Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Le carré bleu
Bonjour à tous 😊
Rien à voir avec le carré blanc qu'on peut être connu certains d'entre nous mais plutôt avec les trous noirs d'où rien ne sort , pas même un trait de lumière .
Un problème de Stan Wagon resté sans solution sur le site de Diophante 
Je recopie la question ici , persuadé qu'elle interrogera certains îliens .
Déterminer le nombre minimum de carrés C de côté unité, disjoints deux à deux, qui entourent complètement un carré S lui-même de côté unité de sorte que chaque rayon lumineux partant de S passe nécessairement par l'intérieur d'au moins un des carrés de C . Ci-après une configuration (non optimale) dans laquelle 8 carrés encerclent complètement le carré bleu S.
Inutile de blanker sauf si on a trouvé la solution qui tue le problème .
Amusez-vous bien 😊
Imod
salut
je propose 6 avec la figure suivante où je n'ai pas dessiné le dernier carré (trop pénible à faire un carré de côté une longueur donné)
en fait le problème revient à entourer un carré de côté 1 dans un polygone dont tous les côté mesurent
et peut-être qu'on peut y arriver avec une solution en 5 carrés :
attention c'est très approximatif (fait à l'arrache) 
la phrase
en fait le problème revient à entourer un carré de côté 1 dans un polygone dont tous les côté mesurent
Salut Carpediem et attention 
Le rayon lumineux peut partir de n'importe quelle partie du carré bleu et il est autorisé à frôler les bords de ceux qui le cernent . Dans le premier exemple un rayon peut suivre la trajectoire (IQ) , et dans le deuxième il me semble qu'il y a un passage entre le 4 et le 5 .
Imod
plus précisément le problème revient à entourer un carré de côté 1 dans un pentagone dont les côtés mesurent entre 1 et
Il y a tout de même un effet de bord , sur ton deuxième exemple où se situe le point de contact entre le carré bleu et les carrés 4 et 5 ?
Imod
Le rayon lumineux peut partir de n'importe quelle partie du carré bleu et il est autorisé à frôler les bords de ceux qui le cernent . Dans le premier exemple un rayon peut suivre la trajectoire (IQ)
ce que j'ai corrigé pour la figure 2 :
et dans le deuxième il me semble qu'il y a un passage entre le 4 et le 5
au passage merci pour m'avoir fait "travailler" ggb !! en progressant avec cette figure 2
pour résumer :
le principe c'est ces petits décalages pour assurer que tout rayon lumineux rencontre l'intérieur d'un des carrés extérieurs
il est certain qu'on peut y arriver avec 6 carrés comme sur la figure 2
il semble qu'on puisse y arriver avec seulement 5 carrés
5 carrés je n'y crois pas , 6 ce serait déjà pas mal . Attention les rayons peuvent partir de partout
Imod
voila une figure avec les points de contact un peu amélioré :
mais les décalages entre sommets de deux carrés adjacents doivent être "minime" pour assurer de traverser l'intérieur d'au moins un des carrés
la figure reste donc grossière
Sur ton dernier dessin en choisissant astucieusement un point du carré bleu et un bon angle , on peut frôler les côtés sans sans passer à l'intérieur des carrés qui encerclent .
Imod
Bonjour,
je pense que le défaut dont parle Imod est que dans cet exemple le rayon ME s'échappe sans avoir rencontré aucun point de l'intérieur des carrés EFGH et IJKL.
il ne rencontre que des points de leur frontière (côtés et sommets)
Oui regarde la figure de Mathafou , on voit bien où si situe le problème . De mon côté je me suis posé une question bête en empilant les carrés régulièrement comme Carpediem . Si on essaie d'en mettre 7 pour améliorer le résultat proposé , on obtient à la limite une heptagone régulier . D'autre part les rayons extrêmes dessinent un nouvel heptagone à l'intérieur du premier .
Ma question : peut-on placer un carré dont le côté est celui de l'heptagone initial à l'intérieur du petit heptagone ?
Imod
oui probablement ...
au fait : tu sais ce qui se passe sur les-math.net ?
Pour résumer mes deux messages précédents , cette construction ne marche pas : il faut trouver une autre idée .
Imod
Je reviens avec l'heptagone car en fin de compte je crois que l'idée est là . J'étais parti du carré bleu pour construire la horde qui le cerne mais il me semble bien plus intéressant de partir de 7 carrés régulièrement disposés avec pour chacun un sommet sur un cercle donné :
Ensuite il il faut déplacer astucieusement les points de contact pour filtrer les rais de lumière tout en laissant une place au carré bleu . Tout cela a besoin d'être peaufiné mais j'y crois assez .
Imod
il faut déplacer astucieusement les points de contact
moi je ne crois pas trop que cela suffise !
disons que en plaçant le sommet en contact du carré A sur le côté du carré B
le rayon tangent au côté de A sera bien filtré
mais un rayon tangent au côté de B ne le serait pas
il faut donc que la droite support de ce côté de B ne rencontre pas le carré
et que ce soit vrai pour les 7 points de contact
Le piège est qu'un rayon issu du périmètre du carré bleu tangente
un des carrés .
Ayant vainement travaillé sur 6 ,je pense comme toi que la solution est 7.
