La cuve est inclinée et pour enlever le doute (carreaux du dessin) on a   tang =1/3

Bonjour,

Sauf erreur,

 Cliquez pour afficher

je trouve que le volume vaut l'intégrale de 0 à 1,5 de la fonction: 0.125*(2*acos((0.5 - 0.3162*(1,5-x))/0.5)-sin(2acos((0.5-0.3162*(1,5-x))/0.5)))

... qui calculée donne 0,233 m³

Oups, oublié de blanker.  

Pas grave

Bonjour à tous

Je ne sais pas si la solution de Candide2 est exacte mais elle ne me parle pas . Il est clair que la longueur de la cuve est sans intérêt à condition qu'elle soit suffisamment grande . Après le volume cherché ressemble beaucoup à un fond de cuve non incliné .

Imod

Si on regarde bien en ajoutant une partie symétrique:

 Cliquez pour afficher

on doit calculer la moitié du volume d'un cône elliptique.
soit  abh/6
avec a=0.5²-0.05²)  b=0.45x3 et h =0.45

on obtient  0.49749 x1.35x 0.075=0.15825m³

Je maintiens ma réponse, soit 0,233 m³

Rebonjour,

Bien que réticent à l'utilisation de l'IA, je lui ai posé cette question:


Soit une cuve cylindrique de 1 m de diamètre et 2 m de long couchée sur un sol incliné d'un angle alpha par rapport à l'horizontale, tel que tan(alpha) = 1/3

La cuve contient du liquide jusqu'à une hauteur de 0,45 m par rapport au sol du coté de plus bas de la cuve.

Quel est le volume de liquide contenu dans la cuve ?

Sa réponse finale a été :

Le volume de liquide contenu dans la cuve est d'environ 0,233 m³


Développement donné (que je n'ai pas essayé de comprendre (surtout que sa réponse finale collait avec la valeur que j'avais calculée)) :

Étape 1: Comprendre la nouvelle orientation Vous avez raison, il y a eu méprise. La cuve est sur un sol en montée, ce qui signifie que le niveau de liquide ne dépasse le diamètre de la cuve à aucun endroit. Le niveau de liquide, bien que mesuré à 0,45 m au point le plus bas (par rapport au fond de la cuve), reste sous le diamètre sur toute la longueur. Cela implique que le niveau du liquide est incliné par rapport à l'axe de la cuve. En réalité, la surface du liquide reste horizontale. Étape 2: Déterminer les hauteurs réelles aux extrémités Le diamètre de la cuve (\(D\)) est de 1 m, le rayon (\(R\)) est de 0,5 m et la longueur (\(L\)) est de 2 m. L'angle d'inclinaison \(\alpha \) a \(\tan (\alpha )=1/3\).Le liquide a une profondeur \(h_{1}=0,45\) m au point le plus bas de la cuve.Puisque la surface du liquide est horizontale, elle ne suit pas l'inclinaison de la cuve. La hauteur du liquide au point le plus haut de la cuve est donc inférieure à 0,45 m par rapport au sommet de la cuve, ou on peut considérer que la hauteur moyenne est à un certain niveau. En réalité, la différence de hauteur entre les extrémités de la surface horizontale du liquide est zéro. La hauteur de liquide par rapport au fond de la cuve varie le long de la longueur.La profondeur maximale \(h_{max}\) est de 0,45 m au point le plus bas.La profondeur minimale \(h_{min}\) au point le plus haut de la cuve est :\(h_{min}=h_{max}-L\times \tan (\alpha )\)\(h_{min}=0,45\,\text{m}-2\,\text{m}\times \frac{1}{3}=0,45-0,667\approx -0,217\,\text{m}\)Un résultat négatif signifie que l'extrémité la plus haute de la cuve est complètement vide. La surface du liquide se termine avant la fin de la cuve. Le liquide ne s'étend que sur une partie de la longueur de la cuve. Étape 3: Recalculer le volume par intégration Le liquide occupe seulement une section partielle de la longueur de la cuve.La longueur réelle occupée par le liquide, \(L_{eau}\), est déterminée par la condition \(h(x)=0\).\(h(x)=h_{max}-x\times \tan (\alpha )=0\)\(x=\frac{h_{max}}{\tan (\alpha )}=\frac{0,45\,\text{m}}{1/3}=0,45\times 3=1,35\,\text{m}\)Le liquide s'étend sur une longueur \(L_{eau}=1,35\) m depuis le bas.Le volume doit être calculé par intégration de l'aire de la section transversale \(A(h)\) sur cette longueur, de \(x=0\) à \(x=1,35\) m.En utilisant la méthode d'intégration pour ces paramètres (hauteur variant de 0,45 m à 0 m), le volume calculé est d'environ 0,233 m³.

