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Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 13:34

gagnéBonjour GaBuZoMeu.

Même longueur d'onde ...

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 14:00

gagnéPlus j'y pense, plus je me dis qu'oublier de pondérer les chemins par leur probabilité de survenance est à mon sens une grosse bourde qui ne mérite décidément pas l'attribution d'une bonne réponse (fut-elle celle attendue par le correcteur au départ )...

Si le gagnant du mois devait l'emporter malgré cette bourde, ce ne serait pas juste, ni représentatif...
Personnellement, j'ai répondu à l'énigme (alors que je les délaissais depuis un certain temps), précisément parce que c'est cette pondération qui rendait l'énigme vraiment intéressante... je me doutais d'ailleurs qu'il y aurait beaucoup d'erreurs...

Si ceux qui ont répondu 21/170 pensent de leur coté avoir répondu correctement alors qu'au moins ils l'expliquent et l'argumentent...
Mais je doute qu'ils le fasent...

Un des enjeux (au-delà de la forme) :
Sauf erreur, masab est actuellement deuxième au classement provisoire et il a correctement répondu avec 911/5184.
Si la réponse 21/270 est FAUSSE, il mérite alors de passer premier et de décrocher une victoire mensuelle (sa première sauf erreur) s'il reste à cette place...

Alors ce serait bien que ceux qui sont en tête du classement et qui se sont trompés s'expriment...
... et éventuellement déclinent les points "offerts" s'ils reconnaissent leur erreur...

Ce serait plus clair, plus juste et plus fair play à mon sens .

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 14:14

Bonjour à tous,

J'ai bien entendu les remarques de chacun et je les comprends tout à fait. Effectivement, la seule réponse mathématiquement vraie à l'énoncé tel qu'il était posé est 911/5184.
Néanmoins, je me retrouve face à un dilemme : soit je mets un poisson à tous ceux qui ont bien répondu à l'énigme telle que je voulais la poser, soit je maintiens ma première décision empreinte d'indulgence (notamment envers moi-même ).

L'inconvénient de la 1ère option est d'installer l'idée que le poseur d'énigmes doit être infaillible et que, si un jour la vérité était moins évidente à établir qu'aujourd'hui, une autorité supérieure devrait alors trancher. Et je ne vois pas bien comment on pourrait faire...
Je pense que, comme au foot, l'arbitre fait partie du jeu, avec tous les inconvénients que ça peut occasionner.

En conséquence, étant seul maître à bord après Tom_Pascal (pour ce qui concerne mes énigmes), je préfère maintenir ma décision, sans d'ailleurs avoir étudié les répercussions que pourraient avoir l'une ou l'autre option sur le classement.

Sachez bien que je suis extrêmement confus de cette situation et j'espère que ceux qui s'estimeraient lésés par ma décision voudront bien me pardonner.

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 14:20

Bonjour LeDino,

Nos posts se sont croisés (il faut dire que je me suis relu pas mal de fois).

J'en profite pour préciser que je m'étais trompé pour panda_adnap (décidément !) en lui attribuant un poisson. L'erreur est maintenant corrigée.

Posté par
frenicle
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 14:23

gagnéBonjour,

Pour essayer de clarifier la question (sur le plan mathématique, pas sur l'arbitrage qui est du ressort exclusif de Godefroy), prenons un exemple simplifié qui me semble frappant :

Joute n°92 : Sauts de puce


On considère le graphe ci-dessus, composé de 1003 sommets.
La puce part de A. Pour simplifier, on cherche la probabilité qu'elle soit en A au bout de deux sauts.
Au premier saut elle a une chance sur deux d'aller en C, et en partant de C, elle revient forcément en A.
A l'évidence, la probabilité cherchée est donc supérieure à 1/2.

Si maintenant on compte les chemins, on en trouve 1002 :

ACA,ABA,ABB_1, ABB_2,...,ABB_{1000}
Seuls les deux premiers ramènent au point A.
On ne peut cependant pas en conclure que la probabilité d'être en A après deux sauts n'est que de 2/1002

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 14:27

gagnéBonjour Godefroy,

Sur le principe d'autorité je te rejoins tout à fait.
C'est la raison pour laquelle mes messages ne t'interpelaient pas :
tu as déjà tranché et je pense qu'il faut respecter la décision du poseur d'énigme.


