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Niveau 3 *
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Joute n°92 : Sauts de puce

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
18-11-12 à 11:13

Bonjour à tous,

Une puce s'amuse à sauter d'un sommet à l'autre d'un squelette de cube formé de segments droits comme indiqué sur le dessin ci-dessous.
Notez bien que les segments AG et CE se coupent au point I qui sera également considéré comme un "sommet".

Joute n°92 : Sauts de puce

Ses sauts sont parfaitement aléatoires mais les sommets de départ et d'arrivée de chaque saut doivent reliés directement par un segment.
Elle ne peut donc pas passer directement de A à C, par exemple, ni de A à G (puisqu'il y a I entre les 2 points).

Question : En partant de A, quelle est la probabilité (exprimée sous forme de fraction rationnelle irréductible) qu'elle se retrouve sur le sommet G au bout de 5 sauts ?

Posté par
rschoon
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 11:59

perduBonjour à tous.

Ma réponse : 27/170

Merci pour l'énigme

Posté par
Chris67550
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 12:09

gagné911 / 5184

Posté par
totti1000
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 12:16

perduSalut godefroy,

je trouve une probabilité de 27/170.

Merci pour l'énigme.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 12:40

perduJe trouve une probabilité de 27/170.

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 13:18

perduBonjour Godefroy,

\Large 
 \\ \frac{103}{592}
 \\


Merci

Posté par
masab
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 15:29

gagnéBonjour,

En partant de A, la probabilité que la puce se retrouve sur le sommet G au bout de 5 sauts est de  911/5184 .
Cela se montre aisément en calculant la probabilité d'arriver aux sommets A,B,C,D,E,F,G,H,I en n coups, par récursivité sur n.
Merci pour cette énigme !

Posté par
RickyDadj
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 16:26

perduSalut, godefroy! Salut, tous!
Sauf erreur, ladite probabilité est de 11/68.
En effet, je trouve 110 chemins allant de A à G en 5 sauts, sur 680 chemins allant de A en 5 sauts. Merci!

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 17:04

perduBonjour Jamo.
La probabilité est 27/170. Sur les 680 trajets, 108 aboutissent à G.
Nombres d'arrivées par point :
A : 48; B : 97; C : 48; D : 97; E : 109; F : 36; G : 108; H : 36; I : 101

I n'est relié à aucun des points B, D, F et H.

Posté par
geo3
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 18:51

perduBonsoir
Je propose 103/592
A+

Posté par
dpi
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 18:56

perduBonjour

Sur le trés grand nombre de combinaisons seules 726
sont logiques et seules 100 aboutissent en 5 segments de A à G
Le ratio est donc 50/363

Posté par
panda_adnap
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 19:59

gagnéBonjour,

Je trouve 108 chemins (elle peut bien sur faire demi tour sur le saut suivant) et une probabilité d'être en G après exactement 5 sauts de
911/5184

Posté par
torio
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 20:05

perdu911/25920


A+
torio

Posté par
ksad
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 20:07

gagnéBonjour
Je trouve une probabilité de 911 / 5184, soit un peu plus de 17.5% de chances d'arriver au sommet G après 5 sauts... en espérant n'avoir commis aucune erreur de calcul, bien entendu !
Merci Godefroy pour ce beau problème

Posté par
brubru777
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 20:17

perduBonjour,

Je trouve 27 / 170.

Merci pour l'énigme. )

Posté par
pyth
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 20:22

perduSalut
Je propose de dire que cette probabilité vaut 1/4 de la probabilité que la puce soit en C au 4eme saut + 1/4 de celle qu'elle soit en I au 4eme saut +1/3 H(4)+1/3 F(4)

Chaque proba au 4eme saut est a determiner en fonction de la position au 3eme saut etc
_____________________________________________________________
JE PROPOSE: P= 14317/82944  (environ 0,17)

Posté par
Alrahil
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 21:02

perdu5/52

Posté par
torio
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 21:34

perduErreur de dénominateur. Voici la nouvelle réponse

911/5184

Posté par
Kidam
re : Joute n°92 : Sauts de puce 18-11-12 à 21:35

perduBonsoir à tout les ilotiens,

Si je ne me suis pas trompé dans mon dénombrement manuel, il y a 686 possibilités de déplacements différents à 5 sauts.
Sur ces 686 possibilités, 110 amènent au sommet G.

