une carte : 100+2i, 100+2i+1 (i et 0 à39)
donc 200+4i+1

11carte: 2211+4(somme de 11 chiffres différents de 0 à 39)

2432-2211 est impair : pas divisible par 4

2433-2211=222, pas divisible par 4

2431-2211=220
220/4=55
55 est la somme des i de 0 à 10

10 carte : au minimum i de 11 à 20 : somme 155
total : 2211+4*155=2831

        2626<2831

On remarque que si on numérote les cartes de 1 à 40, la somme des nombres de la nième carte est égale à  :2n+98+2n+99 = 4n +197

1.
Si Puisea choisit 11 cartes (nombre impair) , la somme devra être impaire puique 4n +197 est toujours impair.
Donc Puiséa se trompe en annonçant 2432 qui est pair .

2. Soit S cette somme :
S = 4*(n₁+n₂+...n₁₁)+11*197
Donc S-2167 doit être un multiple de 4.
2433-2167 =266 n'est pas multiple de 4, donc Nightmare se trompe aussi..

3. On valide que 2431 marche et que la somme des numéros des cartes est égale à : 264/4 =66.
Si je calcule la somme des nombres de 1 à 11, je trouve 11*6 =66.
Puiséa a donc choisi (quel hasard !!) les 11 premières cartes.
Si je calcule la somme minimale que Nightmare peut obtenir en tirant 10 cartes supplémentaires , je dois calculer la somme:
S' = [4*(1+2...21)+21*197] -2431 = (924+4137)-2431 =5061-2431 =2630
Cette somme est la somme minimale que Nightmare puisse trouver.
Donc il fait une erreur en trouvant 2626.

Prouvons qu'avec 11 cartes 2432 est impossible

Première carte : un nombre pair + un nombre impair => un nombre impair
idem Deuxième carte => somme des deux nombres => un nombre impair
La somme de ces deux premières cartes donne un nombre pair

Recommençons cinq fois ce travail.
On additionne donc 5 nombres pairs => un nombre pair

Or la somme des deux nombres de la onzième carte est impaire

Somme des nombres des 5 première cartes     +     Onzième carte     =    
             nombre pair                                 +        nombre impair    =   nombre impair.

Or 2432 est pair, d'où impossible !!!

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Prouvons qu'avec 11 cartes 2433 est impossible

Le plus petit nombre possible à faire avec les 11 cartes, c'est à dire en utilisant les cartes numéros 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 est 2431

Le second plus petit possible à faire, avec les cartes numéros 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12 est 2435

Toutes les autres sommes des nombres mis sur 11 cartes sont supérieures à 2435 ; et 2433 n'est ni égal à la première somme, ni égale à la seconde ... et est donc impossible

demonstration un peu trop superficielle peut-être ... mais bon ça passe un ?

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Enfin, j'ai donc "montré" à la question précédente que 2431 provenait des 11 premières cartes (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)
Nightmare pioche dix cartes dans celles qui reste (12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,...,40)
La somme la plus petite qu'il peut espérer faire est celle des cartes (12,13,14,15,16,17,18,19,20,21)
Or cette somme est égale à 2630 et strictement supérieure à 2626.
Il a donc  bien fait une erreur ...

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commentaire personnel : beaucoup de blabla ... espérons que ça passe ... lol

1.
2 nombres consecutifs sur chaque carte -> somme impaire.
11 sommes impaires -> somme impaire.
2432 impossible donc Nightmare a raison.

2.
En prenant les 11 cartes avec les plus petites sommes, cela donne :
100+101+...+120+121=2431.
La somme possible suivante consiste à prendre 122+123 au lieu de 120+121 soir une somme de 2435.
2433 est donc impossible donc Puisea a raison.

3.
La somme est celle qu'on a évoqué au 2 (soit 100+...+121).
Si l'on prend les 10 plus petites cartes restantes, cela donne :
122+123+...+140+141=2630.
2626 est donc un total trop petit à obtenir avec les cartes restantes.
Donc Nightmare a fait une erreur.

1/
Chaque carte a sur chacune de ses faces un nombre pair et un nombre impair. La somme des deux nombres "portés" par chaque carte est donc impaire.
Lorsqu'on prend 11 cartes, la somme de tous les nombres est donc un nombre impair (si on additionne un nombre impair d'impairs on obtient un impair). On ne peut donc pas avoir 2432.

2/
En poussant le raisonnement un peu plus loin, la somme des nombres portés par une carte est congrue à 1 modulo 4.
En effet, les nombres sur une carte sont sont
     soit du type 2k et 2k+1 et la somme vaut 4k+1
     soit du type 2k+2 et 2k+3 et la somme vaut 4k+5=4(k+1)+1.

En additionnnant les sommes de 11 cates, on obtient un nombre congru à

Or ce qui est incompatible avec le fait que cette somme est congrue à 3 modulo 4.



3/
La somme minimale que l'on peut obtenir avec 11 cartes est


On a donc écarté les 11 "premières cartes si le premier total est 2431.


Le total minimum que l'on peut obtenir avec 10 cartes parmi les 29 restantes est



PS : On sent qu'on est le 1° avril. Jamais Puisea et Nightmare ne seraient capables d'erreurs aussi grossières.

