagnéSalut, je propose :

1/(2/(3/(4/5/6/7/(8/9/10))))=7

Posté par
masab
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 31-07-14 à 15:17

gagnéBonjour godefroy,

Autre manière de placer des parenthèses pour rendre l'égalité vraie :

1/((2/3)/4)/((5/6)/7)/8/(9/10) = 7

Merci pour cette énigme arithmétique assez simple à résoudre.

Posté par
littleguy
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 31-07-14 à 15:23

gagnéBonjour,

S'il s'agit de placements de parenthèses, je pense qu'il y a beaucoup de possibilités, par exemple :

(1)/(2/3)/(4/5/6/7/8)/(9)/(10)

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 31-07-14 à 15:41

perduMerci pour cette énigme "nœuds au cerveau"

Voici ma solution :

1: ( ( (2 : 3) : (4 : (5 : 6 : 7) ) : 8 : 9) : 10 )

(5 : 6 : 7) donne 5/(6*7)

(4 : (5 : 6 : 7) ) donne (4*6*7)/5

(4 : (5 : 6 : 7) ) : 8 : 9) donne (4*6*7)/(5*8*9)

((2 : 3) : (4 : (5 : 6 : 7) ) : 8 : 9) donne (2*5*8*9)/(3*4*6*7)

( ( (2 : 3) : (4 : (5 : 6 : 7) ) : 8 : 9) : 10 ) donne (2*5*8*9)/(3*4*6*7*10)

1: ( ( (2 : 3) : (4 : (5 : 6 : 7) ) : 8 : 9) : 10 ) donne (3*4*6*7*10)/ (2*5*8*9)=7

Posté par
sanantonio312
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 31-07-14 à 16:11

gagnéBonjour,
Après un paquet de noeuds au cerveau, je propose:
1/(2/3)/(4/5/6/7/8)/9/10

Posté par
rschoon
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 31-07-14 à 18:57

gagnéBonjour à tous.

Je propose : 1\div(2\div(3\div4)\div5\div6\div7\div8)\div9\div10 = 7

Merci pour l'énigme

Posté par
spelecameleon
réponse joute n°156 31-07-14 à 19:29

gagnébonjour,

Je propose

1/(2/3/4)/(5/6/7)/8/(9/10)=7

Cordialement

Posté par
lenain
7 31-07-14 à 21:40

gagnébonjour

voila une autre façon d'écrire 7

1/(2/3/4)/(5/6/7)/8/(9/10)

Posté par
manitoba
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 01-08-14 à 19:14

gagnéBonjour Godefroy,

Voici une solution en notation préfixée non parenthésée parmi 44.

/1/2/3////4567//89 10 ou 1÷(2÷(3÷( (((4÷5)÷6)÷7)÷((8÷9)÷10) ) ) )

Merci pour la recherche

Posté par
manitoba
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 01-08-14 à 19:16

gagnéVoici les autres: (codées en hexa)

/////12345////6789A          7.000000000000001
////1//234//5678/9A          7
////1/23////456789A          7.000000000000002
///1/////2/3456789A          7
///1////2/3/456789A          7
///1////23/45678/9A          7.000000000000002
///1///2/3//456789A          7
///1///23/4/5678/9A          6.999999999999998
///1//2/3///456789A          7.000000000000002
///1//23/4//5678/9A          7.000000000000001
///1//234//56/78/9A          7
///1/2/3////456789A          7.000000000000002
///1/23////4567/89A          7
//1/////2/34567/89A          7
//1////2/3/4567/89A          7
//1////23/456/78/9A          7.000000000000002
//1///2/3//4567/89A          7
//1///23/4/56/78/9A          6.999999999999998
//1//2/3///4567/89A          7
//1//23//4//5678/9A          7.000000000000001
//1//23/4//56/78/9A          7.000000000000001
//1//234///56//789A          7
//1//234//56//78/9A          7
//1/2//3////456789A          7.000000000000002
//1/2/3////4567/89A          7
//1/23////4567//89A          7
/1/////2/34567//89A          7
/1/////23/456//789A          7
/1////2/3/4567//89A          7
/1////23/4/56//789A          7
/1////23/456//78/9A          7
/1///2/3//4567//89A          7
/1///23///4//56789A          7
/1///23//4//56/789A          7
/1///23/4//56//789A          7
/1///23/4/56//78/9A          7
/1//2/3///4567//89A          7
/1//23///4//5678/9A          7
/1//23//4//56/78/9A          7
/1//23/4///56//789A          7
/1//23/4//56//78/9A          7
/1/2///3////456789A          7.000000000000002
/1/2//3////4567/89A          7
/1/2/3////4567//89A          7