Cela donne donc à la puce une probabilité de 110/686= 55/343 d'atteindre le point G (la coquine)

Merci

Posté par
rogerd
la puce 19-11-12 à 05:59

gagnéBonjour et merci à godefroy_lehardi pour cette jolie énigme.

Avec l'aide de Maple qui me sert de calculette je trouve une probabilité de

911/5184

Note: Me basant sur

Citation :
de segments droits comme indiqué sur le dessin ci-dessous
, je présume qu'il n'y a pas de segment ID?

Posté par
Kidam
re : Joute n°92 : Sauts de puce 19-11-12 à 14:18

perduBon bah, ça m'apprendra à faire des problème le dimanche soir avant d'aller me coucher.
Après recompte des voix, c'est Fillion qui... ah non, ça c'est autre chose.

Après redénombrement des déplacements possibles, il y a 680 déplacements différents à 5 sauts pour 108 qui amènent au sommet G

Cela fait donc une probabilité de 108/680 soit 1/6 pile poil.

Posté par
sbarre
re : Joute n°92 : Sauts de puce 19-11-12 à 17:49

perduBonjour,
apres avoir fait un arbre....(oui un gros je confirme; il faut vraiment que je me mette a la programmation!), je trouve qu'il y a 680 combinaisons differentes dont 106 aboutissent au point G (rien de sexuel la dedans!).
Et sous forme de fraction irreductible (la je supprime le poisson stupide de non respect de l'exactitude des consignes; ce qui ne garantit en rien de ne pas en avoir...) cela me donne :

53/340

Merci et a bientot.

Posté par
Kidam
re : Joute n°92 : Sauts de puce 20-11-12 à 13:36

perduDernière chance : 27/170 (ne jamais faire confiance au réducteur automatique de fraction d'excel)

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°92 : Sauts de puce 20-11-12 à 22:06

perduBonsoir Godefroy,

Dans mon programme, j'ai oublié  que de C on peut sauter en I.
Ce poisson me fera le plus grand bien vu que je fais de la rétention d'acide urique!
Nouvelle proposition : 108/680.
@+

Posté par
evariste
re : Joute n°92 : Sauts de puce 20-11-12 à 22:46

perdu27/170

Posté par
jugo
re : Joute n°92 : Sauts de puce 21-11-12 à 08:43

perduBonjour,

J'ai fait 2 petits tableaux avec Excel, et si je ne me suis pas trompé dans mes formules, ça donne une probabilité de 108/680 soit :

     27 / 170


Joute n°92 : Sauts de puce

Merci.

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 21-11-12 à 16:43

gagnéBonjour,

La probabilité d'être en G au bout de 5 sauts en partant de A est de :  P = 911/5184.

A remarquer que cette probabilité vaut environ 17,6% et qu'elle est donc légèrement supérieure à 1/6 (alors qu'il y a 9 sommets).

Posté par
Alishisap
re : Joute n°92 : Sauts de puce 21-11-12 à 21:19

perduBonjour et merci beaucoup pour cette énigme !
La probabilité que la puce se retrouve au point G au bout de 5 sauts est de \boxed{\dfrac{908909}{15000000}}\approx0,06.

Tout ce qui suit est ma méthode pour parvenir au résultat, donc sauf si vous avez du temps à perdre...
________________________________________________________________________________________________________________

La réponse que j'ai proposé n'est probablement pas exacte. Ce n'est qu'une approximation de la véritable valeur, faute de l'avoir trouvé.

Au départ, j'ai essayé de faire un arbre des probabilités. Je me suis rapidemment rendu compte qu'à partir du quatrième saut c'était devenu trop laborieux.