Le problème ici, c'est que "l'indulgence" dont tu parles... conduit à une injustice manifeste.
masab est sur le point de se voir priver d'une victoire mensuelle au bénéfice de totti1000, qui malgré tous les mérites qu'on lui connait par ailleurs, ne mérite surement pas de gagner le concours ce mois-ci.
Et je suis à peu près certain qu'il sera le premier à en convenir lorsqu'il lira ces lignes ...


Je pose donc la question suivante :  si le gagnant du mois s'avère avoir gagné "sur tapis vert" et sans mérite, peut-il renoncer de lui même à sa victoire (par fair play), afin que soit couronné le VRAI vainqueur ?

Je rappelle au passage que totti1000 ne sait plus combien il a de victoires...
... tandis que masab n'en n'a aucune.

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 14:33

gagnéCe qui cloche quand même dans le cas présent... c'est que sauf avis contraire, la réponse ne souffre pas d'ambigüité :
Le résultat JUSTE on le connait :  c'est 911/5184.
Et tout le monde sait à présent que 21/270 est FAUX.

On s'apprête donc en connaissance de cause, à récompenser d'un titre quelqu'un qui s'est planté...
... au détriment de quelqu'un qui a trouvé la bonne réponse et a été plus méritant.

Je ne parle pas des smileys et poissons :  on s'en moque.
Je parle de la victoire mensuelle qui se joue (probablement) entre totti1000 et masab.

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 14:39

gagné

Citation :
sans d'ailleurs avoir étudié les répercussions que pourraient avoir l'une ou l'autre option sur le classement.

Les répercussions sur le classement relèvent de l'énigme 10^-6 étoile sur l'échelle de Godefroy ...

Posté par
Chatof
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 16:14

gagnéMerci pour Panda_adnap.

Personnellement, j'ai ouvert le livre de spé math Ts et j'ai bêtement appliqué la méthode (calcul de matrices). Le 911/5184 me semble alors une réponse facile.
Donc, j'admire ceux qui on trouvé 21/270 et je remercie la clémence du jury.
Donc, merci Godefroy_lehardi.

Pour Masab, c'est dommage mais  Panda_adnap est devant lui et il reste 2 énigmes à corriger (où Panda_adnap est plus rapide que Masab).

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 17:18

gagné

Citation :
Personnellement, j'ai ouvert le livre de spé math Ts et j'ai bêtement appliqué la méthode (calcul de matrices). Le 911/5184 me semble alors une réponse facile.

Tant mieux si tu as trouvé ça facile ...
Mais ce n'est manifestement pas le cas de la majorité qui s'est trompée.
Et surtout le problème n'est pas là :  c'est la SEULE réponse JUSTE.

Citation :
Donc, j'admire ceux qui on trouvé 21/270

Alors là je me demande bien pourquoi ???
Ils se sont trompés...
Ils n'ont pas "vu" la réalité du problème...
Je ne vois pas quoi que ce soit qui mérite de l'admiration...

Citation :
et je remercie la clémence du jury.

Sauf que la "clémence" pour les uns... fait le malheur des autres...

Citation :
Pour Masab, c'est dommage mais  Panda_adnap est devant lui et il reste 2 énigmes à corriger (où Panda_adnap est plus rapide que Masab).

Qu'à celà ne tienne...
Je ne défends pas spécifiquement les intérêts de tel ou tel.
Je défends la décision la moins INJUSTE.
Ce n'est donc pas masab qui sera lésé, mais panda_panda (puisque sa réponse a été réhabilitée entre temps, à juste titre).
Or panda ne mérite pas de perdre ce titre.

S'il vient dire ici qu'il s'en fiche ... je me tais illico.

Et je trouve que c'est surtout à ceux qui ont reçu indument leur smiley de s'exprimer...
Seuls eux peuvent concéder qu'ils ne méritent pas leurs points et rendre ainsi sa victoire au véritable vainqueur du mois.
Je suis d'ailleurs à peu près certain de ce que dira totti1000...