Il suffit de faire tourner mon carré fléché ...sur ta figure.
A noter que les dimensions peuvent être tirées de mon topic voisin 
Je n'ai pas encore regardé ton sujet mais le fait d'attacher les carrés par une diagonale laisse une plus grande liberté . Après il faut bien laisser libre 7 lignes sur les 14 mais avec un choix judicieux on devrait pouvoir s'en sortir . Je ne crois plus à une solution avec 6 carrés depuis un moment
Imod
Ca passe juste mais ça passe :
Les lignes rouges représentent les possibilités de passage entre les carrés que l'on suppose très légèrement décalés par rapport à la figure régulière .
Imod
Joli étoile mais quid des rayons bleus qui passent au point de contact
entre deux carrés blancs 
Au passage ,regarde mon carré dans l'hexagone
Mon dessin est grossier mais le carré bleu n'est jamais en contact avec les lignes rouges ni avec les carrés encadrant . J'attends une confirmation de Mathafou car je n'ai aucune aisance avec les outils de géométrie dynamique , pour moi ça passe
Imod
que l'on suppose très légèrement décalés
c'est à dire que les sommets de l'un sont strictement sur un côté de l'autre selon le principe du message de carpediem du 01-06-25 à 19:05 et de ma figure
les seuls rayons susceptibles de s'échapper sont les traits rouge de la dernière figure de Imod
aucun ne rencontre le carré bleu (tout juste, à un cheveu près sur l'angle inférieur)
bof ... c'est du réglage au micron près
pour simplifier (sinon bien trop de degrés de liberté ! ) je pars d'un heptagone régulier de côté ABCDEFG support des diagonales des carrés initiaux rouges
il est alors possible de placer un carré bleu unité sans toucher les rayons interdits rouge :
en plaçant le côté LM en contact avec K et perpendiculaire à AH, on peut le placer pour avoir une distance M - (AH) et une distance P - (EI) égales à 0,009 (!)
ce qui laisse une marge permettant de déplacer légèrement les carrés rouges, d'une valeur toutefois par conséquent très faible, pour que le sommet libre soit strictement sur le côté critique du carré adjacent.
je n'ai même pas essayé de faire réellement un tel ajustement microscopique...
Oui , il était tout de même millimétré cet exercice
D'un autre côté à partir du moment où le carré bleu peut être posé sur la ligne (AH) , en passant par K et sans traverser (IE) ni (GN) , la construction est possible . L'ajustement est sans doute très délicat mais on sait qu'il est possible et c'est l'essentiel .
Un problème bien plus subtil qu'il en avait l'air , un grand merci à tous les participants
Imod
il ne peut être posé sur la ligne AH exactement
il doit y avoir un écart aussi minime soit-il
dans ma figure il y a une distance de 0,009 entre les lignes parallèles MN et AH.
mais comme tu dis du moment que c'est strictement > 0, c'est possible d'ajuster et c'est l'essentiel
le faire effectivement devient un gros travail de patience et de précision car déplacer un carré rouge pour satisfaire au critère influe sur les autres et il devient très délicat de ne pas boulotter cette marge de 0,009
le déplacement des carrés rouge conduit à deux degrés de liberté par carré, moins un pour que ça se referme exactement.
J'imagine bien le travail pour positionner un carré bleu visiblement détaché des contraintes . Après , en théorie , même si les arguments ne sont pas complètement évidents , à partir du moment où il y a un peu d'espace de tous les côtés , l'ajustement est possible . Ici il faut simplement trouver un peu de place pour le carré dans un polygone délimité par les lignes rouges et le point K .
Imod
ce n'est pas tant placer le carré bleu qui est difficile !
c'est placer les carrés rouges de façon légèrement décalée sans que l'espace libre ne devienne trop petit pour y mettre le carré bleu.
C'est bien ce que j'avais compris mais théoriquement si les décalages millimétrés changent la donne au niveau du passage des rayons , ils laissent toujours une place au carré bleu . Pour la réalisation pratique , c'est une autre paire de manches .
Imod
On peut oublier l'illustration chronophage avec des zoom dans tous les coins . Pour moi l'unique question est de savoir si l'ennéagone en jaune ( quasiment symétrique par rapport à la ligne en pointillés ) est prêt à accueillir un carré unité :
C'est visuellement évident d'autant que les angles ( multiples de ) et les longueurs sont connus . S'il n'y a rien de simple une simple constatation de visu peut suffire . Un décalage infinitésimal entre les carrés enfermant le carré bleu ne pourra jamais détruire le décalage "fini" ainsi créé .
Imod
Petit rebondissement
On peut faire avec six carrés !!!
Les idées évoquées sont les bonnes , après il faut essayer autrement . Curieusement il n'est pas utile de sortir la loupe pour voir que tout rayon sera bloqué ( il faut tout de même avoir un bon œil ) .
Imod
Sans divulgâcher la solution ( qui m'a été fournie ) , je donne un indice sur ce qui m'avait bloqué et sans doute aussi certains d'entre vous . Sur le dessin ci-dessous rien n'empêche d'insinuer un morceau de carré bleu à l'intérieur de la zone grise .
Bonnes recherches 😊
Imod
Annuler
connectez vous