J'ai donc essayé d'exploiter mon début d'arbre au maximum dans le but de prévoir, par le calcul, les possibilités du cinquième saut. J'ai catégorisé mes résultats dans deux tableaux et deux graphiques associés :

Joute n°92 : Sauts de puce

Sur le premier couple tableau-graphique, j'ai mis en fonction d'un saut N, le nombre de fois qu'apparait un sommet (de A à I) sur le tirage N de l'arbre des probabilités. Ainsi, si on regarde la ligne Total, cela donne le nombre de combinaisons possibles pour un saut N. Je n'ai pas réussi à trouver une formule générale qui indiquerait le nombre de fois qu'un sommet apparaîtrait pour un saut N, à chaque fois j'ai du déduire du saut inférieur.
Curieusement, sur le graphique, on remarque que la fréquence d'apparition du B est plus faible que celle du F au saut 4 alors que c'est l'inverse au saut 5. Instinctivement, j'ai pensé que les fréquences étaient proportionnelles.

Sur le deuxième couple tableau-graphique, qui concerne bien plus directement le problème, indique, à un saut donné, la probabilité pour que la puce soit sur telle lettre.
Sur le graphique, on voit que les probabilités on un étrange comportement : la probabilité du A baisse en fonction du nombre de sauts tandis que celle du B diminue puis augmente.

Mon idée était d'établir une relation mathématique entre la fréquence d'apparition d'une lettre à un saut donné et la probabilité que cette même lettre apparaisse à ce même saut.
Si j'avais réussi, étant donné que je suis parvenu à calculer la fréquence d'apparition du G au cinquième saut (240), il aurait été facile de déterminer la probabilité que la puce se trouve à ce sommet à ce saut.

Je n'ai donc pas réussi et en désespoir de cause, je décidé de trouver (ça sera toujours ça) une approximation plus ou moins fidèle de la probabilité cherchée. Voici :
J'ai fait un programme en Python qui simule les sauts de la puce jusqu'au cinquième saut. Il répète la simulation un million de fois. À chaque fois que la puce termine sur un G, j'incrémente un compteur (valant initialement 0), disons compteurG. Je répète toutes ces opérations 30 fois. J'obtendrais donc 30 compteurG différents. Il me reste plus qu'à faire la moyenne de ces 30 compteurG et la diviser par le nombre de simulations (un million). J'ai donc obtenu \dfrac{\dfrac{1817818}{30}}{1000000}=\dfrac{908909}{15000000}}\approx0,06}

Bien entendu, j'aurais pu obtenir une valeur encore plus exacte en faisant plus de 30 manipulations, mais la valeur que j'ai trouvé est, je pense, assez représentatif. De toute façon, quand bien même j'en aurais fait 36 millions, ça ne sera jamais exact.

Voilà voilà. Si je n'ai pas résolu à 100% cette énigme, c'est soit parce que je manque de connaissances mathématiques, auquel cas je n'ai rien à me reprocher, soit c'est parce que je n'étais pas sur la bonne piste et là ça serait plus frustrant ! On verra bien les résultats...

En tout cas, cette recherche m'a beaucoup plu et m'aura bien fait cogiter et c'est ça l'essentiel !

Posté par
Alishisap
re : Joute n°92 : Sauts de puce 21-11-12 à 21:58

perduOh et une dernière chose, juste pour le fun : au deuxième saut c'est le dénominateur 32 qui domine (8 lettres concernées). Au 3ème saut c'est le dénominateur 64 qui domine (6 lettres concernées). On remarque qu'à chaque saut de plus, le dénominateur double. Donc on peut prévoir qu'au 5ème saut, le dénominateur qui dominera sera le 256. Quelle doit être la valeur du numérateur pour que la fraction soit la plus proche possible de 908909/15000000 (l'approximation que j'ai trouvé) ?

\dfrac{15}{256}<\dfrac{908909}{15000000}<\dfrac{16}{256}

Et \dfrac{16}{256} est le plus proche de \dfrac{908909}{15000000}.

Donc la probabilité cherchée est de \dfrac{16}{256}=\boxed{\dfrac{1}{16}}=0,0625

Ce résonnement est purement fantaisiste bien sûr. Néanmoins, peut-être est-il exact ? Je n'y crois pas mais qui sait ? Ce serait assez hilarant.

