Bonjour .  Il me semble que ce calcul a déjà été proposé plusieurs fois comme problème , et qu'on peut trouver la solution en fouillant dans la rubrique " Rechercher " (en haut , à gauche de cette page ), avec les mots-clés appropriés ...

Bonjour, non je ne crois pas c'est moi qui l'ai créé : mais mets le lien pour justifier tes propos s'il te plaît. Bonne recherche.

Re bonjour
Ma première réponse était pour le premier schéma (même imparfait)

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Cette fois il s'agit de la moitié = a(1-/4)

Merci pour ta réponse dpi mais je ne dirai pas maintenant si tu as juste ou faux (tu peux à tous moment modifier ta réponse si tu veux car je jeu continue) : il faut présenter sa démonstration car le problème est avant tout basé sur la recherche. Merci de bien vouloir écrire tes calculs.

trivisteamis.

      Je faisais allusion, en particulier, au topic du 20.10 2006 , intitulé  " rosace et aire d'une ogive " .

Cela est ancien, du temps où les demandeurs d'aide mettaient des titres " valables " à leurs topics  ( et non:  Dm , devoir de maths, au secours , merci ,...  j'en passe et des meilleurs)

Bonjour,

C'est plus un exo de maths sup qu'un défi, dans le doute, je ne donnerai pas une correction complète mais juste ma réponse. Soit R, le rayon du cercle (=paramètre du carré). Par contre, si tu es en term, l'exo ne me parait pas faisable à cause de l'usage des dérivées des fonctions arc.

S = R²*(pi/3+1-sqrt(3))

Je regrette jacqlouis mais ce n'ai pas exactement pareil donc cette énigme continue. Il est vrai que c'est plutôt considéré comme un exo de maths sup mais pour un lycéen expérimenté c'est plutôt un défi. Et ne vous inquiétez pas pour moi, je ne suis pas égocentrique mais je maîtrise de notion d'ingénieur... que le jeu continue.
Je n'accepte pas les réponses sans justification, si vous avez peur que les autres membres s'inspirent de vos réponses envoyez moi un MP ... ça marche aussi (je garderai le secret jusqu'à la fin du jeu).

Jacques a raison. Il suffit d'appliquer la même méthode (c'est moi qui me suit emballé avec mes arcsin).

je ne dirai rien ... on peut le faire avec un calcul d'intégrale double mais assez compliqué (c'est peut être pour ça que tu as fais allusion à arcsin) ... c'est pas bête. Mais Il y a une meilleur solution ... je vous laisse chercher ... par contre j'accepte toute les méthodes.

Slt trivisteamis, slt à tous

Cool ton problème!

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Le tout en a²

Bonjour à tous,

akub-bkub:

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Joli
Mais il manque une image expliquant la zone 4.

Salut à tous,
Merci pour votre participation et akub-bkub tu as fais un bon raisonnement mais je ne permettrai pas de te dire si tu as juste ou faux car je tiens le suspens jusqu'à la fin du mois pour ainsi vous lancer un nouveau problème que je suis en train de vous concocter (révisez la géométrie) ... malheureusement, je vais devoir m'absenter pendant un certain temps car comme chaque année, il y a un examen : le bac qu'il faut réussir et avec mention de préférence ... même si j'ai des facilités en maths, je dois quand même réviser les autres matières, donc je vous serai reconnaissant de ne pas faire de flood ni (je m'adresse au modos) de clôturer ce topic si intéressant ... Donc, je résume, je passe le 17 (avec la philo) donc je reviendrai le 24 juin, si tout va bien ... ATTENTION, SI QUELQU'UN S'ATTRIBUE UN RAISONNEMENT D'AUTRUI ET QU'IL INSISTE : JE FERAI AUSSITÔT LES MESURES NÉCESSAIRES ... Vous êtes quand même assez grands (je suis d'ailleurs le plus jeune dans l'espace détente > énigme - je reconnais que c'est assez difficile. Mais bon ) Alors souhaitez moi Bonne chance pour cette aventure et à très bientôt pour la l'heure de vérité (LE VAINQUEUR et LA SOLUTION BIEN ENTENDU).

trivisteamis, qui ne traira jamais ilemaths.

Slt caylus

> caylus

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Oui, je suis loin d'avoir donné tout le raisonnement et les figures en détail... On dira que pour l'un je n'avais pas le courage et pour l'autre je trouvais ça plus joli ainsi.

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Bonne m**** en cette période délicate, bon m**** à tous ceux qui sont dans cette situation...