Posté par
Chatof
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 18:47

gagnéSalut LeDino,
Bien sûr que tu as raison, (j'avoue un peu de mauvaise foi).
Je n'ai même pas envisager la solution 27/270 qui est la réponse à "il s'agissait de trouver la proportion de chemins minimaux menant de A à G par rapport au nombre de chemins minimaux possibles", et je le regrette.

Je ne dis pas que la leçon "Etude de marches aléatoires" est simple, mais cela aide énormément pour ce problème. (ceux qui veulent une copie du chapitre m'envoie un mail)

Posté par
GaBuZoMeu
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 18:59

perduUn  truc que je n'ai pas compris : c'est quoi les "chemins minimaux" dont on cause ?

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 19:17

gagné

Citation :
Un truc que je n'ai pas compris : c'est quoi les "chemins minimaux" dont on cause ?

Je crois qu'il s'agit de l'idée de départ de Godefroy...
Mais je doute que la réponse au nombre de "chemins minimaux" soit 27/270.

Pour trouver 27/270, il suffit de rentrer 8 formules dans un tableur (en sommant les antécédents) :

A' = B + D + E + I
B' = A + C + F
C' = B + D + G + I
D' = A + C + H
E' = A + F + H + I
F' = B + E + G
G' = C + F + H + I
H' = D + E + G
I' = A + C + E + G

Et d'itérer 5 fois (donc recopier la colonne 4 fois), pour obtenir les sommes de chemins :

Joute n°92 : Sauts de puce

Si un chemin minimal est un chemin sans rebroussements ni cycles, alors le résultat sera différent...

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 19:36

gagné

Citation :
Bien sûr que tu as raison, (j'avoue un peu de mauvaise foi).

Il n'y a même pas débat :  en fait tout le monde est d'accord sur la réponse juste.

Citation :
Je n'ai même pas envisager la solution 27/170 qui est la réponse à "il s'agissait de trouver la proportion de chemins minimaux menant de A à G par rapport au nombre de chemins minimaux possibles", et je le regrette.

Tu as rudement bien fait de ne pas envisager cette réponse... car elle ne répond pas au sujet posé.

Et non seulement elle ne répond pas à l'énoncé.
Mais elle ne répond peut-être même pas à l'idée qu'avait en tête Godefroy au départ (enfin ça c'est plutôt à lui de le dire, je m'avance peut-être un peu... mais voir mon message juste avant, en réponse à GaBuZoMeu sur ce point...).

A mon sens, 27/170 répond à une autre question qui est simplement :  combien de chemins différents (minimaux ou non) conduisent à G en cinq sauts.

La réponse à cette question est du reste plus simple que la réponse à la VRAIE question posée (probabilité...).

Citation :
Je ne dis pas que la leçon "Etude de marches aléatoires" est simple, mais cela aide énormément pour ce problème. (ceux qui veulent une copie du chapitre m'envoie un mail)

La réponse probabiliste est presque la même que celle du dénombrement de chemins.
Il faut juste songer à pondérer par les probabilités :

A' = B/3 + D/3 + E/4 + I/4
B' = A/4 + C/4 + F/3
C' = B/3 + D/3 + G/4 + I/4
D' = A/4 + C/4 + H/3
E' = A/4 + F/3 + H/3 + I/4
F' = B/3 + E/4 + G/4
G' = C/4 + F/3 + H/3 + I/4
H' = D/3 + E/4 + G/4
I' = A/4 + C/4 + E/4 + G/4

Joute n°92 : Sauts de puce

Cette présentation est une simplification de l'élévation à la puissance 5 de la matrice des nombres de chemins (réponse 27/170) et respectivement de la matrice des probabilités (réponse 911/584).
La VRAIE solution, avec les probabilités, est quand même plus lourde à calculer...

Voir programme GaBuZoMeu qui fait cette élévation avec les deux matrices...

Posté par
dpi
re : Joute n°92 : Sauts de puce 11-12-12 à 08:47

perduBonjour,

Effectivement nous sommes sur l'île des maths
et j'apprécie les démos de nos  brillants îliens.
Tout simplement,comme godefroy_lehardi avait
insisté sur le parcours obligatoire par les 9
"sommets",je pensais que la puce le savait aussi.

