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la dérivation

Posté par cassandra (invité) 23-12-03 à 04:45

Bonjour pouvez vous m'aider svp?

Dans un plan , on a un parabole d'équation y=x².On a un droite horizontale
passant par le point h de coordonnées (0;h). On a alors un rectangle
inscrit dans la parabole à partir de la droite h( il a la plus grande
aire possible)
h est un réel strictement positif. Dans la portion du plan, muni d'un
repère orthonormal , déterminée par l'arc de parabole d'équation
y=x² et la droite d'équation y=h, on veut inscrire  un rectangle
dont l'aire soit la plus grande possible.
Prouvez qu'un tel rectangle existe; donnez ses dimensions en fonction
de h.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : la dérivation 23-12-03 à 11:07

La droite passant par h coupe la parabole pour une abscisse positive,
au point de coordonnées (V(h) ; h)  avec V pour racine carrée.
On choisit un point A(X ; h) avec X compris dans [0 ; V(h)]. Ce sera
un des sommet du rectangle.
Par A, on trace une // à l'axe des ordonnées, elle coupe la parabole
en B(X ; X²)
On prend D le symétrique de A par rapport à l'axe des ordonnées.
On prend C le symétrique de B par rapport à l'axe des ordonnées.

Le rectangle ABCD est complètement déterminé par le point A et doit
être rendu d'aire maximum.

On a:
A(X ; h)
B(X ; X²)
C(-X;X²)
D(-X;h)
avec X compris dans [0 ; V(h)]

|AD| = 2X
|AB| = h - X²

Aire(ABCD) = |AD|.|AB| = 2X(h-X²)

A(x) = 2x.(h-x²)
Il faut trouver la valeur de x comprise dans [0 ; V(h)] qui rend A(x)
maximum.

A'(x) = 2h - 6x²

A '(x) > 0 pour x dans [0 ; V(h/3)[ -> A(x) croissante.
A '(x) = 0 pour x = V(h/3)
A '(x) < 0 pour x dans ]V(h/3) ; V(h)] -> A(x) décroissante.

Il y a donc un maximum de A(x) pour x = V(h/3)

Les coordonnées du sommet du rectangle d'aire max sont alors:
A(V(h/3) ; h)
B(V(h/3) ; h/3)
C(-V(h/3) ; h/3)
D(-V(h/3) ;h)

On a
|AD| = 2.V(h/3)
|AB| = h - h/3 = (2/3)h
-----
Sauf distraction, vérifie.



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