Somme des nombres sur chaque carte : (201,205,209,213,217...)
Qu'on peut réécrire comme ça : (201, 201+4,201+8,201+12,201+16...)
La somme des nombres sur l'ensemble des cartes pigées est donc égale à 201x+4n
x représente le nombre de cartes pigées; n est un nombre naturel compris entre 0 et 39 inclusivement.
Lorsqu'il y a 11 cartes, la somme de leurs nombres doit être égale à 201(11)+4n=2211+4n(S=2211+4n)
En soustrayant 2211 de cette somme on doit donc obtenir un multiple de 4(S-2211=4n).
Or ce n'est ni le cas avec 2432(2432-2211=221; 221/4=55,25) ni avec 2433(2433-2211=222; 222/4=55,5).
La condition est toutefois vérifiée avec 2431: 2431-2211=220; 220/4=55
On peut donc dire que Nightmare a raison en disant qu'il est impossible que la somme des nombres sur les 11 cartes soit de 2432 et que Puisea a aussi raison en disant qu'il est impossible qu'elle soit de 2433.
De plus on remarque que 2431 est égal à la somme des 11 cartes ayant les plus petites sommes(2431=201+205+209+213+217+221+225+229+233+237+241).
La somme de 10 cartes prises au hasard dans les 29 restantes doit donc être plus grande ou égale à la somme des 10 cartes ayant les plus petites sommes dans ces mêmes 29 cartes (245+249+253+257+261+265+269+273+277+281=2630).
Ainsi, cette somme doit être plus grande ou égale à 2630.
2626 étant plus petit que 2630, il est impossible que ce soit la somme des nombres presents sur les 10 cartes.

Tiens tiens, il y a la même question avec des données numériques différentes ici: Olympiades 2005

Si on prend une seule carte, la somme des nombres est de la forme .

Si on prend 11 cartes, la somme des nombres sera de la forme 4k'+3. Comme 2432=4*608 et 2433=4*608+1, ces nombres ne peuvent en aucun cas être la somme des nombres inscrits sur les 11 cartes.

On sait maintenant que sur les 11 cartes piochées initialement la somme était de 2431 et que sur les 10 cartes piochées ensuite la somme était de 2626. On a donc sur 21 cartes différentes une somme de 5057.

Si on considère les 21 premières cartes, on sait que tous les entiers de 100 à 141 sont inscrits. Leur somme est 241*21=5061. Ceci est la somme minimale que l'on peut obtenir avec 21 cartes.

Or Nightmare et Puisea prétentend avoir trouvé 21 cartes avec une somme inférieure à la somme minimale. Ils se sont sûrement trompés dans le décompte de ces cartes en oubliant d'en compter par exemple.

Isis

1. La somme des 2 nombres d'une même carte est 2n+1. La somme de 11 nombres impairs est impaire, donc 2432 est impossible.

2. Plus précisément, la somme des deux nombres de la carte n°i, 100+2i-2 et 100+2i-1, est 200+4i-3 ou 197+4i. La somme des 11 cartes est donc 11 x 197 + 4 fois la somme de 11 nombres entre 1 et 40. Or la somme de 2433 n'est pas égale à 2167 + un multiple de 4.

3. La somme des 11 cartes est de 2431, soit 2167 + 264. Donc la somme des numéros des 11 cartes, entre 1 et 40, est égale à 66.

Le collègue prend 10 cartes dont la somme des numéros est égale à 114 (calcul (2626-1970)/4).

Cela fait un total de 21 cartes différentes entre 1 et 40 dont la somme est 180.

Or cette somme est supérieure ou égale à la somme des 21 plus petites soit 21*22/2 = 231.

Bonsoir tous,

Les deux nombres écrits sur la i^ème carte sont 2i+98 et 2i+99. La somme de ces nombres est 4i+197=4(i+49)+1 que l'on peut écrire 4k+1.

La somme de 11 cartes est 44k+11=4k₁+3
Pour prouver que Puisea et Nigthmare ont tord dans leur première affirmation, décomposons leurs résultats en multiples de 4 et leurs modulos:



Pour la troisième affirmation:
La somme des 21 cartes que Nightmare a en main vaut (selon lui) 2431+2626=5057.

La plus petite somme de 21 cartes que l'on peut obtenir est : ce qui montre que Nigthmare a du faire une erreur quelquepart (on ne peut pas avoir juste à tous les coups )


En espérant qu'il n'y aura plus d'énigmes ce soir , je vous souhaite à tous une bonne nuit.

Severus

Bonjour

Soit a_k est le nombre choisit au hasard sur une des cartes , et a_k + 1 devienne son consécutif bien sûr.

Alors d'après Puisea on a : A=sum(k=1,11,(a_k+(a_k+1)))=2432

Or A=11+2*B avec B=sum(k=1,11,a_k)

Donc B=1210,5  , or B doit être un entier et ce qui n'est pas le cas d'après l'affirmation de Puisea, car on additionne les entiers.

Donc Puisea s'est trompé. Donc Nightmare a raison.

De même on a: C=11+2*B=2433
Donc B=1211 , mais on sait que B=2*(sum(k=1,11,b_k)) (car a_k est pair tjs car c'ets le premier nombre d'une carte choisie au hasard et c'ets pair).

Donc B=2*D=1211 avec D=sum(k=1,11,b_k)

Donc on trouve que D n'ets pas un entier, donc Puisea a raison.et Nightmare s'est trompé.