La décision de retenir les deux est donc magnanime,
et elle pose la question des énigmes "à tiroirs".

Posté par
GaBuZoMeu
re : Joute n°92 : Sauts de puce 11-12-12 à 10:21

perdu@dpi : Peux tu expliquer cette histoire de "parcours obligatoire par les 9 sommets" ? Je ne vois absolument pas ça dans le message de godefroy, et je ne vois pas comment passer par les neuf sommets en cinq sauts.
Je ne vois d'ailleurs pas non plus de "chemins minimaux" dans le message de godefroy.

Mais je sais que l'art de l'habillage "concret" d'un problème mathématique est délicat et plein d'embüches. Merci à godefroy pour ses énigmes, et ce n'est pas grave si un énoncé peut prêter à discussion : ce n'est qu'un jeu !

Je signale, dans le même esprit que l'énigme, ce classique de l'agrégation :
Trouver le nombre de chemins de longueur exactement k sur les arêtes d'un cube joignant deux sommets opposés.

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 11-12-12 à 10:54

gagné

Citation :
l'art de l'habillage "concret" d'un problème mathématique est délicat et plein d'embüches. Merci à godefroy pour ses énigmes...

Personne ne songe à reprocher quoi que ce soit à Godefroy et tout le monde apprécie ses énigmes.
Et du reste, le problème de sauts de puce est parfaitement posé .
Il est né d'un "accident de pensée" par rapport au projet initial ?  Tant mieux !
De ce fait nous bénéficions d'un problème encore plus intéressant.
La créativité nait souvent de ce genre de "digression" par rapport à une idée première et c'est très bien ainsi.

Le fait que Godefroy se soit trompé par rapport à son projet de départ est un épiphénomène. Une anecdote amusante qu'il partage avec nous... Mais qui ne devrait pas influencer l'arbitrage du jeu dans la mesure où Godefroy sait à présent exactement faire la différence entre la bonne réponse et les mauvaises.

Citation :
... et ce n'est pas grave si un énoncé peut prêter à discussion : ce n'est qu'un jeu !

Raison de plus, si ce n'est qu'un jeu, pour que ceux qui ont répondu 27/170 et qui se sont donc trompés, rendent sa victoire finale au véritable vainqueur du mois.

J'attends avec curiosité qu'ils s'expriment :  voient-ils leur erreur ?
Si le vainqueur du mois passe "sur décision arbitrale", devant quelqu'un qui a correctement répondu à ce beau problème :  acceptera-t-il cette vitoire ?

Je pose la question.

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 11-12-12 à 11:07

gagné

Citation :
L'inconvénient de la 1ère option est d'installer l'idée que le poseur d'énigmes doit être infaillible et que, si un jour la vérité était moins évidente à établir qu'aujourd'hui, une autorité supérieure devrait alors trancher. Et je ne vois pas bien comment on pourrait faire...
Je pense que, comme au foot, l'arbitre fait partie du jeu, avec tous les inconvénients que ça peut occasionner.

Bonjour Godefroy ,

Je ne sous estime pas cet argument, loin s'en faut.

Mais pourquoi trancher AUJOURD'HUI en faveur d'une réponse alors que tu SAIS qu'elle est FAUSSE ?
Si un probème s'avère réellement ambigu, il sera toujours temps le jour venu de TRANCHER et l'autorité arbitrale prendra alors tout son sens.
C'est d'ailleurs arrivé par le passé où l'autorité a bel et bien du s'exercer...

Ici, le problème ne comporte aucune abiguïté.
Personne n'a contesté jusqu'ici que la réponse 27/170 était fausse.
Alors pourquoi entériner vaille qu vaille une décision erronée ?
Si c'est pour renforcer l'autorité arbitrale, c'est inutile.
Si l'arbitre revient sur sa décision, c'est son choix final et il sera respectable au moins autant que ne l'étaient ses décisions premières.

Peut-être devrais-tu attendre que s'expriment les principaux intéressés (ceux qui jouent la victoire finale...) avant de trancher définitivement.

Sauf si tu tiens absolument à ta décision première et l'exprime clairement...
... auquel cas je me rangerai à ce choix .

