Salut Godefroy,

Je propose une hauteur totale de 13 cm.

Merci.

Bonjour,

hauteur totale de la figure une fois transformée : 130 mm

Bonjour,

Il semblerait, sauf erreur de ma part, que la sphère dépasse d'1 centimètre.
La hauteur totale vaut donc 130 millimètres.

Merci pour cette énigme,

Tof

Bonjour
Comme la hauteur = 11.00166389cm
Je dirais 11,0 cm = 110 mm
A+

Je trouve une hauteur totale de 13.0cm

13 cm

A+
Torio

Bonjour,

Curieusement, cette hauteur tombe exactement sur 13 cm.

Explication :
r et h dimensions du cône.
demi angle du cône.
H grande hauteur cherchée.

tan() = r/h = 5/12
sin() = r/H

Et donc :    H = h/cos
Or :            1/cos² = 1 + tan²() = (25+144)/144
D'où :         cos = 12/13

Et donc :   H = 12*13/12 = 13

bonjour,

voila ma reponse: la hauteur de totale de la nouvelle figure est de 13cm exactement

merci pour l'enigme

Bonjour,

Je trouve 13,0 cm. (en espérant que je n'ai pas été trop vite comme souvent ces derniers temps...)

Merci

Bonjour,
si on appelle le demi angle au sommet, on obtient que la nouvelle hauteur vaut 5/sin   soit 13 cm tout rond! (13.0 si on tient a faire paraitre l'arrondi au mm).

Merci et a bientot

Bonjour, j'ai trouvé 13 cm

Je propose 130 mm
Merci à Fred.

Bonjour,

Je trouve pile poil 13. J'espère que les arrondis ne me jouent pas de tour !

bonjour,

je propose 12,3 cm

Bonjour Godefroy,

La hauteur totale de la figure est exactement  13,0 cm .

Bonsoir Godefroy,

13,0 (cm) est la hauteur du nouveau cornet de crème à la glace.

Merci pour ce rafraîchissement bien adéquat dans notre sud-ouest.

La hauteur totale est de 130 mm

Bonjour Godefroy.
La hauteur de la figure est 13 cm exactement.
En coupe, les bases du cône et de la demi-sphère sont les côtés d'un rectangle de hauteur x. Cette hauteur est tangente au demi-cercle représentant la couple de la sphère.
La partie de la hauteur latérale dépassant la sphère est aussi x, étant donné que les deux tangentes menées d'un point à un cercle sont égales.
Le sommet du cône, le centre de la demi-sphère et le point de tangente sont les sommets d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure 12+x et les deux autres côtés 13-x = 5.
(12+x)² = (13+x)²+5²
x²+24x+144 = x²-26x+169+25
50x = 50
x = 1
hauteur de l'ensemble = hauteur du cône plus hauteur du rectangle = 12+1 = 13

Bonjour,

13 cm exactement (13,0 cm)

j'ai pas précisé, mais 13.0 cm bien sur (130mm)

Bonjour
Je propose 13.0 cm
Merci pour la joute

Bonjour,

Je trouve 13cm tout rond donc ma réponse : 13,0cm

Merci pour l'énigme

13 cm  (130 mm)

Merci

Bonjour à tous.

Ma réponse : 149 mm

Cordialement

Bonjour

Si la glace n'a pas fondu son rayon fera toujours 5 cm mais c'est le point de tangence qu'il faudra mesurer on trouve exactement h=13 cm

Bonjour godefroy et merci pour l'énigme !

La hauteur de la figure est d'exactement 13,0 cm.

Pour trouver le résultat, j'ai fais la figure sur GeoGebra qui m'a gentiment donné la solution. Et après je suis parti de la solution pour le démontrer. Et ça marche.
J'avoue ne pas être fier de m'y être pris de cette manière, mais je suis parfaitement incapable de trouver la solution "à la main"... Veuillez m'excuser.
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Pour le démontrer, il faut imaginer la figure en 2D.
Sur la figure en bas de mon message, et si 13,0 cm est effectivement la solution, alors (DS) est forcément tangente au cercle. Autrement dit la droite (DS) et le cercle ne se coupent qu'en un unique point. C'est ce que je vais démontrer.

On a S(0;-13) et D(5;0). Après calculs, on trouve que l'équation de la droite (DS) est soit .
On a O(0;0) et r=5. Après calculs, on trouve que l'équation du cercle est .

Cherchons les intersections, soit les racines de :



Soit :



Après calculs on trouve

Il n'y a donc qu'un seul x solution.

Ainsi le cercle et la droite (DS) se coupent en un unique point.

CQFD !

Conclusion : 13,0 cm est bien la solution.

Note : après calculs, on trouve que l'intersection se situe en un point de coordonnées .

Bonjour,

la hauteur totale de la figure est 13.0 cm

salut c'est ma première participation dans le site (^_^)
j'ai calculé et j'ai trouvé exactement 13.0 cm

Ma réponse est : 13,0cm.

Bon, j'ai fait tout plein de joli calcul dans un repeère avec des fonctions et des tangentes et des dérivées, et tout et tout... et puis j'ai trouvé 13. Au début, j'y ai pas cru, et puis au bout d'un moment, quand même... (5,12,13) c'est pas un triplet méconnu.
Je me suis refait un petit dessin, et effectivement, sous un autre point de vue plus géométrique qu'analytique, c'est tout de suite plus clair.