La somme de tous le sentiers de scartes :

S=(100+101+...+178+179)-5057=100*80+79*40-5057=> S=6103
Or il reste 19 cartes , donc on a : S=sum(k=1,19,a_k)=6103

Donc on a: S=19+2*sum(k=1,19,b_k)=6103

et donc sum(k=1,19,b_k)=3042 , or sum(k=1,19,b_k)=2*sum(k=1,19,c_k)=3042

Donc on a: P=sum(k=1,19,c_k)=1521

or : max_(c_k) = (max_(b_k))/2 = 178/2=89

ET on a : L=Max_(sum(k=1,19,c_k)) = 89+88+....+71 (car 19 cartes)

Donc L=71*19+(18*19)/2=1520

Or P>L , ce qui est impossible , donc tout le monde s'est trompé , hahahahahhahaha

Pour 11 cartes, la plus petite somme possible est = 2431.
Pour 11 cartes, la somme suivante possible sera 2431 - (120+121)  + (122+123) = 2435.
Aucune somme ne peut donc faire ni 2432, ni 2433.
Dans les 29 cartes restantes, les 10 portants les n° les plus petits ont une somme égale à = 2630.
2626 est donc un total impossible.

1) chaque carte à deux nombres consecutifs, donc 1 nombre pair et un nombre impair, leur somme est donc impair.

or nb impair + nb impair + nb impair ...(11 fois)
donne un nombre impair car il est répété 11 fois.
2432 est pair.
donc la somme ne peut pas être 2432.

2) la somme de la 1ère carte est 201, puis de la 2ème 205, puis 209, 213,217...
la somme de chaque cartes a une différence de 4 avec celle qui la précède et avec celle qui la suit.
donc les somme des sommes des 11 cartes auront aussi une différence de 4 si l'on prend d'abord les 11 première, puis 11 en partan de la 2ème carte.

lorsqu'on additionne les 11 premières carte on obtient 2431, ainsi les autres sommes que l'on pourra obtenir seront 2431+4=2435, 2435+4=2439...
or 2433 est compri entre 2431 et 2435 et n'a qu'une différence de 2 avec chacun d'entre eux.
La somme des cartes de peut donc pas être 2433.

3) Pour obtenir 2431, on a pris les 11 premières cartes dont les sommes sont : 201, 205, 209, 213, 217, 221, 225, 229, 233, 237, 241.
Si l'on additionne les 10 suivantes, on obtiendra la somme minimum que Nightmare peut obtenir au 2ème tirage.
la somme des dix cartes suivantes est : 245 + 249 + 253 + 257 + 261 + 265 + 269 + 273 + 277 + 281 = 2630

Or 2626 < 2630
donc Nightmare ne peut pas avoir 10 cartes dont la somme est 2626.

c'était la première fois que je faisais une démonstration donc il faut être indulgent non? j'ai un peu l'impression de m'être embrouillé mais c'est pas grave l'important c'est de participer!

1) Nightmare a raison car la somme sur une seule carte donne un nombre impaire (car un nombre pair et un impair donne un impair).Puisea a tiré 11 carte donc la somme des 10 premières carte donne un nombre pair (car la somme de 2 impaires donne un pair) + la 11ème carte impaire donne un impaire.la somme ne peut donc pas être 2432 puisque ce nombre est paire.

2)on peut définir la somme sur une carte par la suite
c'est une suite arithmétique de raison 4 et premier terme =201 qui est la somme de la première carte.
Si on fait la somme des 11 plus petites cartes:

2431 est la plus petite somme, or Nightmare trouve 2433 ce qui est impossible puisque la plus petite différence avec une autre somme sera de 4.

3) Puisea a tiré les 10 premières cartes, donc la plus petite somme que Nightmare peut tiré est:

Nightmare ne peut donc pas avoir une somme de 2626.

Sur chaque carte, on a deux nombres consécutifs supérieurs à 100 de la forme 100+2x et 100+2x+1 (2x pour éviter les doublons et le premier nombre étant pair) où x est entier et x[0,39]. Avec ces notations, (x+1) est le numéro de la carte (classemment par ordre croissant).
Ainsi, la somme des deux nombres d'un carte vaut 200+4x+1

Première partie: Puisea tire 11 cartes
Pour 11 cartes, la somme totale est de la forme 20011+4z+11.
Ce qui permet d'emblée d'exclure 2432 et 2433 car
4z=2432-20011-11=221 n'est pas divisible par 4
et 4z=2433-20011-11=222 n'est pas divisible par 4.
Deuxième partie: Nightmare tire 10 cartes...
Sachant que la somme des cartes tirées par Puisea est de 2431, on en déduit que 4z=220 donc z=55 qui correspond à la somme des 11 premiers entiers x dans [0,39], soit les 11 premières cartes.
Enfin, pour les 29 cartes restantes, la somme minimale est celle des 10 cartes de 12 à 21 (i.e x variant de 11 à 20).
Cette somme vaut =10200+4+10=.
Ainsi, la valeur 2626 est impossible pour la somme totale (nécessairement supérieure à 2630)

pour le fun je ne cherche po c'est pour posté ce que je pensais je ne veux pas de poisson lol


premier question
imossible car la somme de 11 carte de nombre impair donne un nombre impair

troisieme question
la somme des carte fait 5580
or il a deja enlever une somme impair il reste donc une smme impair et comme pour la premire question c'est impossible

bonjour à tous :

1°) * Sur les cartes sont inscrits 2 nombres consécutifs. J'ai choisit de regrouper ces deux nombres. Donc :

cart n°1 : 201
cart n°2 : 205
cart n°3 : 209
cart n°4 : 213
cart n°5 : 217
cart n°6 : 221
...

Les chiffres sur les cartes suivent donc une suite arithmétique, de premier terme 201 et de raison 4 .

