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La convergence de l'escargot

Posté par
rosy02rosy
25-04-19 à 20:39

Bonsoir, j'ai un DM à rendre mais je bloque sur certaines questions, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Voici l'énoncé :

1. étudier, pour tout réel x positif, le signe de x - x.
Pour cela j'ai essayer avec des réels et j'ai trouvé que lorsque x appartenait à l'intervalle [0;1] , c'était positif, et négatif sur ]1; +[.  Y aurait-il une méthode à appliquer au lieu d'essayer ?

2.  La suite (un ) est définie par un premier terme u0 et vérifie pour tout n la relation un+1 = un.

a. Lorsque u0 = 4, donner des valeurs approchées des quatre premiers termes de la suite (un).
J'ai calculé : u0 = 4, u1 = 2, u2 = 2 = 1,414 et u3 = (2).

b. Lorsque u0 = 4, on admet que tous les termes de la suite (un) sont supérieurs à 1. Etudier les variations de la suite (un).
Là je ne sais pas comment procéder...

c. Lorsque u0 = 0.04, on admet que tous les termes de la suite (un) sont inférieurs à 1. Etudier les variations de la suite (un).

3. Pour représenter la suite (un) lorsque u0 = 4, on peut s'appuyer sur la représentation ci-dessous de f(x) = x. On construit u0, puis u1 = f(u0). On reporte u1 sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite d'équation y = x puis on peut construire u2 = f(u1), et ainsi de suite.

(Il y a un graphique mais je ne sais pas comment l'insérer )

a. Vérifier les valeurs calculées en 2a.
b. Sur le même principe, construire les six premiers termes de la suite (u0) lorsque u0 = 0.04
c. Conjecturer la limite de la suite (u0). Ce résultat dépend-il du terme initial ?

4. La suite (un) est définie par un premier terme u0  = 4 et vérifie pour tout n la relation vn+1 = 1/ (vn + 1).

a. Par le même procédé qu'à la question 3, construire la représentation graphique de la suite (vn) et conjecturer sa limite.

b. A l'aide de ces observations graphiques, déterminer par le calcul la valeur de la limite de (vn).

Merci à tous !

Posté par
Barney
re : La convergence de l'escargot 25-04-19 à 20:46

Bonjour ,

si f(x) =x  -  x
                    on commence par déterminer le Domaine de définition  Df =
pour connaitre le signe de f, on fait comme pour toute fonction :
   SI f(x) = 0    alors   x  -  x = 0     donc ...

Posté par
Barney
re : La convergence de l'escargot 25-04-19 à 20:56

.../...

pour les variations de la suite (Un)
utilise la différence Un+1-Un
  (tu devrais retomber sur du déjà vu)

Posté par
rosy02rosy
re : La convergence de l'escargot 25-04-19 à 21:31

Je ne vois vraiment pas donc quoi ?

Posté par
Barney
re : La convergence de l'escargot 25-04-19 à 21:33

tu connais combien de nombres qui sont égaux à leur racine carrée ?

Posté par
rosy02rosy
re : La convergence de l'escargot 25-04-19 à 21:38

Ah oui donc 1 car sa racine carrée est égale à 1 aussi

Posté par
Barney
re : La convergence de l'escargot 25-04-19 à 21:40

tu as la moitié de la réponse

Posté par
rosy02rosy
re : La convergence de l'escargot 25-04-19 à 21:45

Merci de m'éclairer un peu plus...

Posté par
Barney
re : La convergence de l'escargot 25-04-19 à 22:06

ben, et O

Posté par
rosy02rosy
re : La convergence de l'escargot 25-04-19 à 22:14

x - x > 0
= x > x
= x >x² pour tout x à ]0;1 [.

Donc x - x < 0 pour tout x ]1; +[
Est ce juste ?

Posté par
rosy02rosy
re : La convergence de l'escargot 25-04-19 à 22:39

Ensuite pour les variations (2.b) j'ai fait : un+1 - un = (un) - un = ? et là je bloque

Posté par
rosy02rosy
re : La convergence de l'escargot 25-04-19 à 22:49

2.b ou dois je faire avec la formule du quotient étant donné que les termes de la suite sont strictement positifs ??

un+1 / un = un / un
Et après ?

Posté par
Barney
re : La convergence de l'escargot 25-04-19 à 23:49

imagine que Un  c'est x
tu te retrouves avec les mêmes conclusions que précédemment

Posté par
rosy02rosy
re : La convergence de l'escargot 26-04-19 à 00:02

Je n'ai pas tout saisi..

Posté par
Barney
re : La convergence de l'escargot 26-04-19 à 01:54

Citation :
x - x > 0
x > x
x >x²       vrai pour tout x  à ]0;1 [.

Donc   (x) - x < 0     pour tout x   ]1; +[

Citation :
un+1 - un =  (Un) - Un =


pour savoir si      Un+1 - Un = (Un) - Un   > 0       ,     on peut utiliser tes conclusions précédentes

Posté par
rosy02rosy
re : La convergence de l'escargot 28-04-19 à 15:26

Bonjour,
Comment choisir entre les 2 formules : un+1 - un =  (Un) - Un

OU

un+1 / un = (un) / un

Posté par
Barney
re : La convergence de l'escargot 28-04-19 à 15:56

le quotient est soumis à conditions : il est nécessaire que Un0

la différence devrait avoir ta préférence , compte tenu de l'exercice précédent,
où tu as étudié x - x

Posté par
rosy02rosy
re : La convergence de l'escargot 28-04-19 à 16:19

Ah donc pour la question 2.b, j'ai fais :

un+1 - un = (un) - un.
on sait que (x) - x < 0 pour tout x ]1 ; +[. Tous les termes de la suite sont supérieurs à 1, donc (un) - un < 0.
La suite est donc décroissante.

Est ce juste ??

Posté par
Barney
re : La convergence de l'escargot 28-04-19 à 21:37

tres bien  continue

Posté par
rosy02rosy
re : La convergence de l'escargot 28-04-19 à 21:48

Merci, par contre il me reste la question 4 que je n'arrive pas à comprendre.
4.a) j'ai fais :
v1 = 1/5 = 0.2
v2 = 1/1.2 = 0.83
etc.
Mais comment faire pour conjecturer ?

Et la 4.b) je ne sais pas comment trouver la valeur de la limite par le calcul.

Posté par
Barney
re : La convergence de l'escargot 28-04-19 à 22:24

Même si tu n'aimes pas les fractions,
tu dois garder des fractions, pour les valeurs exactes...et pour conjecturer

Posté par
rosy02rosy
re : La convergence de l'escargot 28-04-19 à 22:57

D'accord, mais comment conjecturer ? Telle est la question

Posté par
Barney
re : La convergence de l'escargot 29-04-19 à 14:03

Tu vois que les valeurs successives tendent vers une valeur limite...
(si tu as calculé plusieurs termes évidemment)
supposons que au bout d'un certain nombre de termes,
Un ne "bouge" plus ...

           résolvons Un+1=Un
          cette équation a-t-elle une solution ?

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