Merci pour cette énigme rigolote a priori fort complexe, et qui finalement ne requiert rien de plus qu'un niveau de collège (3ème ou 4ème).

13cm

Bonjour,

La hauteur totale de la figure est selon moi de:

12 - 5 = 7cm

13 cm

Bonjour,

Joli problème !

Pour mieux voir j'ai déformé le cone
La construction géométrique est alors simple :
AD = AO = R perpendiculaire à AC
DF parallele à AC donne F
Ce point convient puisque FT = R et donc la 1/2 sphère de centre F est tangente au cone en T (et T')

L'angle OAD est bien sûr = OCA et AF est la bissectrice de cet angle OAD
Soit H le pied de la hauteur du triangle ACF
L'angle FCA = OAF (côtés respectivement perpendiculaires) et donc CH est la bisectrice de OCA
Ceci montre, la hauteur étant bisectrice, que le triangle ACF est isocèle et donc CF = CA

Ceci étant valable quelles que soient les valeurs numériques des dimensions.

Avec OA = 5 et OC = 12, on a, curieuse coincidence, CA = 13 (triangle de Pythagore)

et donc le résultat : hauteur totale CF = CA = 13 cm.

Amicalement.

bonjour,
je trouve une hauteur de 14.5cm

Je trouve 661/65 c'est à dire 10.169 cm

Clôture de l'énigme :

Il y avait plusieurs méthodes possibles.
Le résultat tout rond m'a surpris aussi (ça doit être mon inconscient pythagoricien qui m'a soufflé ces valeurs-là ).

Je vous invite à regarder la belle démonstration géométrique de mathafou.
J'avoue n'avoir pas bien compris pourquoi on peut dire que AF est la bissectrice de l'angle OAD (mais je ne suis pas une référence en géométrie ).

Je trouve que cette énigme méritait plus que deux étoiles.

Bravo à ceux qui ont trouvé, moi je suis resté bloqué longtemps avant d'abandonner.

C'est en voyant la démonstration de mathafou que je me suis rendu compte que j'aurais pu résoudre ce problème sans l'aide de GéoGebra.

C'est moi tout craché : quand j'ai un problème de géométrie, j'ai toujours tendance à surestimer le problème qui n'est pas si compliqué que ça au final.

Je n'ai pas mérité ce smiley...

Je trouve que vous vous enquiquinez un peu pour rien.

Si je puis me permettre, je vous propose une démonstration qui me semble plus simple.  

Voici donc une représentation en coupe du cône et de la demi-schère posée dedans (en dimension réel) :



(je pensais pouvoir mettre deux imags différentes, mais non... donc

Suite au message suivant !

Ok, j'ai carrément fail.  ^^

Tant pis, normalement l'image précédente c'était celle-là :



Et là, vous avez le commentaire de l'image du message précédent...



Maintenant, je "coupe en deux" mon dessin, j'en grade qu'une moitié et je considère à présent les triangles ABC et DEC.

On a les égalité d'angles suivantes : ABC = EDC (angle droit) et BCA = ECA (même angle).
Alors, les triangles ABC et DEC sont semblables.

Et puisque BA = ED = 5cm, les triangles sont identiques.
Alors EC = AC et avec pythagore, on conclut EC = 13cm.

Hello,

trop nulle en géométrie, je l'ai faite avec excel. J'avoue, j'ai bidouillé jusqu'à trouver le point d'intersection.  

C'est limpide !

N'est-ce pas Gauss qui aurait dit (en substance) :
"Ce n'est qu'après avoir atteint le sommet par un chemin long et tortueux qu'on aperçoit enfin la route droite et lumineuse qui y mène"

Cela dit, ça n'enlève rien à la beauté de celle de mathafou

Bah je suis bien d'accord avec lui. Je me suis cassé le cul dans tous les sens à la base à faire des dérivé de truc de machins... et quand on voit après qu'en deux lignes c'est écrit...

Comme aurait un de mes amis (en substance) :


Certes, non, elle est belle. Mais je préfère quand même les solutions de feignants.  

Personnellement, je viens de lire les démonstration de tout le monde et j'ai un peu halluciné.

En faisant une figure propre, on remarquait à l'œil que les triangles nommés ABC et EDC sur la belle figure de Benwat devait être identiques. Suffisait de le démontrer pour en être sûr.
J'ai ensuite utilisé la même méthode que Benwat pour obtenir la solution.

Souvent en géométrie, il vaut mieux commencer par redessiner soi-même le problème. En totu cas personnellement, je fonctionne comme cela.

Merci à Godefroy pour cette énigme !

Et hop, la méthode bourrin



C'était plus rapide que de réfléchir  

Bravo benwat,

Mais, "J'avoue n'avoir pas bien compris pourquoi on peut dire que AF est la bissectrice de l'angle OAD"
moi aussi !

ds le même esprit que Benwat, voila le croquis que j'avais fait pour l'enigme

Faire pivoter le triangle de gauche (pointillé jaune) vers la droite par une rotation de centre Sc et d'angle egal a son angle en Sc et vous obtiendrez le triangle (Sc;Os;T) directement par construction

Merci Chatof.

salmoth ! Les grands esprit se rencontrent.