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Joute n°57 : 4x4=2012

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
01-01-12 à 15:12

Bonjour à tous,

Tout d'abord, je vous souhaite une excellente année 2012. J'espère qu'elle verra tous vos vœux s'accomplir.

Joute n°57 : 4x4=2012

Pour bien commencer l'année, je vous propose un petit tour en quatre-quatre. Non, pas en voiture mais en chiffres.

Il s'agit d'un petit jeu bien connu (que j'avais déjà proposé il y quelque temps dans le forum détente Qui veut faire un tour de quatre-quatre ?) qui consiste à écrire n'importe quel nombre en utilisant impérativement 4 fois le chiffre 4 (ni plus, ni moins), à l'exclusion de tout autre chiffre. Ensuite, il existe de nombreuses façons d'utiliser les autres symboles mathématiques.

Pour cette joute, néanmoins, seuls les symboles suivants sont autorisés (chacun peut être utilisé sans limite mais aucun n'est obligatoire) :
- les 4 opérations élémentaires + - x / (ou — la barre de fraction),
- la racine carrée
- le point d'exclamation !
- la virgule (ou le point) pour les nombres décimaux,
- les parenthèses (ou les crochets).

Tout autre symbole, lettre ou chiffre est strictement interdit. Les nombres et les calculs seront exprimés en base 10.

Le chiffre 4 peut bien sûr être mis en exposant. On peut aussi grouper les 4 en écrivant par exemple 44 ou 4,44. Je précise toutefois qu'on ne peut pas écrire ,4 à la place de 0,4.

D'une manière générale, les astuces plus ou moins « tordues » pour essayer de contourner les règles édictées ci-dessus (et je sais que certains ne manquent jamais d'imagination dans ce domaine ) ne seront pas acceptées.

Question : Trouver une façon d'obtenir 2012 en utilisant 4 fois le chiffre 4 et en respectant les règles ci-dessus.
S'il existe plusieurs solutions, une seule suffira.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°57 : 4x4=2012 01-01-12 à 17:38

gagnéPour résoudre cette énigme, j'ai du utiliser la fonction "sous factorielle" qui s'écrit avec un point d'exclamation avant le nombre (dans l'énoncé on parle de possibilité exclusive d'utiliser le point d'exclamation ce qui permet les analogues à la fonction factorielle).

On sait que !4=9

2012 = (4)!4- !4)*4= (29-9)*4=503*4

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°57 : 4x4=2012 01-01-12 à 19:18

gagnéEn utilisant la "double factorielle" (notation n!!) on peut également écrire

2012 = ((4!!)!/(4!-4))-4 = (40320/20)-4= 2016-4=2012

avec 4!!=8

Posté par
castoriginal
Joute n°57 : 4x4=2012 01-01-12 à 21:18

gagnéBonsoir à tous et meilleurs voeux pour l'Année Nouvelle


voici le résultat de mes cogitations qui utilise la double factorielle :


2012 = ((4!!)!)/(4!-4) - 4   soit 8!/20 - 4 = (40320/20)  - 4  =2012

Bien à vous

Posté par
pdiophante
joute n°57 01-01-12 à 23:45

gagnéBonjour

L'énoncé mentionne que l'on peut utiliser le point d'exclamation ! mais de manière étrange ne précise pas explicitement que ce symbole  doit être utilisé uniquement pour désigner la factorielle d'un entier n. On en déduit que ce point d'exclamation peut également désigner d'autres fonctions de la factorielle telles que la sous-factorielle d'un entier n qui s'écrit !n et est est égale à
!n = n! (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - ... +/-1/n!)
Pour plus de détails sur cette fonction,voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Analogues_de_la_factorielle ou encore http://mathworld.wolfram.com/Subfactorial.html ou encore http://oeis.org/A000166

C'est ainsi que !4 = 9

On en déduit immédiatement 2012 = 4*(racine(4)^(!4) - !4) qui est égal à 4*(2^9-9) = 4*(512 - 9) = 4*503 = 2012

Posté par
Gryfo
re : Joute n°57 : 4x4=2012 02-01-12 à 00:27

perduBonne année 2012 à tous et merci godefroy_lehardi pour cette énigme

Après un quart d'heure de recherches, j'ai enfin réussi, ce n'est pas simple ! Je l'ai fait en bidouillant totalement et en criant au petit bonheur Lachance