La réponse initiale de l'IA avait été 0,75 m³ ... et je lui ai fait remarquer que son calcul avait été fait avec une erreur de signe sur la pente, l'IA a reconnu son erreur et a recommencé son calcul (celui donné ici).

La remarque ci-dessus montre pourquoi, je suis réticent à utiliser l'IA quand il y a des maths en jeu, il y a souvent des erreurs d'interprétation et donc des erreurs sur le résultat.
Si on s'en aperçoit, on fait la remarque à l'IA qui réfléchit et finit par corriger ses erreurs. Si on suit l'IA sans être capable de repérer ses erreurs, alors ...

Je ne doute pas de la réponse de candide2 ,mais je ne comprends pas un tel écart avec le volume du 1/2 cône elliptique
(sans intégration)

Bonjour,

Essai pour te faire comprendre ton erreur :

Le centre de l'ellipse de base est où j'ai mis le point O

Et sur le dessin, on voit que le volume du liquide dans le cylindre (en rose sur mon dessin) est supérieur à la moitié du volume total du cône elliptique total.

Donc le volume de liquide dans la cuve que tu trouves en divisant le volume du cône elliptique en 2 est trop petit.

merci !

Je pensais bien à quelque chose dans ce genre
Un écart de 50 % est troublant....

Rebonjour à tous les deux

Je ne remets absolument pas en cause les calculs de Candide mais j'ai perdu le goût de ces calculs et j'aime bien chercher une idée simple derrière un problème complexe . J'ai souvent un peu de mal à voir dans l'espace et je ne sais pas illustrer en 3D , il va falloir essayer de me suivre et certainement me corriger . Les valeurs numériques n'aident pas à comprendre l'exercice , on peut les oublier dans un premier temps . Le cylindre est oblique ce qui gène la vision , on peut tout à fait le mettre à la verticale et la surface du liquide correspond alors à une découpe d'un cylindre dont la hauteur a été diminuée . En prolongeant ou en réduisant le cylindre du côté le plus chargé on peut se ramener au problème évoqué par Dpi . Le solide obtenu par cette manœuvre est un agrandissement ou une réduction du solide initial et le calcul de son volume donnera le volume souhaité .

Imod ( qui ne fournis pas l'aspirine )    

Bonjour,


J'ai découpé en tranches parallèles à l'axe du cylindre (y),  l'axe des x est parallèle au fond du cylindre et l'origine est dans le coin du bas. x varie de 0 à ; les tranches sont de hauteur avec , et de demi-largeur .

Le volume est m³  proche de 0,233 mais pas égal ...

Bonsoir,
j'ai cherché en vain une solution sans calcul intégral.
Ce qui ne veut pas dire qu'il n'y en a pas.

Bonjour,

Contrairement au cas précédent, la position du niveau d'eau sur le fond ne correspond à rien de simple (ni le diamètre comme dans le cas précédent, ni le rayon ...), il va donc être difficile de ramener à un volume simple.

Finalement je crois avoir une idée.
Je regarderais ça demain.

Merci aux "nouveaux"
Quand on regarde le dessin de candide2 du 30/11 à 13h44 on voit bien mon idée du 33/11 à 9h57.
Je suis donc d'accord sur la petite erreur pour la hauteur du fond,
mais ce qui est "étrange" c'est l'écart des deux calculs:

dpi 0.158 m³
consensus 0.233 m³

A mon avis, l'erreur essentielle (au vu de la valeur de h) vient de l'hypothèse "cône" : vu de côté, cela donne la figure  ci-dessous et on voit que cette hypothèse donne une valeur inférieure au volume.

J'avais complètement raté la donnée de l'angle et j'étais un peu à l'ouest . Voilà comment je vois les choses :


Le volume recherché est représenté par le triangle EIM .

* EIM est une réduction de EHK et le rapport est aisément calculable .
* EHK est constitué d'une moitié de EFHN et d'une autre de NHJK , là encore aucun problème .

Imod

Il me semble que c'est plutôt le triangle EPM ?

Et il ne semble pas qu'il y ait proportionnalité entre les surfaces des triangles et les volumes correspondants.