" Puisea choisit 11 cartes. Il compte 2432 -> nightmare lui dit que ce n'est pas possible " :

c'est normale. En effet on constate que si on fait la somme des 11 premières cartes fait : . Donc nightmare a raison, il est imposible d'obtenir 2432 et cela même en remplaçant 241 par 244 car dans ce cas, on obtient 2434.
Pour résumer, la somme est donc à chaque fois 2431 avec une somme plus petite suivante qui fait 2434

=> Puisea a donc tort ( et donc nightmare a raison ! )

* pour les meêmes raisons,à son tour, nightmare à donc tort lorqu'il affirme que la somme fait 2433.

=> Puisea a donc raison ( et nightmare a tort ! )

2°) comme la somme des 11 premières cartes fait 2431, on peut donc en déduire que le numéro de la carte la plus petite est le numéro 244.

de la même manière

en remplaçant 280 par 284, on trouve 2624
en remplaçant 280 par 288, on trouve 2628

Pour résumer, la somme est donc à chaque fois 2620 avec une somme plus petite suivante qui fait 2624 ou 2628

=> nightmare a donc tort.

_{PS : cette énigme n'a aucun sens, Jord ne se trompe jamais, alors je ne vois pas pourquoi d'un coup, il se tromperait 2 fois à suivre ...}  

@+

1) C'est impossible car:
la somme sur une carte est un nombre impair, on va additionné 11 cartes donc ça donnera un nombre impair donc 2432 est impossible.
Donc Nightmare a raison!

2) C'est impossible car:
On remarque que c'est une suite arithmétique, la somme de chaque carte et
la somme d 11 première carte = 2431 et la différence minimal avec une autre somme et de 4, donc 2433 est impossible.
Donc Puisea a raison!

3) la somme 2431 est la somme des 11 premieres cartes du jeu donc la plus petite somme qui existe.
Si l'on considère les 10 prochaines cartes sur les 29, la somme des 10 suivantes est de 2630. Or 2630>2626 donc c'est impossible
Nightmare a fait une erreur

Mais moi je recois un smiley!

++ EmGiPy ++

Soit S la vraie somme des 11 cartes piochées
Soit S1 la somme trouvée par puisea avec 11 cartes
on a donc
soit ni le nb pair de la ième carte piochée
S = n1 + n1 + 1 + n2 + n2 +1 +... + n11 + n11 +1
   = 2(n1 + n2 +n3 + ... + n11) +11
S est impair (pair + impair = impair)
or S1 = 2432 est pair!
dc S ne peut pas valoir S1!

Soit S2 la somme trouvée par nightmare avec ces meme 11 cartes,
on remarque que la somme des 2 nb de la carte 1 vaut 201
de la carte 2 205, de la 3 213, de la 4 217, de la 5 221 etc ...
on obtient une suite :
soit Ci la somme des 2 nb de la ième carte
Ci+1 = Ci + 4
donc Ci = C1 + 4(i-1) = 201 + 4(i-1)

ainsi on obtient, soit pi les numéros (de 1 à 40) des 11 cartes piochées
S = 201 + 4(p1 -1) + 201 + 4(p2 -1) + ... + 201 + 4(p11 - 1)     (***)
   =201*11 + 4(p1 + p2 + ... + p11 - 11)                          

on pose S = S2 = 2433
on a donc
2433 - 201*11 + 4*11 = 4(p1 + p2 + ... + p11)
266 = 4(p1 + p2 + ... + p11)
133 = 2(p1 + p2 + ... + p11)
impair = pair   c'est impossible!
dc S ne peut pas valoir S2 !!


La somme totale des nombres sur les 40 cartes vaut:
(100 + 179)*40 = 11160
on sait deja ke les 11 cartes tirées valait 2431
dc il ns reste plus que 8729.

Supposons que sur les 10 nouvelles cartes tirées, la somme fasse 2626
alors pour les 19 cartes restantes il resterai 8729 - 2626 = 6103!

En adaptant (***) à 19 cartes on obtient :
6103 = 201*19 + 4(p1 + p2 + ... + p19 - 19)
ce qui equivaut à :
6103 - 201*19 + 4*19 = 4(p1 + p2 + ... p19)
2360 = 4 (p1 + p2+ ...+ p19)
p1 + p2 + p3 + ...+ p19 = 590
Or au maximum
(en prenant p1 =  22
            p2 = 23
            ...    
            p19 = 40)
on a
p1 + p2 +...+ p19 = 589 = max < 590
donc ce n'est pas possible!!
en piochant 10 cartes ainsi, la somme des chifrfes inscrit ne peux pas faire 2626!



voila! ben gspr ke c pas tt faux!

                      

nightmare a raison car : la somme des 2 nombres consécutifs de chaque carte est impaire donc la somme des nombres des 11 carte doit être impaire (donc surement pas 2432)

puisea a raison car : la somme de chaque carte est égale à 201[4] donc la somme des 11 cartes choisit est égale à 2211[4] or 2433-2211=222 n'est pas divisible par 4.

nightmare a fait une erreur parce que les cartes que puisea a choisit sont les 11 premières, donc si nightmare pioche 10 des 29 restantes il aura une somme minimale de 2630

Bonjour,

Réponse : cf. Méthode pour les justificatifs.

Tiens, les habitués du forum d’entraide auront reconnu : Olympiades 2005 !