Bref, voici ma proposition :

\boxed{\dfrac{4^6}{\sqrt{4}}-(\sqrt{4})^5-4}}

Il y a juste le (\sqrt{4})^5 où j'ai un doute : on peut mettre le 4 en exposant, on peut le mettre en racine, mais a-t-on le droit de mettre à la fois une racine et un exposant ? Mais bon, il me semble que ça doit être toléré

Mais surtout, il y a ce "les nombres et les calculs seront exprimés en base 10" qui me fait peur, je ne sais pas ce que ça veut dire... Bon tant pis je me jette à l'eau, on verra bien

Et pour terminer, je vais faire la simplification pour montrer qu'on arrive bien à 2012 :

\dfrac{4^6}{\sqrt{4}}-(\sqrt{4})^5-4}
 \\ 
 \\ =\dfrac{4096}{2}-2^5-4
 \\ 
 \\ =2048-32-4
 \\ 
 \\ =2016-4
 \\ 
 \\ =\boxed{2012}

À bientôt tout le monde !

Posté par
chease
re : Joute n°57 : 4x4=2012 02-01-12 à 02:02

perduil faut etre bon en français aussi !

Posté par
LeDino
re : Joute n°57 : 4x4=2012 02-01-12 à 04:18

gagnéBonsoir,

Ce n'est qu'en visitant le lien proposé vers le forum détente, que j'ai découvert les notations sous-factorielle "!n" et double-factorielle "n!!".
Ces notations sont décrites sur wikipedia, où l'on trouve notamment que 4!! = 4 * 2 = 8.
En remarquant par ailleurs que 2012 = 2016 - 4 = 8!/20 - 4...

... on en déduit la solution suivante :    2012 = (4!!)!/(4!-4) - 4


Merci pour ce "4x4" digne du Dakar...
Et bonne année !

Posté par
manubac
re : Joute n°57 : 4x4=2012 02-01-12 à 05:29

gagnéBonjour, et bravo pour l'énigme... déroutante

Après avoir essayé moultes calculs, je suis tombé sur celui-ci respectant toutes les conditions posées par l'énoncé :



               ((4!!)!!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! + 44 - 4 = 2012

                                            

PS1: Merci de m'avoir fait découvrir les variantes de la factorielle
PS2 : Mon calcul revient à : 80!(55)+16-4...

\Large\text{\blue{Bonne année }\green{2}\red{0}\yellow{1}\blue{2} !}

Posté par
totti1000
re : Joute n°57 : 4x4=2012 02-01-12 à 06:56

gagnéSalut godefroy, et bonne année à toi

Je propose :

\Large  2012=4 \times (\sqrt{4}^{ !4}-!4)

où !4 est la sous-factorielle de 4...

Posté par
evariste
re : Joute n°57 : 4x4=2012 02-01-12 à 11:12

gagnéSi la double factorielle est admise, je propose :
[(4!!)!/(4!-4)]-4

Posté par
dpi
re : Joute n°57 : 4x4=2012 02-01-12 à 12:46

gagnéBONNE ANNE 2012

il semble impératif de faire 8 avec un seul 4
donc  4!!

Ce qui permet  {(4!!)!/(4!-4)}-4  =2012

Posté par
jonwam
re : Joute n°57 : 4x4=2012 02-01-12 à 13:37

gagnéEn espérant que la sous factorielle est autorisée (puisque l'on nous dit point d'exclamation et pas factorielle...)

4(\sqrt{4}^{!4}-!4)

Posté par
manpower
re : Joute n°57 : 4x4=2012 02-01-12 à 14:49

gagnéBonjour,

ça c'est le genre rigolo à chercher.
En revanche, sans "tricher" il ne devrait pas y avoir de solution.

Donc, il faut "tricher"... mais godefroy_lehardi semble avoir laissé (volontairement?) une porte ouverte !

En effet, le "point d'exclamation !" n'implique pas nécessairement factorielle...
Il existe de nombreuses variantes, par exemple 4!!=8 (double factorielle) ou !4=9 (sous-factorielle).
voir ici:

Ainsi, sans déroger aux règles édictées, (\sqrt{4}^{!4}-!4)*4 convient.