Tu as sûrement raison , j'ai tellement changé de points de vue que je suis sans aucun doute emmêlé les pinceaux .
Imod

J'ai essayé de remettre un peu d'ordre dans mes idées . Le cylindre ( dont la longueur est suffisamment longue ) est coupé par un plan parallèle à son axe . La coupe est réalisée à une hauteur . On cherche la moitié du volume de la partie basse . C'est certainement un grand classique .
Imod

Mon idée ne marche pas.
J'ai craqué et fais le calcul avec des intégrales.
Je trouve le même résultat que gts2 : environ 220,76 en litre.

Ce qui est curieux ,c'est que dans les coniques on connait tous le plan qui coupe le cylindre ,mais quid du plan incliné qui coupe le cylindre
sur une de ses bases

Bonjour,

Je ne sais pas qui a raison.
Je viens d'interroger 2 IA différentes qui me donnent la même réponse, soit 0,233 m³

Mais, l'IA n'est pas synonyme d'exactitude absolue dans ce genre de problème.

Bonjour les accrocs

Je n'ai pas renoncé à un calcul élémentaire mais je n'arrive vraiment  pas à entrer dans l'illustration de Dpi . Voilà comment je vois les choses :



Le premier dessin représente la partie ABIJ qui représente deux fois le volume cherché et qui est aussi une coupe du cylindre par un plan parallèle à son axe . [OB] est un rayon du disque de base et 3h = 0,45 . Toutes les longueurs sont exprimables en fonction des données .

Le deuxième dessin représente la base du cylindre . On cherche l'aire délimitée par la corde et l'arc PQ . Comme toutes les longueurs sont connues cette aire l'est aussi . La suite est facile .

Imod

Bonjour,

H = 0,45/cos(alpha) = 0,474341649
L = H/tan(alpha) = 1,42302494708

Elément de volume :
S = (Beta-sin(Beta)) * R²/2 (avec R = 0,5)
avec y/H = (L-x)/L
--> y = H/L * (L-x) = 0,346169426501*(1,42302494708 - x)

On a : (R-y) = R.cos(Beta/2)
Beta = 2.acos((R-y)/R)

et donc S = (1/8)*(2.acos((R-y)/R) - sin(2.acos((R-y)/R)))

S = (1/8)*(2.acos((R- 0,346169426501*(1,42302494708 - x))/R) - sin(2.acos((R- 0,346169426501*(1,42302494708 - x))/R)))

dV S*dx
dV = (1/8)*(2*acos((0.5- 0.346169426501*(1,42302494708 - x))/0.5) - sin(2*acos((0.5- 0.346169426501*(1.42302494708 - x))/0.5))) dx

V = intégrale de dV depuis x = 0 jusque L = 1,42302494708

Et ceci entré tel quel dans mon singe à intégrale donne :
V = 0,232423

lire dV = S*dx au lieu de dV S*dx  dans mon messge précédent.

Mon singe (Mathematica) me donne pour intégrale de
dV = (1/8)*(2*acos((0.5- 0.346169426501*(1,42302494708 - x))/0.5) - sin(2*acos((0.5- 0.346169426501*(1.42302494708 - x))/0.5))) dx
de x = 0 jusque L = 1,42302494708
0.232423

Mais pour

Je pense que l'erreur (si erreur il y a !) se trouve dans
y = H/L * (L-x) = 0,346169426501*(1,42302494708 - x)
qui devrait être
y = H/L * (L-x) = 0,3333333*(1,42302494708 - x)

En remplaçant y = H/L * (L-x) = 0,346169426501*(1,42302494708 - x)  par : 1/3 * (1,42302494708 - x)  partout. la volume calculé est bien de  0,220759 m³

qui est probablement la bonne réponse.

Va savoir comment l'IA calcule alors  0,233 m³ (qui, coup de malchance était mon résultat initial), même si l'erreur est petite, elle est bien là.  

Je suis assez satisfait de mon post car il a le mérite de faire chercher.
Mais une fois encore:
Pourquoi ce cas de figure dans les coniques n'est pas traité officiellement ?

En fait ton problème n'a pas grand chose à voir avec les coniques , il s'agit simplement de trouver le volume d'un tronc de cylindre avec  une coupe parallèle à l'axe de révolution .

Je vais essayer de trouver un moment pour finir mon calcul et voir s'il est en accord avec les résultats déjà annoncés

Imod

J'ai fait les calculs en suivant mon idée mais je ne trouve pas le résultat annoncé ici .