Méthode :
40 cartes, de C1 à C40 ; par définition, la carte Cn a pour somme 197+4n, n [1,40]
k cartes quelconques auront pour somme S=197k+4(n1+n2+ …+nk)

a) Si S=2432 => 4(n1+n2+ …+n11)=2432-197x11=265 ce qui est impossible car 265 non multiple de 4 : Nightmare a raison.

b) Si S=2433 => 4(n1+n2+ …+n11)=2433-197x11=266 ce qui est impossible car 266 non multiple de 4 : puiséa a raison.

c) Si les 11 cartes tirées précédemment ont pour somme 2431 alors :
n1+n2+…+n11=(2431-197x11)/4=66 qui est la somme des 11 premiers chiffres (1+2+…+11 = 11x12/2 = 66) : puiséa avait tiré les 11 premières cartes, C1 à C11

Les 29 cartes restantes sont C12 à C40.
Calculons la plus petite somme des 10 cartes parmi les 29 restantes ; c’est C12+C13+…C21.
C12+C13+…C21 = 197x10+4(12+13+…+21)=1970+4(1+11+2+11+…+10+11)
=1970+4(10x11+1+2…+10)= 1970+4(10x11+10x11/2)=1970+4x10x11x3/2=1970+660=2630

En annonçant 2626 (<2630), Nightmare s’est donc trompé.

Merci pour l’énigme,

Philoux

On a donc les totaux suivants dans l'ordre croissant :
201,205,...,357
Soit 4*50+1,4*51+1,...,4*X+1,...,4*89+1

1) Si on pioche 11 cartes on a donc 4*X_1+1 + 4*X_2+1 + ... + 4*X_11+1
Soit un total de : 4*(X_1+X_2+...+X_11) + 11

On devrait donc avoir 2432 = 4*N+11 avec N entier
Or on a N = 605,25. Nightmare a donc raison

2) De meme on devrait avoir 2433 = 4*N+11 avec N entier
Or on a N = 605,5 Puisea a donc aussi raison

1 et 2 bis) De toute manieres les deux plus petits nombres que l'on peut obtenir sont 2431 et 2435 il es donc impossible de former 2432 et 2433

3)La seule maniere d'obtenir 2341 et de prendre les 11 plus petites cartes ...
Le nouveau plus petit nombre que l'on peut former avec 10 cartes est donc de 2630 Il es donc impossible de former 2626. Nightmare s'est encore planté

Et voila Puisea et nightmare il va falloir faire du calcul mental c'est pas serieux ca

Bonjour,
Vu les chiffres écrits sur les cartes,  on peut déjà totaliser les « points » sur chaque carte
100+101=201, 102+103=205, 104+105=209, etc jusqu'à 357, avec des écarts de 4 à chaque fois, puisque ces nombres sont de la forme 201+4n, avec n compris entre 0 et 39.
En prenant 11 cartes d'un seul coup, on peut encadrer la somme (appelée S) entre deux extrêmes, ce qui fait  
Soit S comprise entre 2431 et 3707 avec des écarts de 4 à chaque pas.
Comme ni 2432, ni 2433 ne correspondent à ce critère, ces deux nombres sont nécessairement erronés.
2431 correspond à la somme minimale, les cartes restantes sont donc celles qui portent des sommes de nombres compris entre 245 et 357, avec un pas de 4.
Si on pioche 10 nouvelles cartes dans le talon restant, la somme (appelée S') peut être encadrée par
Soit S' comprise entre 2630 et 3390.
Elle ne peut donc jamais être égale à 2626 !!!!!
Et voili voilà.

Bonjour,
voici mes réponses:

les cartes:
100 102 104 106 ... 172 174 176 178
101 103 105 107 ... 173 175 177 179
---  ---  --- --- ... ---  ---  --- ---
201 205 209 213 ... 345 349 353 357

1/Puisea choisit 11 cartes et annonce que la somme des nombres écrits sur toutes ces cartes est de 2432. Nightmare s'arrête et lui affirme que cela n'est pas possible.
Prouvez que Nightmare a raison.

Toutes les sommes des cartes sont des nombres impairs (pair + impair = impair). Quand on ajoute un nombre impair de fois (ici 11) des nombres impairs, on obtient toujours un nombre impair (impair + impair = pair, et pair + impair = impair, etc...), donc la somme ne peut être 2432 qui est pair.

2/Nightmare compte à son tour les cartes de Puisea et affirme que la somme fait 2433. Puisea alors étonné lui dit : "Cela est impossible".
Prouvez que Puisea a raison.

Chaque somme des cartes est: "un multiple de 4 + 1". 11 cartes sont tirées donc la somme est: "un multiple de 4 + 11",
2433 - 11 = 2422 n'est pas un multiple de 4 (2422 finit par 22) donc Puisea a raison.

3/En fait la somme était de 2431
Nightmare pioche alors 10 cartes dans les 29 cartes restantes et affirme que la somme de ces cartes fait 2626.
Prouvez qu'il a fait une erreur.

La somme de ces 21 cartes est donc 2431 + 2626 = 5057. Cherchons la somme des 19 autres cartes :
Somme(19) = Somme(40) - 5057 = (201+357)*40/2 - 5057 = 6103.
Ajoutons les 19 plus grandes cartes, soit :
285+289+293+297+301+305+309+313+317+321+325+329+333+337+341+345+349+353+357 = 6099, on ne peut donc atteindre 6103 avec 19 cartes donc la somme 2626 est bien une erreur quand on a déjà pris 11 cartes avec une somme de 2431.