Alors ? fish or chips ?

Merci pour l'énigme et profitons-en: BONNE ANNÉE à tous.

Posté par
MatheuxMatou
re : Joute n°57 : 4x4=2012 02-01-12 à 18:45

gagnébonjour

en utilisant le sous-factoriel... mais je pense qu'on a le droit :

\Large  2012=\frac{4 \times (!4)!}{(( \sqrt{!4})!)!}-4

Bonne année à toutes et à tous

MM

Posté par
MariHatakeyama
Réponse à l'énigme. 02-01-12 à 18:52

perduBonjour,
Je propose comme réponse à l'énigme ceci:
[(4x100x6)-(4x100)]+[(4x2)+4]=2012
Merci pour cette énigme.
Au revoir.

Posté par
geo3
re : Joute n°57 : 4x4=2012 03-01-12 à 09:23

gagnéBonjour
En acceptant que :La fonction sous-factorielle, notée !n, sert à calculer le nombre de permutations possible de n objets distincts de manière à ce qu'aucun objet ne se trouve à sa place.
On a !4 = 9
Dès lors je n'ai pas trouvé mieux que 2012=4*503 =4*(512-9) = 4*(29-9)
=>
2012 = 4*[(4)(!4) - !4]
A+

Posté par
jolenul
re : Joute n°57 : 4x4=2012 03-01-12 à 11:32

perduBonjour

J'essaie

(444*4) + (44*4) + (4*4) + 44 = 2012

Posté par
edlecoch
Re : Joute n° 57 : 4x4 = 2012 03-01-12 à 18:40

gagnéBonjour.

Remarque préliminaire
Une petite chose a attiré mon attention en lisant les "règles" énoncées pour ce problème.
Pour le symbole , godefroy_lehardi parle, très correctement et très clairement, de "racine carré".
Par contre, pour le symbole !, il reste beaucoup plus vague, ... il ne cite que l'expression "point d'exclamation".
Je suis intimement convaincu que, en "bon mathématicien", il aurait dit "factorielle" si il avait exigé la stricte application de ce terme.
Il laissait donc la porte ouverte à autre chose, c'est-à-dire aux "analogues de la factorielle", ... et dans le cas présent il s'agit à mon avis de la "sous-factorielle" (pour plus de détails à ce sujet, voir entre autres sur Wikipédia, ou sur le site de Gérard Villemin par exemple).
A titre d'information, je signale aussi que cette notion de "sous-factorielle" est déjà apparue ici, sur "L' île des mathématiques", dans la rubrique "Détente", pour un problème intitulé "Enigme probabilité" et posté le 12.06.2009.
En résumé:
- la "factorielle" et la "sous-factorielle" se notent de la même façon, mais en inversant l'écriture:
  . factorielle n          =  n!
  . sous-factorielle n  =  !n
- et, le plus important:  !4 = 9

Tout ceci étant dit, voici ma solution:
2012  =  4 x [(4)!4 - !4]

Posté par
dagwa
re : Joute n°57 : 4x4=2012 05-01-12 à 21:56

gagnéBonsoir,

je ne sais pas si ma proposition rentre dans les astuces plus ou moins « tordues » pour essayer de contourner les règles édictées mais je propose [(4!!)^{\sqrt{!4}}-(!4)]\times 4 comme 4!!=8 et !4=9, nous avons 4(8^3-9)=503\times 4=2012.

En tout cas merci pour l'énigme.

Posté par
gust
réponse joute 57 09-01-12 à 21:04

gagnébonjour

en définissant pour x entier positif, la double factorielle de x notée x(!!) par x(!!)=x(x-2)(x-4)...((x \ mod \ 2) + 2), on a:

\huge{2012 = \frac{(4(!!))!}{4!-4}-4}

détail:
4(!!)=8
(4!!)!=40320
4!-4=20
\frac{(4(!!))!}{4!-4}=2016

Posté par
ksad
re : Joute n°57 : 4x4=2012 10-01-12 à 14:53

gagnéBonjour
En me basant sur ce que j'ai pu trouver dans le sujet "forum détente", je présume que les variantes de type sous-factorielle, double factorielle, etc... sont autorisées.
Dans ce cadre, je proposerai donc la solution suivante, qui utilise la double factorielle de 4:

\frac{(4!!)!}{(4!)-4}-4

En effet on a successivement :

\frac{(4!!)!}{(4!)-4}-4 = \frac{8!}{24-4} - 4 = \frac{40 320}{20} - 4 = 2016 - 4 = 2012

sauf erreur de ma part, bien entendu !
Il existe probablement des solutions plus élégantes mais... je n'en ai pas trouvé.
Merci pour l'énigme, et à bientôt !