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°92 : Sauts de puce 11-12-12 à 11:18

Bonjour à tous,

A la lumière des interventions des uns et des autres (sur le plan mathématique, j'entends), je dois reconnaître que celui qui mérite le plus gros poisson, c'est moi.
Je me suis aventuré dans un domaine que je maîtrise mal.
Il est clair que la solution que j'avais trouvée ne correspond pas à l'énoncé tel qu'il est écrit, même sans prononcer le mot « probabilité ».

Après mûre réflexion, je vais donc revenir sur ma décision, autant par souci de vérité mathématique que de justice pour les participants, et n'accorder le smiley que pour la solution 911/5184.
Puisque, de toute façon, il y aura des déçus (ou peut-être pas), autant que ce soit pour une raison valable.

Je tiens à préciser que je n'ai aucune préférence pour le nom du vainqueur du mois. Je n'ai ni chouchoux, ni têtes de turc sur le forum et suis toujours heureux pour le mathilien qui arrive à ajouter une petite médaille dans son escarcelle, que ce soit la première ou la trentième, grâce à son intuition, son travail acharné et parfois un brin de chance (il en faut aussi).

Enfin, je voudrais rappeler que les 3/4 des joutes que je propose sont des créations originales (plus ou moins réussies ) qui, bien que relues par certains membres privilégiés (qui ne participent évidemment pas au concours), ne seront jamais complètement exemptes de vices cachés.

Et si vous voulez tout savoir, j'en ai quelques unes en réserve qui sortent un peu des sentiers battus et que je vais re-relire attentivement.

Posté par
rogerd
Merci 11-12-12 à 13:58

gagnéMerci à godefroy_lehardi pour l'intérêt de ses énigmes qui lui demandent sans doute beaucoup de temps et de matière grise.

Finalement et , si je comprends bien ,un peu par hasard, "Sauts de Puce" en fut une excellente.

On en redemande!

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 11-12-12 à 18:05

gagné

Citation :
Puisque, de toute façon, il y aura des déçus (ou peut-être pas), autant que ce soit pour une raison valable.

Je veux croire et espère de tout coeur qu'il n'y aura pas de déçus.
Et s'il devait y en avoir... je les prie instamment de m'en vouloir à moi plutôt qu'à Godefroy ...

Amitiés à toutes et tous.
En attendant les futures énigmes avec gourmandise ...

Posté par
panda_adnap
re : Joute n°92 : Sauts de puce 11-12-12 à 19:13

gagnéBon, j'arrive un peu après la bataille et le débat... Je suis évidemment d'accord avec ce qui a été dit jusque là.
J'en profite pour remercier mes soutien d'aujourd'hui, dans l'ordre du ctrl+f (Godefroy_lehardi, chatof et ledino) et souhaiter bonne chance à masab pour la fin du mois !

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°92 : Sauts de puce 12-12-12 à 17:11

perduBonjour à tous,
étant hors course depuis le départ,
ma question (d'un béotien ) concerne la compréhension du problème

La somme des divers chemins (en tenant compte des probabilités) de 5 sauts partant de A et arrivant en G vaut bien 911/5184.
Mais la somme des divers chemins ( en tenant compte des probabilités) de 5 sauts partant de A et arrivant à un sommet vaut 140569/124416 (soit 1.1298305), ne devrait-on pas avoir 1 ?

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 12-12-12 à 17:53

gagné

Citation :
La somme des divers chemins (en tenant compte des probabilités) de 5 sauts partant de A et arrivant en G vaut bien 911/5184.
Mais la somme des divers chemins (en tenant compte des probabilités) de 5 sauts partant de A et arrivant à un sommet vaut 140569/124416 (soit 1.1298305), ne devrait-on pas avoir 1 ?

Non, la somme des probabilités d'arriver à un sommet quelconque en 5 sauts partant de A est bel et bien 1.

Voici les différentes probabilités pour chaque sommet d'arrivée :

Joute n°92 : Sauts de puce

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 12-12-12 à 17:56

gagnéLa colonne 1 donne les probabilités au premier saut.
On voit bien 1/4 pour 4 points (B, D, E, I).
Les colonnes suivantes donnent les probabilités des sauts suivants : leur somme vaut encore 1.
La cinquième colonne donne P5(A), P5(B), etc...
La somme vaut toujours 1.