A la prochaine,
BABA72

Bon ca a été long a venir mais comme il faut justifier c'est toujours plus ennuyeux…

En fait j'ai commencé par raisonner sur les sommes des deux nombres de chaque carte qu'il était possible d'avoir, ce sont en fait 201, 205, 209, 213, etc…jusqu'à 357 (178+179)
Si on prend 11 cartes au hasard, la somme est nécessairement comprise entre la somme des 11 plus petites et des 11 plus grandes, ce qui correspond selon mes calculs respectivement a 2431 et 3707. Donc on peut y comparer les 2 sommes trouvées, et on remarque aisement qu'aucune ne fonctionne car 2432 et 2433 sont differents de 2431+4k avec k entier. Donc l'un comme l'autre ont tort…

D'apres mes premiers calculs, si la somme initiale etait de 2431, c'est qu'il s'agissait des 11 cartes les plus petites (les 11 plus petits couples de nombres). On en deduit aisement que les cartes restantes composent les sommes allant de 245 a 357, toujours de 4 en 4 naturellement. Donc en procedant exactement de la meme facon on peut encadrer la somme de nightmare par les sommes extremes (des 11 plus petites et plus grandes cartes restantes) qui valent respectivement 2630 et 3390. On a donc bien du mal a concevoir la reponse de Nightmare lol, car 2626 n'appartient pas a l'intervalle trouvé…

Voila c'est peut etre plein de blabla mais je pense que cela se tient…
A bientot

La somme des deux nombres consécutifs écrits sur une carte est un nombre impair. La somme de 11 nombres impairs est un nombre impair. Donc la somme des nombres écrits sur les 11 cartes choisies par Puisea ne peut être 2432.

La somme des deux nombres consécutifs écrits sur une carte est de la forme 4n+1 avec 50n89 donc la somme de 11 cartes moins 11 est un multiple de 4. 2433-11=2422 n'est pas un multiple de 4, donc Puisea a raison.

Les sommes des nombres sur une carte sont: 201, 201+4, 201+, 201+,...
La somme des 11 cartes de puisea plus et des 10 cartes de Nightmare réunies est supérieure ou égale à la somme des 21 premières cartes du jeu, donc supérieure à + =5061.
Or si la somme des 11 cartes de puisea est 2431 et celle des 10 cartes de Nightmare est 2626, le total est de 2431+2626=5057!

1°) Sur chaque carte il est inscrit un nombre pair et un nombre impair. Leur somme est donc impaire. Si Puisea prend 11 cartes, la somme de 11 nombres impairs est forcément impaire. Elle ne peut donc égaler 2432.

2°) Remarquons d'abord que si la somme des 2 nombres d'une carte fait N, la somme des 2 nombres de la carte suivante fait N + 4. (Ainsi 100 + 101 = 201, 102 + 103 = 205 = 201 + 4, 104 + 105 = 209 = 205 + 4, etc...)

Pour toutes les cartes, les sommes N sont donc congrues à 201 modulo 4, c'est à dire à 1 modulo 4.
Si l'on pioche 11 cartes, la somme des11 N sera alors congrue à 11 modulo 4, c'est à dire à 3 modulo 4.

Or 2433 est congru à 1 modulo 4, il est donc impossible que ce soit la somme des nombres inscrits sur les 11 cartes de Puisea.

3°) Nous allons raisonner par l'absurde, en supposant que Nightmare dit la vérité et en aboutissant ensuite à une impossibilité.
Calculons d'abord la somme des nombres inscrits sur les 40 cartes. Elle est égale à 100 + 101 +102 +103 + ... + 179 = 80*100 + 79*80/2 = 11160
Retirons la somme des 11 cartes qu'à piochées Puisea : la somme des 29 cartes restantes fait 11160 - 2431 = 8729
Si Nightmare avait pioché 10 cartes dont la somme faisait 2626, il resterait alors 19 cartes dont la somme ferait 8729-2626 = 6103
Or la somme des 19 cartes les plus élevées (de 142 + 143 à 178 + 179)  fait
142*38 + 37*38/2 = 6099. Il est donc impossible de trouver 19 cartes dont la somme fasse 6103, ce qui veut dire que la somme des 10 cartes de Nightmare est supérieure à 2626. Nightmare s'est donc trompé dans son décompte.

La somme des deux chiffres sur une cartes donne un nombre impair
donc la somme de 11 nombres impaires est impaire et donc 1432 est impossible

On remarque ensuite que la plus petite somme de 11 cartes est

S= 22 *(100+121)/2=2431

Donc pour obtenir 2433 il faut ajouter 2 à la somme précédente ou retirer une carte et la remplacer parune carte dont la somme de ses 2 nombres est supérieur de 2.
La somme des cartes allant de 4 en 4 est impossibles
On peut avoir 1431 ou 2435 mais pas 2433.

Il reste donc seulement les 29 cartes les plus importante donc les nombres allant de 122 à 179
La somme minimale obtenue avec ces 29 cartes est

S2=20(122+141)/2=2630

il est donc impossible d'obtenir une somme de 2626.

