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Le 2011ème Point

Posté par
jlou
01-11-12 à 10:59

Dans un repère, (d) est la droite d'équation : 5x-27y=1
Le "premier point" à coordonnées entières positives de la droite (d) est le point de coordonnées (11;2).
Quel est le 2011ème point de (d) a coordonnées entières positives ?
Aidez moi sur cette énigme Svp

Posté par
DOMOREA
Le 2011ème Point 01-11-12 à 11:12

bonjour,
5\times x-27\times y=1 et 5\times 11-27\times 2=1
d'où par soustraction membre à membre
5\times(x-11)=27\times (y-2)
ici on utilise le théorème de Gauss  5 et 27 sont premiers entre eux
donc 5 divise y-2 et 27 divise x-11
ainsi x-11=27k et y-2=5k
on choisit k=2011

Posté par
jlou
re : Le 2011ème Point 01-11-12 à 11:19

Merci, mais pouvez vous décomposer la réponse à l'exercice je ne comprends pas tout

Posté par
DOMOREA
Le 2011ème Point 01-11-12 à 11:32

re
La première égalité et une soution inconnue en x et y , la 2ième est la solution particulière donnée par le texte.
la soustraction s'écrit (5x-27y)-(55-54)=0 soit encore (5x-55)-(27y-54)=0
5x-55=27y-54 donc 5(x-11)=27(y-2)
Le nombre entier 5(x-11) est divisible par 27 d'après l'égalité précédente mais dans 5 il n'y a aucun facteur de 27 donc x-11 est divisible par 27, x-11=27k
Raisonnement analogue pour 27(y-2), il est divisible par 5, mais 27 n'est pas divisible par 5 donc y-2 est divisible par 5

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Le 2011ème Point 01-11-12 à 11:32

y = (5x-1)/27

x = (27y+1)/5
x = 5y + (2y+1)/5

Il faut donc que (2y+1) soit multiple de 5.

donc que y = 2 + 5k

Avec k = 2010, on a y = 2 + 5*2010 = 10052

Le point cherché a pour coordonnées ((27*10052+1)/5 ; 10052) soit (54281 ; 10052)
-----

Réponse finale différente de DOMOREA ...
Donc au moins un de nous deux s'est trompé.

La valeur de K à prendre dans la solution de DOMOREA est 2010 et pas 2011 (en effet K = 0, correpond au 1er point de coordonnées (11 ; 2)
-----
Sauf distraction.  

Posté par
DOMOREA
Le 2011ème Point 01-11-12 à 11:34

Salut
Ok pour k=2010 autant pour moi

Posté par
jlou
re : Le 2011ème Point 01-11-12 à 12:32

Merci Beaucoup J-P et DOMOREA



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