Merci et soyez gentil entre vous !

Bonjour.
Soit 1 le côté du carré.
Le rayon des arcs est aussi 1.
Les arcs en gris ont pour sinus 1/2 et valent 30°.
Les arcs en jaune aussi.

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La surface jaune est constitué du carré dont le côté est celui du dodécagone inscrit dans le disque de rayon 1, moins quatre fois la partie du secteur de 30° compris entre le côté et l'arc. Soit d le côté du dodécagone.
D'après le théorème de Ptolémée, dans le quadrilatère inscrit dont les deux diagoanales perpendiculaires sont le diamètre et le côté de l'hexagone :
2 = 2*d*V(4-d²)
d²*(4-d²) = 1
(d²)²-4d² = -1
(d²)²-4d²+1 = 0
d² = 2-V3 : c'est l'aire du carré jaune
aire d'un secteur de 30° : pi/12
apothème du dodécagone : V(1 - d²/4) = V(1 - 2/4 + V3/4) = V(1/2 + V3/4)
aire du triangle douzième du dodécagone : V[(1/2 + V3/4)(2-V3)] / 2
= V(1 - V3/2 + V3/2 - 3/4) / 2  = V(1/4) / 2 = 1/4
aire entre la corde et l'arc du dodécagone : pi/12 - 1/4
aire de la surface jaune en dehors du carré : pi/3 - 1
aire totale de la surface jaune : 2 - V3 + pi/3 - 1 = pi/3 + 1 - V3 (environ 0,315 aire du grand carré)

Bonjour à tous,

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akub-bkub -> Très Joli ! J'étais parti sur un raisonnement géométrique un peu comme celui là, mais je n'avais pas pensé à considérer les zones au fur et à mesure de la construction, j'avais considéré les 9 zones de la construction finale d'un coup, me donnant 9 inconnues, je cherchais alors 9 équations pour exploser tout ça avec un coup de déterminant (mon côté bulldozer, manque total de subtilité je le reconnais) mais je n'ai trouvé que 5 relations entre les différentes aires...
Alors, comme un bon penseur (ironique), j'ai substitué à une méthode "bourrin" une méthode encore plus "bourrin" : l'intégration ! J'ai considéré les 4 arcs e,f,g,h qui sont des équations de cercle, déterminer les abscisses des points d'intersection x0,x1,x2 puis j'ai fait intégrale de x0 à x1 de (e-g) + [...]
Bref vous voyez l'espèce d'horreur que ça donne, après deux ou trois changements de variables j'aboutis à :  R²(1+sqrt(3)/2-Pi/3)

Mais tant qu'à faire des raisonnement non subtiles et complètement calculatoires, autant le faire évaluer par quelqu'un de plus compétent en calcul stupide : Maple. Et là Maple dit : "R²(1-sqrt(3)+Pi/3)". Ce qui est en accord avec le résultat géométrique proposé par akub-bkub, mais tellement moins élégant !

Cependant tout cela n'aura pas été vain : outre le fait que cela me fasse travailler l'intégration, ce qui ne peut pas être mauvais pour moi, j'ai appris une nouvelle fonctionnalité de maple : assume. Calling sequence : assume(paramètre,condition). Cela permet de mettre des conditions sur les paramètres utilisées, par exemple ici si on ne précise pas R>0 à maple, l'intégration ne passe pas. Donc pour tous ceux qui d'ici 1 ou 2 ans devront se battre avec ce têtu de maple, c'est une fonctionnalité qui peut s'avérer utile

Merci trivisteamis pour l'énigme, bonne chance pour ton bac, et ne me compte pas pour le résultat bien sûr, j'ai lamentablement fait appel à un automate ^^ C'était simplement intéressant pour le résultat en lui même, et pour le raisonnement de akub-bkub, que je n'oublierais pas !

salut tout le monde,
je voudrai juste savoir une chose, c'est comment calculer l'air de la zone 4 dans le raisonnement de akub-bkub
merci

Bonjour Trivisteamis.
La surface jaune n'est pas l'intersection de quatre arcs, mais l'intersection de quatre secteurs.

Salut à tous :
plumemeteore : tu as raison ce sont plutôt des secteurs mais c'est un abus de langage : je pense que tout le monde à compris que la surface à calculer est la surface jaune. Mais merci quand même pour la remarque. Je reviendrai très bientôt pour vous annoncer les résultats.

trivisteamis.

Slt à tous

> Noflah

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C'est surtout que c'est le seul moyen que j'ai trouvé pour résoudre le problème! J'aimerais apprendre à maîtriser un 'engin' comme Maple...