Posté par
sephdar
re : Joute n°57 : 4x4=2012 11-01-12 à 11:31

gagnébonjour,

[ (4!!)!!! + 4 ] x 4! - 4 = 2012

grâce à cette énigme j'ai découvert les multi-factorielles...
4!! = 4*2 = 8
8!!! = 8 x 5 x 2 = 80
4! = 24
donc ça donne 84 x 24 - 4 = 2012

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°57 : 4x4=2012 11-01-12 à 22:03

gagnéBonjour.
[(4!!)*(4!!)]!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! + 4! + 4
= [(4*2)*(4*2)]*31 + 24 + 4 = 2012
La formule comprend trente-trois points d'exclamation consécutifs.

Posté par
thiblepri
re : Joute n°57 : 4x4=2012 12-01-12 à 16:25

gagnéBonjour,

Je dirais:

\begin{pmatrix}\sqrt{\sqrt{{(\sqrt{4})}^{4!}}}\\\sqrt{4}\end{pmatrix} -4

Merci pour l'énigme.

Posté par
Skep
re : Joute n°57 : 4x4=2012 14-01-12 à 16:32

gagné\frac{(4!!)!}{4!-4}-4= 2012

4!!=8
8!=40320
8!/20=2016
2016-4=2012

Pas facile celle la !

Posté par
Chatof
re : Joute n°57 : 4x4=2012 17-01-12 à 10:10

gagnéBonne année 2012

\frac{(4!!) !}{4!-4}-4


ref :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Analogues_de_la_factorielle

Posté par
tb57
re : Joute n°57 : 4x4=2012 19-01-12 à 16:59

perduUne idée farfelue.

4!-4 = 20
4!/racine(4)=12

Donc 4!-4 & 4!/(4)= 20&12 = 2012

Posté par
Tolokoban
Ma proposition 23-01-12 à 09:19

gagnéJ'utilise la multifactorielle (http://fr.wikipedia.org/wiki/Analogues_de_la_factorielle) :

2012 = (4! + 4)((4!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!) - 4

En effet : (4!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 24!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 24*3

Posté par
Barney
re : Joute n°57 : 4x4=2012 26-01-12 à 02:48

perduBonsoir,

[4!-4][4!/4]

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°57 : 4x4=2012 27-01-12 à 09:46

Clôture de l'énigme :

Il existe (comme souvent) de nombreuses solutions mais la palme de l'originalité revient à manubac pour 2012=((4!!)!!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! + 4 4 - 4
J'avais d'ailleurs commencé par lui mettre un poisson tellement ça avait l'air farfelu !

Pour le fun, je vous propose celle-ci 2012=((\sqrt{!4})!)!!(((\sqrt{!4})!)!!-(\sqrt{!4})!)-4

Posté par
Gryfo
re : Joute n°57 : 4x4=2012 27-01-12 à 11:32

perduEuh... Quelqu'un peut m'expliquer pourquoi ma solution n'est pas correcte ?

Posté par
totti1000
re : Joute n°57 : 4x4=2012 27-01-12 à 11:46

gagnéBonjour Gryfo,

Tu utilises le 5 et le 6...

Posté par
manubac
re : Joute n°57 : 4x4=2012 27-01-12 à 13:03

gagnéMerci pour la palme godefroy_lehardi   , et ouf! j'ai enfin eu un smiley pour une énigme

Posté par
totti1000
re : Joute n°57 : 4x4=2012 28-01-12 à 13:23

gagnéBonjour à tous,

Pour ceux qui ont participé (ou pas ) aux énigmes de 2011, voici quelques stats sur jamo et godefroy :

c'est ici -> Stats des énigmes de jamo et godefroy

Bonne année à tous !

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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Temps de réponse moyen : 137:55:01.
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