Posté par
GaBuZoMeu
re : Joute n°92 : Sauts de puce 22-11-12 à 11:25

perduAvec un logiciel de calcul formel, c'est plus facile (ici Maple) :
Joute n°92 : Sauts de puce
La réponse est en bleu

Posté par
GaBuZoMeu
re : Joute n°92 : Sauts de puce 22-11-12 à 13:07

perduCe n'est pas Maple qui s'est trompé, mais moi qui lui ai fait faire le mauvais calcul en ne rendant pas stochastique la matrice d'adjacence. Je répare :

Joute n°92 : Sauts de puce

Posté par
sephdar
re : Joute n°92 : Sauts de puce 22-11-12 à 19:38

perdubonjour,

je pense que la probabilité est 27/170

Posté par
Simpom
re : Joute n°92 : Sauts de puce 23-11-12 à 12:17

perduAlors j'ai pris la matrice des poids, je l'ai élevée à la puissance 5, et j'obtiens que la probabilité de se retrouver en G après 5 sauts est de : 3311/20736

Posté par
Jalex
re : Joute n°92 : Sauts de puce 25-11-12 à 17:51

gagné\frac{911}{5184}

Posté par
franz
re : Joute n°92 : Sauts de puce 27-11-12 à 12:48

gagné\Large \red \frac{911}{5184}   (\approx 17,57\%)

Posté par
Captain
re : Joute n°92 : Sauts de puce 03-12-12 à 17:27

perduJe crois que la probabilité est de 5/49.

Posté par
Derendeta
re : Joute n°92 : Sauts de puce 04-12-12 à 02:01

perduPartant du point A, il y a 15 combinaisons de points possibles qui arrivent finalement à G sur les 186 combinaisons de points au total.

Cela donne une probabilité de 15/186 et donc, une probabilité de 5/62.

Posté par
Chatof
re : Joute n°92 : Sauts de puce 08-12-12 à 10:53

gagné\frac{911}{5184}  

911/5184


bonjour,

et merci Godefroy Lehardi

Posté par
Chatof
re : Joute n°92 : Sauts de puce 08-12-12 à 12:15

gagnéVoir sur le sujet un livre pour l'enseignement de spécialité de mathématiques de la série scientifique - classe terminale

http://www.education.gouv.fr/pid25535/bulletin_officiel.html?cid_bo=57529
http://cache.media.education.gouv.fr/file/special_8_men/98/4/mathematiques_S_195984.pdf

Citation :
Exemples de problèmes (...)
Marche aléatoire sur un tétraèdre ou sur un graphe à N
sommets avec saut direct possible d'un sommet à un
autre : à chaque instant, le mobile peut suivre les arêtes
du graphe probabiliste ou aller directement sur n'importe
quel sommet avec une probabilité constante p .

Donc à résoudre avec des calculs de matrices.

Posté par
frenicle
re : Joute n°92 : Sauts de puce 09-12-12 à 11:20

gagnéBonjour Godefroy

Je trouve une probabilité de \dfrac{911}{5184} (soit environ 17,6%).

Merci pour la joute.

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°92 : Sauts de puce 09-12-12 à 18:57

Clôture de l'énigme :

Décidément, j'ai du mal à énoncer un problème clairement.

Dans mon esprit, il s'agissait de trouver la proportion de chemins minimaux menant de A à G par rapport au nombre de chemins minimaux possibles.
En parlant de probabilité, j'ai involontairement modifié le sens de cette démarche.
Du coup, j'ai accepté les deux réponses possibles : 27/170 et 911/5184.

Cela dit, les deux résultats sont très proches.
Et si quelqu'un sait expliquer pourquoi on trouve environ 1/6 alors qu'il y a 9 sommets, je ne suis pas contre...

Posté par
rogerd
Puce 09-12-12 à 19:36

gagnéBonjour!
Merci godefroy_lehardi.
Cette énigme avec des probas changeait de l'ordinaire.
Il m'a paru très clair qu'à partir d'une position les divers sauts possibles (3 ou 4) sont équiprobables .
Il n'y a donc qu'une solution à l'énigme et les trajets de A vers G n'ont aucune raison d'être équiprobables.

Joli exercice en tout cas.

