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la dérivation

Posté par linda (invité) 20-12-03 à 06:24

Bonjour, pouvez-vous me venir en aide svp?

Dans un repère orthonormal, P est la parabole d'équation y=x². M
est un point de P d'abcisse non nulle. T est la tangente à P
en M, la droite (d) est perpendiculaire à Tau point M. Le point I
est l'intersection de (d) et de l'axe des ordonnées , K
est le projeté orthogonal de M sur cet axe.
Démontrez que la longueur IK est constante lorsque le point M décrit P.
Merci de votre aide!

Posté par zlurg (invité)re : la dérivation 20-12-03 à 07:12

soit a l'abscisse de M
T a pour équation  y = f'(a) ( x - a ) + f ( a )     (*)
                       soit  y =2a(x-a)+a²
                               y = 2ax-a²
( si tu ne connais pas (*), tu écris que le coeff directeur de T est
f'(a) et qu'elle passe par M ( a, a² ) )        

d a une équation du type y = a'x+ b'
d est perpendiculaire à T donc a'*2a =-1     (.)
                                           d'où a'=-1/(2a)

( si tu ne connais pas (.) tu passe par les veceteurs directeurs
de T ( 1 ; 2a ) de ( 1 , a' ) et tu écris que leur produit scalaire

1*1 + 2a*a' = 0 )

d passe par M(a,a²) donc  a² = -1/(2a) * a + b'
d'où  b' = a²+1/2
et d a pour équation y = -1/(2a) x + a² + 1/2

Donc I a pour coordonnées ( 0 , a² + 1 /2 )
Or K a pour coordonnée (0 ,a²)
D'où IK=1/2  constant



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