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L'aire de la surface 4 correspond à la somme des aires d'un triangle équilatéral et de deux lunules (voir schéma de caylus à 18h31).

Note : je les appelle 'lunules' par abus de langage, après une brève recherche, je n'ai pas réussi à mettre le doigt sur le nom que porte cette zone...

Pour le triangle équilatéral :


Pour une lunule :


Pour la surface 4 :

merci akub-bkub pour la clarification

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, mais je ne connaissait pas cette méthode pour le calcul des aires des "lunules", j'ai utiliser une autre méthode mais je ne suis pas arriver au même résultat...

j'ai calculer l'air de la partie en rouge de la même maniere avec la quelle tu a calculer l'air de la zone 3, et ça en dessinant un carré dont les diametre sont connu(par le theoreme de pytagore sur le triangle), apres ça il suffie de deviser cette aire par deux, mais ce n'est pas le même resultat...
si tu peut m'expliquer pourquoi, car j'ai le même exo a faire pour l'ecole.

Bonjour,

Le calcul de l'aire S ne nécessite que la connaissance de l'aire d'un triangle équilatéral et l'aire d'un secteur circulaire.

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Je définis les aires S, T et U avec le dessin et prend le côté du carré comme unité.
Par construction, le triangle ABE est équilatéral. Le secteur circulaire de centre A correspondant à l'arc BE a donc pour aire en radian: .
En ajoutant les aires de deux secteurs et en retranchant l'aire du triangle ABE on obtient:
(1).
D'autre part, (2) (carré moins un quart de disque).
Enfin, (3) (aire du carré).
On en déduit en ajoutant 4 fois (1), 4 fois (2) et -3 fois (3):
.

> triplehwwe

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Ce n'est pas un carré sur pointe mais un losange, les diagonales font 4 et V3/2, non?

> triplehwwe

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Rectification : 4 et 2V3

> akub-bkub

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En effet c'est un losange et pas un carré , mais je ne vois vraiment pas comment trouver sans la methode de calcule de l'air en radian un piste svp???

> triplehwwe

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Euh...La méthode que je donne ne te convient pas? Peut-être d'autres pourront mieux répondre à ta question.

> akub-bkub

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Apres avoir bien regarder le shema je vien de comprendre comment calculer l'air des lunules ton explication était parfaite c'est moi qui était un peu a l'ouest (la fatigue de fin d'année )
je te remercie beaucoup pour ton aide

> triplehwwe

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Oui, je suis coutumier du fait aussi!

Bien à toi.

Salut à tous et encore merci pour votre participation, Vous êtes d'ailleurs les plus courageux !

Je voulais jeter un coup d'œil sur le fofo pour voir si tout allait bien et j'ai remarqué la capacité de votre raisonnement mathématiques : félicitation pour l'esprit d'équipe (je ne dirai pas encore si c'est juste ou faux) mais comme tout mathématicien, physicien, ingénieur, chercheur, etc, il faut aller jusqu'au bout du raisonnement, or personne et je dis bien personne (même si c'est évident) ... personne n'a démontré pourquoi le triangle en jaune (merci à caylus pour l'image) est-il équilatéral ? Comment continuer son raisonnement et passer un pilier : le raisonnement ne tiens plus debout ... Alors, en attendant la date convenue de mon retour, je vous laisse sur cette question de maniaque mais pourtant fondamentale pour la justification du raisonnement. A la fin de la compétition , je dresserai un podium (3 vainqueurs) en fonction de la rapidité, de la justesse des raisonnements et ainsi de suite. Bref, on n'y est pas encore alors je vous laisse du temps pour rectifier le tir et bon weekend à tous !

trivisteamis, qui ne nous lâche pas l'affaire.

Bravo Frank1010 pour ton raisonnement je m'abstiendrai de tout commentaire jusqu'à la fin du problème. Je suis en train de préparer un problème de géométrie tu peux y participer dès que je l'aurai poster (c'est-à-dire après les résultats). Bonne continuation et encore bravo pour cette démonstration.

c'est grave si j'ai pas simplifié ? (tout les calculs sont developpés au max ..)

Non ce n'est pas grave mais l'essentiel c'est la clarté et la justesse du raisonnement.