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°92 : Sauts de puce 12-12-12 à 19:27

perduMerci LeDino d'avoir répondu si vite.

Ayant perdu beaucoup de neurones(l'âge aidant),
je n'ai pas compris la colonne 2, ligne 1 (0,292)
J'ai cru comprendre en deux sauts partant de A pour arriver en A;
les chemins sont ABA(1/16),ADA(1/16),AEA(1/16),AIA(1/16) donc 4/16=1/4=0.25

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 12-12-12 à 19:45

gagnéColonne "SAUT=zéro" :  point de départ.
La probabilité est de 1 sur la ligne A et 0 sur les autres lignes.
Le total de la colonne est 1 (vérification : ligne grise tout en bas).

Colonne "SAUT=1" :  probabilités après 1 saut.
La probabilité est de 1/4 sur les lignes B, D, E, I.

Joute n°92 : Sauts de puce

La colonne Saut 1 est définie à partir de la colonne juste à sa gauche.
Si  A, B, C, D, E, F, G, H, I  désignent les probabilités  d'être en chacun de ces points au saut précédent,
... alors au saut suivant, les probabilités sont données par :

A' = B/3 + D/3 + E/4 + I/4
B' = A/4 + C/4 + F/3
C' = B/3 + D/3 + G/4 + I/4
D' = A/4 + C/4 + H/3
E' = A/4 + F/3 + H/3 + I/4
F' = B/3 + E/4 + G/4
G' = C/4 + F/3 + H/3 + I/4
H' = D/3 + E/4 + G/4
I' = A/4 + C/4 + E/4 + G/4

Donc la colonne Saut=1 se déduit de la colonne zéro par ces équations (qu'on rentre dans le tableur).
De même que la colonne Saut=2 se déduit de la colonne saut=1 par ces mêmes équations...
... répétées jusqu'à la colonne saut=5.

Ainsi colonne 2, ligne A :  on trouve P2(A)  probabilité d'être en A en deux sauts.

P2(A) = A'' =  B'/3 + D'/3 + E'/4 + I'/4
Avec :
B' = A/4 + C/4 + F/3
D' = A/4 + C/4 + H/3
E' = A/4 + F/3 + H/3 + I/4
I' = A/4 + C/4 + E/4 + G/4

Tu remplaces et tu trouves... 0,292

Le mieux est de le faire avec le tableur plutôt qu'à la main ...

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 12-12-12 à 19:53

gagné

Citation :
J'ai cru comprendre en deux sauts partant de A pour arriver en A;
les chemins sont ABA(1/16),ADA(1/16),AEA(1/16),AIA(1/16) donc 4/16=1/4=0.25

Non, pas exactement.

Partant de A, il y a 4 chemins.
Donc P(D/A) = 1/4

Mais partant de D, il y a 3 chemins seulement.
Donc P(A/D) = 1/3

La matrice de probabilité de passage n'est pas symétrique...

P2(A) =  ABA(1/4)(1/3) + ADA(1/4)(1/3) + AEA(1/4)(1/4) + AIA(1/4)(1/4)
P2(A) =  2/12 + 2/16  =  7/24  ~  0,292

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°92 : Sauts de puce 12-12-12 à 21:40

perdu
Désolé pour cette erreur grossière.
Je pense que la pièce est tombée:
De A part 4 chemins: A->BDEI
De B part 3 chemins: B->ACF
C->BDGI
D->ACH
E->AFHI
F->BEG
G->CFHI
H->DEG
I->ACEG

Ceci explique les nombres de la colonne -2
On change de points de vue:
4 chemins arrivent en A :
A<-BDEI 4 =>A'=B/3+D/3+E/4+I/4
B<-ACF  3
C<-CDGI 4
D<-ACH  3
E<-AFHI 4
F<-BEG  3
G<-CFHI 4
H<-DEG  3
I<-ACEG 4 =>I'=A/4+C/4+E/4+G/4

Un grand merci de m'avoir expliqué et d'être redescendu à mon niveau.

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