Posté par
GaBuZoMeu
re : Joute n°92 : Sauts de puce 09-12-12 à 20:09

perduBonsoir,
Bien que j'aie eu deux réponses différentes validées , je suis bien d'accord avec rogerd : la seule réponse valable, vu l'énoncé, était 911/5184. Et cette réponse pouvait difficilement s'obtenir à la main !

Posté par
Chris67550
re : Joute n°92 : Sauts de puce 09-12-12 à 20:34

gagnéje n arrive pas a comprendre pourquoi la solution 27/170 a été acceptée ....

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 09-12-12 à 20:50

gagnéDisons qu'il ne faut pas faire d'erreur...
... sauf si on fait la même que celle du poseur d'énigme .

Personnellement, je pense que c'est à ceux qui ont reçu un smiley trop laxiste de réclamer leur poisson.
Sinon, je vois mal comment Godefroy pourrait faire marche arrière après avoir tranché :  c'est à lui de décider, et il l'a fait.

Joli problème en tout cas .

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 09-12-12 à 20:52

gagnéJe crois que masab ne serait pas contre... et qu'il le mérite .

Posté par
frenicle
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 00:03

gagné

Citation :
Et si quelqu'un sait expliquer pourquoi on trouve environ 1/6 alors qu'il y a 9 sommets, je ne suis pas contre...


A défaut d'une explication, une remarque.
Lorsque le nombre de sauts de puce augmente, la probabilité que la puce se trouve sur un sommet donné tend vers une limite qui dépend de ce sommet :

A, C, E, G, I : \dfrac{4}{32} \;(12,5\%)

B,D,F,H : \dfrac{3}{32}\;(9,375\%)

Les sommets A, C, E, G, I sont ceux où arrivent 4 arêtes, et les sommets B, D, F, H ceux où arrivent 3 arêtes.

Intuitivement (je dis bien), la puce à 4 chances d'arriver sur un sommet de la première liste quand elle en a seulement 3 d'arriver sur un sommet de la deuxième liste.

Posté par
dpi
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 12:46

perduVERIFICATION

j'ai fait un tableur en remplacant les lettres
par des chiffres 123456789
exemple de saut "pucien" 121512 (faisable mais non valide)
et exemple de saut "pucien" valide 123267.
je trouve la seule solution 108/680 soit le 27/170 et je ne comprend pas le 911/5184

                              

Posté par
GaBuZoMeu
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 13:31

perduLe problème, c'est que l'énigme est formulée en termes de PROBABILITES. Et il est précisé que les sauts sont "parfaitement aléatoires". La seule façon raisonnable d'interpréter ça est de dire que quand une puce est sur un sommet d'où partent 4 segments (A,E,C,G,I), elle saute le long de chacun avec la probabilité 1/4 et que  quand une puce est sur un sommet d'où partent 3 segments (B,D,F,H), elle saute le long de chacun avec la probabilité 1/3.
Ainsi le chemin 123267=ABCBFG a pour probabilité 1/4*1/3*1/4*1/3*1/3=1/432, tandis que le chemin ABFBFG a pour probabilité 1/324 et que le chemin AIEAIG a pour probabilité 1/1024.
Les chemins ne sont donc pas tous équiprobables et on ne peut pas calculer la probabilité de se retrouver en G en divisant le nombre de chemins menant à G par le nombre total de chemins. C'est pourquoi la seule réponse valable à mon sens est 911/5184.

Posté par
LeDino
re : Joute n°92 : Sauts de puce 10-12-12 à 13:32

gagnéBonjour dpi,

Avec 27/170 tu dénombres correctement les chemins qui mènent au point G.

Mais ceux-ci n'ont simplement pas la même probabilité :
Le chemin ABFBFG admet 4 choix partant de A, puis 3 choix partant de chacun des sommets suivants (B, F, B, F).
ABFBFG a donc une probabilité 1/(4.34).

Le chemin AIEAIG admet quant à lui 4 choix partant de chacun de ses sommets.
AIEAIG a donc une probabilité 1/(45).

Ne pas tenir compte des probabilités de chaque chemin, c'est ne pas répondre à la question posée.
911/5184 est la réponse qui tient compte de ces probabilités.
C'est la seule et unique réponse mathématique au problème posé.

D'où la "discussion" ...

1 2 +


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