Raulic

bonjour,

soit p le premier nombre inscrit sur une carte. p est pair
la somme des 2 nombres d'une meme carte est: p+p+1=2p+1

on tire 11 cartes au hasard, alors la somme des nombres inscrits sur ces 11 cartes est:
S=(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)+(2d+1)+(2e+1)+(2f+1)+(2g+1)+(2h+1)+(2i+1)+(2j+1)+(2k+1)=2(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k)+11=2(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+5)+1
donc S est impair et ne peut pas etre egale a 2432

on a dit que pour une carte donnee, p est pair. donc p=2p'
d'ou S=2(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k)+11
S=2(2a'+2b'+2c'+2d'+2e'+2f'+2g'+2h'+2i'+2j'+2k')+11
S=4(a'+b'+c'+d'+e'+f'+g'+h'+i'+j'+k')+11

2433-11=2422
2422/4=605.5 ce n'est pas un entier or p', donc (a'+b'+c'+d'+e'+f'+g'+h'+i'+j'+k') est un entier donc S ne peut pas etre egale a 2433

S=2431
si on prend pour a' le plus petit nombre possible, c'est a dire 50 et ainsi de suite jusqu'a k', on trouve
S=4(50+51+52+53+54+55+56+57+58+59+60)+11=2431
donc les 11 cartes tirees sont les 11 premieres cartes

il reste 29 cartes, on en tire 10 et la somme minimale de ces 10 cartes est
S'=4(61+62+63+64+65+66+67+68+69+70)+10=2630
donc S'>=2630>2626
S' est strictement superieure a 2626 donc nightmare a fait une erreur

loloyoyo

bonjour,

que penser de la suite , c'est vous qui me le direz......

Tous les chiffres inscrits sur les cares sont impairs et vont de 201 à 357 . Il s'agit en fait d'une progression arithmetique de 40 termes de raison 4 et de 1° terme 201.

1/. somme 2432 : l'addition de 11 chiffres impairs ne peut donner qu'un nombre des unites impairs donc le 2 de 2432 est imposible et par consequence le reste.

2/. la somme 2433 doit representer la somme de 11 chiffres choisis dans la progression arithmétique definie auparavant.
221

221 est aux alentours de la moyenne de la somme de ces 11 chiffres
il faut aussi que le chiffre des unites soit 3 par exemple : 0+3=3
les chiffre unites des 5 premiers chiffres ont un total de 25 et les suivants 25 aussi il suffit de prendre un chiffre avec 3 et qui sait ?
verifions avec les 10 premiers + 253 comment nous nous situons par rapport à 2433 ; cette somme nous donne 2443 > 2433
toutes les autres combinaisons tel que 5 fois (5+1) + 3 nous obligerait a prendre des chiffres superieurs donc a depasser  le total de  2433

N.B. 2433 peut etre obtenu avec 9 chiffres :

209+229+249+269+289+309+329+233+317 = 2433

3/. 2431 est obtenu avec la somme des 11 premiers chiffres de 201 à 241



4/. on enleve donc les cartes de 201 à 241 et il nous reste 29 cartes de 245 à 357 pour obtenir un total de 2626 avec 10 cartes.

faisons la somme des 10 premiers termes :

S =

nous n'avons a notre disposition que des chiffre superieurs donc la somme de 2626 ne peut etre obtenu avec 10 cartes parmis les 29 restantes.

je vais essayer de vous joindre mon tableau de valeurs.

ca ne passe pas


merci j'attends le resultat

Si le tirage de Puisea n'est composé que des 11 premières cartes, c'est-à-dire  comprise entre 100 et 121, la somme de ces cartes est de 100 *22 +(22*21)/2=2431.
La différence entre 2 cartes consécutives est de :
((n+2)+(n+3))-((n+1)+(n))=4; alors la plus petite différence entre les sommes des nombres incrits sur un nombre donné de cartes est de 4.
Aussi, la somme immédiatement supérieure à 2431 ne peut être que 2435, donc il est impossible de trouver une somme égale à 2432 ou à 2433.
Si la vraie somme est de 2431, alors Puisea a tiré les 11 premières cartes du jeu, et les cartes restantes vont donc de 122 à 179.
Alors la somme des valeurs faciales des 10 premières cartes ( de 122 à 141) des 29 restantes est de 122*20 +(20*19)/2=2630
Il est impossible, d'avoir une somme de 10 cartes inférieure à 2630, donc le résultat de 2626 est faux.

Puisea choisit 11 cartes et annonce que la somme des nombres écrits sur toutes ces cartes est de 2432. Nightmare s'arrête et lui affirme que cela n'est pas possible.
Prouvez que Nightmare a raison.

la somme sur chaque carte est égale à : Un=197+4n
Chaque carte a donc une somme impair.
Si on en prend 11 alors la somme est obligatoirement impaire, ce qui n'est pas le cas car S=2432, donc nightmare a raison.

Nightmare compte à son tour les cartes de Puisea et affirme que la somme fait 2433. Puisea alors étonné lui dit : "Cela est impossible".
Prouvez que Puisea a raison.

la somme de 11 cartes vaut(n1 = rang de la carte n1,...)
Sn = 197*11 + 4(n1+n2+n3+...+n11)=2167+4(n1+n2+..+n11)
si S=2433 alors (n1+n2+...+n11)= (2433-2167)/4=66,5 impossible car le résultat doit être entier
Puisea a donc raison

En fait la somme était de 2431 (vous ne pourrez pas vous aider de cela pour prouver les deux questions précédentes!).

Nightmare pioche alors 10 cartes dans les 29 cartes restantes et affirme que la somme de ces cartes fait 2626.
Prouvez qu'il a fait une erreur.
si la somme vaut 2431 alors on peut calculer :
(n1+n2+..+n11)=(2431-2167)/4=66
ce qui veut dire que les 11 cartes piochées sont les cartes allant de 1 à 11 car 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66

Nighmare pioche donc 10 cartes parmi les 29 restantes :
donc Sn=10*197+4*(n1+n2+...+n10)=1970+4*(n1+n2+...+n11)
si Sn=2626 alors (n1+n2+...+n10)=(2626-1970)/4=164
ce qui veut dire que la somme des rangs des 10 cartes parmi les 29 restantes vaut 164.