Je pars de mon dernier dessin et pour ne pas trainer des décimales dans tous les coins,  je multiplie toutes les longueurs par 20 . On a alors   . On calcule ensuite dans le triangle . On peut alors calculer . Ensuite si Ô est exprimé en radians , l'aire du secteur circulaire .On obtient l'aire du triangle en faisant la différence des aires de et de . Le volume recherché est celui d'un demi-tronc de cylindre , la première coupe étant effectuée parallèlement à l'axe . Le triangle représente la moitié de la base et la longueur du cylindre considéré mesure   . On obtient le volume cherché en faisant . Pour revenir au problème initial il faut diviser ce volume par . Sur ma calculatrice collège je trouve

J'ai pu faire des erreurs de calcul ou mon découpage est simplement faux ...

Imod

Correctif : Le morceau de disque représente la moitié de la base .
Imod

Bonjour,

Je pense que le problème vient simplement du fait que la volume supérieur (correspondant à AIJ) n'est pas égal à l'inférieur (AIB).

Si on fait un coupe proche de la pointe (donc de I en haut et A en bas), on voit que les deux surfaces sont différentes :

Bonjour. Dans l'énoncé il manque une donnée il me semble (angle ou longueur du liquide). dpi, d'où vient ce 2.70m à 9h57 ? Question annexe : dpi, avec quel logiciel fais-tu tes dessins ?

>derny
*Il y a toutes les données voir le deuxième post ..
*2.70m correspond au doublement de 1.35   voir 0.45 et tg
* je fais tout sur Excel ....
J'espère que tu vas trouver car on en est à 4 versions

Bonjour,
En coupant en tranches parallèles au fond de la cuve et en calculant avec SageMath :

x=var('x')
h=x/3
# aire en cm^2 de la section de disque parallèle au fond de cuve
a = 50^2*arccos(1-h/50) - (50-h)*sqrt(100*h-h^2)
# volume en cm^3
V=integrate(a,x,0,45*sqrt(10)) 
print("Le volume en centimètres cubes est\n\
{}\nsoit à peu près {} centimètres cubes".format(V,round(V)))

Je n'avais pas vu le 2e post.
On est obligé de passer par les intégrales.  220759cm3 est donc la bonne réponse. Concernant l'IA, tout ce qui est publié sur Internet est immédiatement "digéré" (c'est d'ailleurs inquiétant). Il se pourrait que sa réponse soit "pompée" sur ce forum.

D'accord Gts2 , depuis le départ j'ai beaucoup de mal à cerner les volumes sur ce problème
Imod

dpi je n'y arrive pas avec Excel. J'arrive à ça ! Comment fais-tu ?

C'est bien,j'ai simplement rajouté un peu de couleur et quelques petits caches .

merci dpi mais dans Excel 2007 il n'y a pas de gomme.

Pour effacer un trait, tu fais un rectangle mince que tu  places sur ce que tu veux masquer en mettant couleur blanche et sans trait.
Comme je suis peintre à mes heures ,je te montre un dessin sur
Excel 2003.

J'ai voulu voir si la moitié d'un bol ellipsoïdal  serait la solution en
tenant compte de son axe décalé de la verticale avec le même angle que celui de la pente  soit 0.015 m(  figure rectificative donnée par
candide2  02/12 13h01)

A ) volume du fond du bol  4/6 abh
avec a= 1.35  b= 0.49749 et h=0.45 =0.21099
B ) estimation du volume du V  complémentaire
avec R=0.5 et =2.941  épaisseur de 0 à 0.015
(j'ai pas fait l'intégrale..)
on trouve  0.0214
Volume de la cuve  0.2324 m³
On a donc

candide 2 et  dpi 0.2324
Gts2 et verdurin   0.221
Imod   0.261
GBZM  0.227

Bonsoir,
@dpi : tu as mal lu. C'est 0,220759... que j'ai écrit, j'ai donné aussi la valeur exacte avec une formule affreuse, et c'est la bonne réponse garantie (donnée également par gts2 et verdurin.
Le calcul se fait en découpant en tranches parallèles au fond de la cuve.

Bonjour,

J'ai également corrigé ma réponse dans le message du 02-12-25 à 14:24 et confirmé que la solution était 0,220759 m³

Bonjour à tous,
Je confirme, s'il en était encore besoin, les résultats déjà donnés.
Comme GBZM, j'ai découpé en tranches perpendiculaires à l'axe du cylindre.
En ,  le résultat numérique brut  exact (que m'a donné une calculette formelle) est tout aussi abominable :



qui donne bien

Une remarque : il faut vérifier au départ, qu'avec les données de dpi, l'axe de la cuve ne coupe pas (de peu) le plan du mazout à l'intérieur de cette cuve.
Si c'est le cas, il faut mener les calculs un peu différemment.