Posté par
benmagnol
On s'est divisés mais on a trouvé ! 01-08-14 à 20:00

perduJe propose :
1/2/3/4/5/(6/7/8/9/10)
Merci pour cette enigme ma premiere résolue en partie en Python !

os.system("cls") #clearscreen
eureka=0

while eureka==0:
    liste1=[1, 2, 3, 4, 5, 6,8, 9,10]
    liste2=[]
    while len(liste1)>0:
        
    #    print liste1
        a=int(random()*10)+1
    #    print a
        if a in liste1:
    #        print 'cool'
            liste1.remove(a)
            liste2.append(a)
            
        
    #print liste1
    print liste2
    
    if liste2[0]*liste2[1]*liste2[2]*liste2[3]*liste2[4]==liste2[5]*liste2[6]*liste2[7]*liste2[8]:
        eureka=1

Posté par
benmagnol
Je suis un gros boulet 01-08-14 à 20:04

perduJ'ai posté l'énoncé c'est à se taper la tête contre les murs
voilà un poisson bien mérité !

Posté par
dpi
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 01-08-14 à 21:03

gagnéBonjour,

Il y a de nombreuses combinaisons dont
très peu qui aboutissent:

Je dirai:

12:3):[(4:5:6:7)8:9:10)]

Posté par
dpi
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 01-08-14 à 21:08

gagnéles viennent sournoisement remplacer les: (
ce  qui est logique
donc on doit lire 1/((2:3)((4:5:6:7)/(8:9:10))

Posté par
geo3
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 01-08-14 à 22:27

gagnéBonjour

Pas évident
Voici une solution possible

= 1/(2/(3/(4/5/6/7/(8/9/10))))
= .....
= 1/(2/(3/((4*9*10)/(5*6*7*8))))
= 1/(2/((3*5*6*7*8)/(4*9*10)))
= = 1/(2/14)
    3•5•6•7•8
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  = 7
    2•4•9•10
A+

Posté par
jonjon71
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 03-08-14 à 19:40

gagnéBonjour,

Par exemple :

1÷(2÷3)÷(4÷5÷6÷7÷8)÷9÷10 = 7

Merci.

Posté par
pdiophante
joute n°156 04-08-14 à 14:07

gagnéBonjour,

Réponse 1/(2/3)/(4/5/6/7/8)/9/10 = 7

Comme 2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 28*34*52*7, on doit avoir 24*32*5*7 au numérateur et 24*32*5 au dénominateur. Il en résulte que le couple (3,6) et le nombre 9 sont nécessairement de part et d'autre de la barre de fraction.Il en de même de 5 et de 10.Les nombres pairs peuvent se repartir de trois façons (4,6,10) vs (2,8) ou bien (8,10) vs (2,4,6) ou bien (6,8) vs (2,4,10) avec 2 qui est toujours au dénominateur.
La réponse qui est donnée 1/(2/3)/(4/5/6/7/8)/9/10 correspond à la fraction: 1*3*5*6*7*8/(2*4*9*10).

Bien à vous

Posté par
franz
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 04-08-14 à 21:12

gagnéJ'ai trouvé deux autres possibilités :

1÷(2÷(3÷(4÷5÷6÷7÷(8÷9÷10)))) et

1÷(2÷3÷(4÷(5÷6÷(7÷8÷(9÷10)))))

Posté par
ksad
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 05-08-14 à 11:24

gagnéBonjour
Voici une autre solution possible :

1 / (2 / 3 / 4) / (5 / 6 / 7) / 8 / (9 / 10) = 7

Merci pour la joute, et à très bientôt

Posté par
lentoefilat
Ah que coucou 05-08-14 à 17:10

gagnéBonjour

je trouve

1÷(2÷(3÷(4÷5÷6÷7÷8)))÷9÷10 = 7

Avec un peu de mauvais esprit, ne pouvait on pas aussi donner

((1÷2÷3÷4÷5) ÷ (6÷7÷8÷9÷10)) = 7 ?
C'est une autre maniere de poser les paretheses apres tout.

