Bonjour
Si je comprend bien ,il s'agit du milieu des cotés du pentagone virtuel à retrouver

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Donc ,il faut tracer le pentagone dont ces points seront le sommet .
Les sommets du pentagone recherché seront sur les médiatrices de ces cotés
au sommet d'un triangle obtus isocèle 144 °18°/18° sans rapporteur notre géomètre
peut obtenir un masque de 18 ° en divisant par 8 les angles du pentagone tracé.

Bonjour Ming.

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Les vecteurs des diagonales du pentagone à trouver sont les doubles des vecteurs des côtés du pentagone formés par les points donnés. On peut donc dessiner une translation du pentagone à trouver.
Les sommets du pentagone sont les sommets de chaque triangle dont les côtés sont un côté du pentagone formé par les milieux et la moitié des côtés du pentagone en translation.

Bonjour,

considérons la figure ci-dessous:



les bornes données par l'empereur sont les points bleus A,B,C,D,E qui sont les
milieux des côtés du pentagone cherché. On relie ces bornes deux à deux (segments en bleu sur la figure). En prenant un compas,on peut construire le point F, intersection des arcs de centres E et D et de rayon DE. En joignant F à B, on construit la médiatrice de DE qui passe par le centre O du pentagone à construire. On répète cette opération pour chaque borne.L'intersection des médiatrice fixe le point O.On peut tracer un cercle de centre O et passant par F et les autres points d'intersection des médiatrices avec ce cercle ( en vert). Ces points sont les sommets d'un pentagone homothétique de celui recherché. Pour tracer le côté du pentagone cherché dont le côté est parallèle à FKG (en jaune)et qui passe par D, on utilise la propriété de la droite des milieux. On trace D' symétrique de D par rapport à F sur la droite DF et le point D", symétrique de D' par rapport à K sur la droite D'K. On trace la droite D"D qui coupe les médiatrices en L et Q: le côté du pentagone cherché est LQ. On trace un arc de cercle de centre Q, de rayon LQ qui coupe la médiatrice suivante en P.
De proche en proche on trouve N,M. Le pentagone cherché a pour sommets L,M,N,P,Q

Bien à vous

Bonjour

Une précision pour dpi et castoriginal, l'énoncé ne précise pas que le pentagone est régulier.

A+

Bonsoir Ming (Ombre jaune ?)

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P=S_Eo S_Do S_Co S_Bo S_A(P)
=S_Eo t_CD o t_AB(P)...
P est l'image de E par la translation FA (avec AF=AB+CD)

Rectification:

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oubli du double
S_Eo t_2CD o t_2AB(P)=S_P...

Bonsoir,

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La composée de 5 symétries centrales est une symétrie centrale, pour obtenir une solution il suffit de prendre le centre de cette symétrie comme premier sommet puis de prendre les images successives de ce points par les symétries dont les centres sont les milieux donnés.
On a donc a priori 5!/5/2=12 solutions possibles pour 5 milieux donnés.
On les obtient de façon évidente en traçant les parallèles aux milieux côtés passant par les sommets.
Il est facile de voir que, si les 5 milieux forment un pentagone convexe il n'y a qu'une solution qui n'est pas étoilé.

Bonsoir

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Beaucoup plus difficile avec un pentagone croisé...

Bonsoir Eric1
Les milieux sont, a priori, donnés sans ordre. On peut donc croire que le polygone n'est jamais croisé. Le problème est un peu plus délicat quand les 5 milieux ne forment pas un polygone convexe.