Or nous avons vu que parmi les 29 cartes aucune on un rang compris entre 1 et 11.
donc la somme minimum des 10 rangs vaut donc 12+13+14+15+16+17+18+19+20+21 = 165 donc on ne peut jamais obtenir somme des rang des 10 cartes = 164

Nighmare a donc fait une erreur !!!

Voilà l'énigme est terminé.
Bravo à vous tous

A la prochaine

bonsoir,

disons que vous avez été un peu dur

sans rancunes

a la prochaine

Paulo

Bonjour paulo,

Franchement j'ai essayé de comprendre votre démonstration mais après plusieurs relectures je n'arrivais toujours pas à voir certains liens!
Alors ne comprennant pas je vous ai mis un poisson car l'accent était mis sur l'expliquation, il fallait etre clair vu que le résultat était déjà donné.

A plus

salut clemclem :

Pourquoi j'ai encore eu un

Qu'est ce qui ne va pas dans ma démo ?

_{ça fait deux fois à suivre qu'on me fait le coup : regardes bien, s'il te plait ...}

Łчδййấỉš

en plus, quand je vois la réponse de raulic ( qui est la même que la mienne en un peu moins expliqué ) et ue je vois que lui, il a le droit à un   , je trouve ça tout à fait étonnant.

Vérifie stp clemclem ...

Łчδййấỉš

Bonjour lyonnais,

Disons que sur ta réponse j'ai cherché la petite bête car tu dis que la sommes des cartes de Puisea est soit de 2431 soit celle d'après est de 2434 or c'est 2435!
Donc ton raisonnement est faux...Enfin tu laisse apparaître une faille

A plus

Il est vrai que raulic a fait lui aussi une faute de frappe (car je pense que c'est cela qui t'es arrivé) mais son résultat était annoncé auparavant donc je sais qu'il ne provient que d'une erreur de frappe contrairement à toi où je ne suis sûr de rien.

A plus

d'accord clemclem, mais c'est juste une faute de frappe.

Faudrait que je réapprenne les addition ... lol.

Nan, mais plus sérieusement : pourquoi tu acceptes la réponse de raulic et pas la mienne ( je te jures que c'est ce que je voulais marquer ) ?

En plus tout le reste est bon.

stp, reconsidère ton jugement pour compenser le que j'ai eu sur cette énigme Ligne brisée alors que là aussi, j'avais fait une faute de frappe.

Merci d'avance.

@+

moi je n'ia pa sfaux, je vous jure

relisez bien ma réponse

Yalcin, ta démonstration est très très difficile à suivre. Tu te contredis déjà en disant "Soit a_k est le nombre choisit au hasard sur une des cartes" et plus loin "a_k est pair tjs car c'ets le premier nombre d'une carte choisie au hasard".

Ensuite, dis-moi si j'ai mal compris tes expressions, tu dis que et A=11+2*B avec . Alors là je ne suis pas du tout d'accord car d'après tes notations



et je ne vois pas de quel droit tu dis que

Pour qu'une démonstration soit correcte il ne suffit pas de trouver le résultat espéré, il faut que tous les pas menant à ce résultat soient justifiés.

Isis

je sais, je suis chiant d'insister ...

Alors clemclem : verdict

Łчδййấỉš

Bon je devrais éviter de poster tard le soir, je dis toujours des bêtises. Je reviens à la démonstration de Yalcin. Je viens de comprendre que a_k pour lui n'est pas un "nombre choisit au hasard sur une des cartes", mais la plus petite valeur d'une carte choisie. Dans ce cas la première démonstration est correcte car le "+1" n'est pas en indice contrairement à ce que j'ai vu hier soir.

Mais si a_k est le plus petit nombre d'une carte, a_k est bien impair et non pair comme il le prétend. B est donc la somme de 11 nombres impairs et B ne peut pas être pair...

Je m'excuse encore pour mon message d'hier soir, mais ses justifications sont tout sauf claires et on ne sait pas trop ce que valent chacune des variables introduites. b_k par exemple n'a jamais été définie...

Isis

fais un effort clemclem stp : je te promet que tu as tété chercher la bête la où il n'y en avait pas ...

Merci d'avance

bonjour isis
je crois que yalcin a raison. d'abord a_k est bien pair et non impair. aussi les je crois que 2*b_k=a_k c'est clair dans sa démonstration mais il n'a pas bien détaillé c'est tout.

fouad

Merci bigufo, j'aurais mieux fait de m'abstenir. On commence effectivement à 100. Je crois que sa démo est surtout mal présentée.

Isis

Bonjour,

lyonnais : Ta faute reste une faute (meme si elle est de frappe) et donc tu te vois attribuer un poisson.
Yalcin : Ta démonstration est difficilement lisible. Tu introduis des notations sans les définir.Ton raisonnement est peut-être bon mais difficilement compréhensible pour quelqu'un qui te lit =>

A plus

ok; merci quand même clemclem d'avoir regardé encore une fois ma réponse ...

J'accepte ta décision, et escuse moi de t'avoir légèrement embété, mais c'est que ça fait 2 fois à suivre que cette situation se produit, donc dsl ...

_{mais je comprends toujours pas pourquoi raulic lui, en a eu un ... enfin pff}

Merci pour l'énigme  

Łчδййấỉš