Merci pour l'enigme

Posté par
jgeneve
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 07-08-14 à 12:10

gagnéBonjour,
voici une autre solution:

1/((2/3)/4)/(5/6/7)/8/(9/10)

Ce qui est plus étonnant c'est que, contrairement à ce que dit excel ou xcas, pour la calculatrice windows ça ne fait pas 7 (tout comme l'énoncé d'ailleurs)!!!

Merci pour l'énigme

Posté par
pallpall
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 07-08-14 à 21:57

gagnéBonjour,
je propose la formule suivante :

1/(2/3/(4/(5/6/((7/8/(9/10))))))

Je sais qu'elle n'est pas très jolie, mais le résultat est là (enfin j'espère ).

Merci encore à vous.

Posté par
sbarre
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 08-08-14 à 11:00

perduBonjour,
comme la première parenthèse me semble totalement inutile et que la supprimer modifie l'écriture (placement différent de parenthèses!), je vais jouer la carte de la flemmardise (mais un bon mathématicien doit être fainéant me disait un de mes profs il y a longtemps-dans le sens de chercher la facilité bien sûr) et me contenter de  1÷2÷3÷4÷5÷(6÷7÷8÷9÷10) = 7

Merci pour cette énigme (que j'ai un peu galvaudée!).

Posté par
NervaL928
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 11-08-14 à 14:40

perdu(1 \div 2 \div 3 \div 4) \div 5 \div (6 \div 7 \div 8 \div 9 \div 10) = 7

Posté par
veleda
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 11-08-14 à 15:08

gagnébonjour,
merci pour cette joute
je propose
1: (2:3): (4:5:6:7:8):9:10

Posté par
torio
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 11-08-14 à 22:40

gagné1÷(2÷3)÷(4÷5÷6÷7÷8)÷9÷10


A+
Torio

Posté par
torio
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 12-08-14 à 11:51

gagnéAutre solution :

1÷(2÷3÷4)÷(5÷6÷7)÷8÷(9÷10)

A+ Torio

Posté par
LittleFox
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 19-08-14 à 18:41

gagnéIl existe deux autres manières de placer des parenthèses pour rendre l'égalité vraie :

1÷(2÷3)÷(4÷5÷6÷7÷8)÷9÷10 = \frac{3\times5\times6\times7\times8}{2\times4\times9\times10} = 7
1÷(2÷3÷4)÷(5÷6÷7)÷8÷(9÷10) = \frac{3\times4\times6\times7\times10}{2\times5\times8\times9} = 7

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 22-08-14 à 10:29

Clôture de l'énigme :

Il existait de nombreuses solutions (combien ?).

>>sbarre : c'est vrai que mon exemple comportait des parenthèses superflues mais il fallait quand même que l'organisation des calculs soit modifiée pour que la réponse soit acceptable (sinon, il aurait suffi d'ajouter des parenthèses à celles existantes)

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 22-08-14 à 10:32

Félicitations à panda_adnap pour sa 7ème victoire !

Bravo également à rschoon, masab, dpi, geo3, littleguy, lenain, spelecameleon et ksad pour leur sans-faute.

Posté par
masab
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 22-08-14 à 11:30

gagnéNervaL928 a aussi enlevé des parenthèses inutiles de la solution donnée dans l'énoncé puis ajouter des parenthèses tout aussi inutiles...

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 22-08-14 à 11:58

perduBonjour godefroy..
J'ai du mal à trouver mon erreur .. Peux tu m'éclairer ? Merci par avance.

Posté par
masab
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 22-08-14 à 13:36

gagnéEn réponse à Nofutur2

5/6/7 = 5/42
4/(5/6/7) = 168/5
(2/3)/(4/(5/6/7))/8/9 = 5/18144
((2/3)/(4/(5/6/7))/8/9)/10 = 1/36288
1/(((2/3)/(4/(5/6/7))/8/9)/10) = 36288

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 22-08-14 à 14:30

>> NervaL928 : désolé, j'avais corrigé trop vite.
cf ma remarque pour sbarre.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 22-08-14 à 20:35

perduVoici ma réponse :

Citation :
(5 : 6 : 7) donne 5/(6*7)