A tous les participants, je vous informe officiellement que les résultats seront publiés publiquement le 24 juin 2010 (je préciserai plus tard l'heure). De plus je vous informe que si quelqu'un a répondu juste mais que son raisonnement est moins bon que le votre (même s'il a répondu avant vous - bien sûr je remarquerai toute tentative de triche) alors j'en prendrai compte et le classement sera pris en fonction de la rapidité, du raisonnement et même du fairplay. Bref, si vous voulez participer : vous pouvez ; ce n'est pas fini ... Je publierai aussitôt à savoir le 24 juin 2010 la nouvelle énigme de géométrie. Et que le meilleur gagne !

trivisteamis, N'oubliez pas est votre ami !

Bonjour

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considérons la figure suivante



on désigne les différents types de surface par les lettres S,L,T et le carré par a²
on a pour la surface complète du carré  a²= S + 4T +4L
un quart de cercle donne  *a²/4 = S+3T+2L
et la différence entre le carré et le quart de cercle vaut a²-*a²/4 = T + 2 L
on en tire que la lentille vaut S +2T = *a²/2- a²

Il nous faut une relation supplémentaire qui donne la valeur de L.
Traçons la droite FE à mi-hauteur du carré. On peut calculer la valeur de L/2 qui vaut la différence entre le demi-carré et les surfaces du triangle FBE et de la portion de cercle BEC; soit:
L/2 = a*a/2 - FE*a/2*1/2 - *alfa/360*a²   (1)
on voit que sin(alfa) = (a/2)/a = 1/2   donc que alfa vaut 30°
la valeur de FE est a*cos(alfa) = a*cos(30°) = a*(3)/2
En remplaçant FE et alfa par leurs valeurs dans la relation (1), il vient que L = a²( 1 - 1/43 -/6)
On trouve ensuite la valeur de T = a²(1/23 + /12 - 1)

et finalement S = a²*(/3-3 +1)

Bonjour,

> trivisteamis


Quelles bonnes Nouvelles ?

A bientôt

Bonjour

C'est vrai ça! Même s'il y a de sérieux trous dans ma méthode, j'aimerais connaître le podium!

c'est qu'il n'est plus là depuis _{un malheureux incident} trivisteamis..

Salut,

Vous trouvez l'aire de la zone 6 ( cf démonstration akub) égale à 1 - pi/6 - (3^0.5)/4.
En utilisant une intégrale pour le calcul de cette aire je trouve un résultat différent mais je n'arrive pas à mettre le doigt sur mon erreur :

Si on prend le côté du carré égale à 1.

On remarque que l'aire rechercher correspond au double de l'aire sous la courbe de la fonction f(x) = 1 - cos(x) pour x variant de 0 à (pi/6)

En intégrant on trouve : 2*[x - sin(x)] de 0 à pi/6

soit 2*(pi/6 - sin(pi/6)) = pi/3 - 1

ce qui est différent de l'aire que la plupart d'entre vous on calculée pour cette zone.

Salut à tous, salut mdr_non,

En effet, pour ceux que ça intéreesse, mais tournant le dos au passé : Ti 84
Je suis sincèrement désolé pour ce quiproquo et je vous promets que je publierai les résultats très bientôt, j'ajoute aussi que la participation à cette énigme est officiellement refusé à partir de mon post. Je vous présente encore toutes mes excuses pour ce petit événement, incident et je suis à votre disposition sur le reste du forum si vous avez besoin d'aide. Je reviendrai bientôt pour publier les résultats, je te le garantis akub-bkub.

Bonne soirée.

trivisteamis et de retour sur l'île.

PS : je vous rassure que mon bac de maths s'est très bien passé...

bonjour trivisteamis
bon retour!

Salut mdr_non, Merci

on ne sait jamais !

Personne pour m'expliquer mon erreur ?

Bonjour,

> daxtero

il serait intéressant chaque fois de joindre un croquis pour expliquer un raisonnement de calcul.

La zone 6 du dessin de akub-bkub correspond à la surface L de mon dessin (Posté le 12-06-10 à 12:07).

Le calcul basé sur la géométrie me semble plus simple qu'une intégration analytique; n'est-il pas ?

Amitiés

Salut castoriginal,

C'est vrai il est sans doute plus simple mais ma question était de savoir en quoi la méthode d'intégration analytique était érronée.

Bonjour daxtero,

Tu as fait une erreur dans ton calcul de l'aire de la zone 6.
Elle est égale à ou encore en posant :
.

Bonjour tout le monde

Pour Julien

Juste par curiosité, pour calculer la zone 9, est-ce que je peux calculer de cette façon ?

Zone₉ = [(Zone₃) * 2] - [(Zone₈) * 4]

Merci