(4 : (5 : 6 : 7) ) donne (4*6*7)/5

(4 : (5 : 6 : 7) ) : 8 : 9) donne (4*6*7)/(5*8*9)

((2 : 3) : (4 : (5 : 6 : 7) ) : 8 : 9) donne (2*5*8*9)/(3*4*6*7)

( ( (2 : 3) : (4 : (5 : 6 : 7) ) : 8 : 9) : 10 ) donne (2*5*8*9)/(3*4*6*7*10)

1: ( ( (2 : 3) : (4 : (5 : 6 : 7) ) : 8 : 9) : 10 ) donne (3*4*6*7*10)/ (2*5*8*9)=7


Concernant ta réponse, je suis d'accord pour le début ;
4/(5/6/7) = 168/5
Mais après (ligne 3):
(4/(5/6/7))/8/9= 168/(5*8*9)=168/360
(2/3)/((4/(5/6/7))/8/9)= (2/3)/(168/360)=(2*360)/(3*168)=720/504
((2/3)/((4/(5/6/7))/8/9))/10=720/5040
1/(((2/3)/((4/(5/6/7))/8/9))/10)=1/(720/5040)=5040/720=7

Qu'en penses tu ??

Posté par
masab
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 22-08-14 à 21:17

gagnéDans ta 1ère réponse, il y a /(4 et non /((4

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 22-08-14 à 21:39

perduOui, c'est bien ma réponse "officielle" qui est la bonne.
(2/3)/(4/(5/6/7))/8/9)= (2/3)/(168/360)=(2*360)/(3*168)=720/504
Le problème reste donc entier.
C'est vraiment pour le principe car je suis loin des premiers .. et en particulier de panda_adnap que je félicite !!

Posté par
masab
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 22-08-14 à 21:48

gagnéTa réponse officielle est fausse car
1: ( ( (2 : 3) : (4 : (5 : 6 : 7) ) : 8 : 9) : 10 )
= 1/(((2/3)/(4/(5/6/7))/8/9)/10)
= 36288

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 22-08-14 à 21:59

perduMerci pour tes interventions masab.. Mais, ayant détaillé mes calculs, j'attends de godefroy qu'il me précise à quel niveau se trouve l'erreur..

Posté par
brubru777
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 22-08-14 à 22:37

Bonsoir,

Je ne suis pas godefroy mais
Ligne 4, il manque une ( au début de la ligne.

L'erreur se répercute ligne 5 où tu as mis une ( avant (2 : 3) pour rééquilibrer. Cette parenthèse aurait dû être placée avant le 4 et pas avant le 2. L'erreur est là. Du coup, l'expression ligne 5 ne correspond plus au calcul associé. Et cette erreur se propage aux lignes suivantes, forcément.

Posté par
brubru777
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 22-08-14 à 22:39

Ligne 3 et 4, pardon.

Ici -> (4 : (5 : 6 : 7) ) : 8 : 9) donne (4*6*7)/(5*8*9)

Posté par
brubru777
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 22-08-14 à 22:43

Et ici -> ((2 : 3) : (4 : (5 : 6 : 7) ) : 8 : 9) donne (2*5*8*9)/(3*4*6*7)
qui aurait dû être
(2 : 3) : ((4 : (5 : 6 : 7) ) : 8 : 9) donne (2*5*8*9)/(3*4*6*7)

Désolé pour le multi-post, j'ai glissé sur POSTER par erreur.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 22-08-14 à 23:50

perduAh ok.. Merci brubru
J'ai écrit
(4 : (5 : 6 : 7) ) : 8 : 9) donne (4*6*7)/(5*8*9)
alors qu'il fallait une simple parenthèse supplémentaire devant !!
((4 : (5 : 6 : 7) ) : 8 : 9) donne (4*6*7)/(5*8*9)
A quoi çà tient des fois ..

Posté par
dpi
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 23-08-14 à 07:32

gagnéBonjour,

Je suis surpris de voir qu'il n'y ait pas eu plus de
en utilisant : ( au lieu de /( :suivi de ( sans espace)

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°156 : L’île des maths, combien de divisions ? 23-08-14 à 11:03

Bonjour Nofutur2,

Désolé de n'avoir pas répondu.
J'ai vu que plein de monde s'en occupait déjà.
Dommage pour cette petite erreur.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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