Bonjour à tous
Une question plutôt traditionnelle en géométrie est de trouver des figures partageant ( sous certaines conditions ) leurs périmètres et leurs aires .
En voilà une que je n'ai jamais vue :
Quel est le plus grand triangle que l'on peut inscrire dans le premier rectangle , dans le deuxième ?
Le premier problème est assez facile , le deuxième sûrement un peu moins .
Amusez-vous bien
Imod
PS : Je n'ai pas de solution au deuxième problème , il sera peut-être intéressant de mixer les deux questions .
salut
et merci
vite fait pour le premier je trouve :
Bonjour Carpediem
En fait le calcul des côtés est très simple pour le premier exemple . Pour le deuxième exemple , il y a une petite subtilité qui est masquée dans le premier .
Imod
salut
j'ai beau relire cet enoncé plusieurs fois j'ai rien compris qu'est ce que P et qu'est ce que A ? je ne comprend meme pas le sens de cette phrase "quel est le plus grand triangle P=A"?
Désolé @Flight , j'utilise tellement de raccourcis que je finis par ne plus les comprendre moi-même . On cherche des triangles dont l'aire en cm² est égale au périmètre en cm . Les triangles doivent être contenus dans les rectangles .
Imod
On ne va pas commencer à se donner du "vous" à nos âges
Il est amusant de voir pourquoi on arrive au maximum dans le premier rectangle mais certainement pas dans le second . Après , je vais te faire bondir mais donner une valeur exacte dans le deuxième rectangle permettra peut-être une généralisation qui m'intéresse à priori
Imod
Tu as raison , j'avais fait à peu près le même raisonnement .
En fait j'étais déjà parti sur un autre exemple avec un rectangle 9 cm X 5 cm et j'ai répondu de travers à ta dernière intervention .
Imod
Comme on l'a vu il n'y a pas de solution en dessous de 20.78460969.
Mais il y en a une infinité au dessus.
Donc 9x5 = 45 maxi 22.5 a une solution maximale.
Le mieux est de partir des obliques centrées soit45.25=6.727
Avec la base 9 on obtient un maxi pour 22.43076924, je ne pense pas que l'on puisse faire
mieux avec un grand coté très légèrement>9
On est très proche du maximum , tu peux illustrer ?
La mienne est piteuse
Imod
PS : Quels sont les rectangles pour lesquels l'aire atteint la moitié de celle du rectangle ?
Je te joins ma version maxi pour 5X9.
pour ton PS à part 6x7 je ne pense pas qu'il y ait cette propriété.
dpi : je ne comprends pas la conclusion de ta démonstration :
Note: c'est un problème qui dépend des unités utilisées. Il existe des solutions pour un rectangle de 9cm x 5cm mais pas pour 90mm sur 5mm. Qui sont pourtant les même dimensions.
Je ne vois pas ce qui empêche d'atteindre un triangle d'aire 22.5cm² et de périmètre 22.5cm.
En confondant un côté du triangle avec un des grands côtés du rectangle et en mettant le sommet opposé sur le grand côté opposé à exactement
3.75cm d'un des coins.
L'argument de Dpi est correct car l'aire du plus grand triangle que l'on peut inscrire dans un rectangle d'aire A vaut A/2 et le triangle d'aire A/2 ayant le plus petit périmètre est le triangle équilatéral . Le changement d'unités évoqué par LittleFox est équivalent à un agrandissement-réduction avec la règle k-k² donc l'exercice perd son sens , il faut rester en cm et cm² .
Imod
L'argument avec le triangle équilatéral fournit une fourchette basse pour P=A . Pour le rectangle 9cm X 5 cm on arrive à . On cherche en fait le contraire
Désolé pour les messages morcelés mais je n'ai quasiment plus de connexion avec le site ( je ne parle même pas de l'aperçu ) .
Imod
On sait que pour un rectangle donné de dimension axb ,l'aire du plus grand triangle inscrit sera égale à ab/2.
Le problème est d'en trouver un qui en même temps aura son périmètre égal à son aire.
Ceci bien sûr ne concerne que le nombre et pas l'unité (exemple cm et cm²).
J'ai démontré que le minimum pour ce nombre est 123.
Il sera donc impossible d'avoir une solution pour tout rectangle d'aire <243.
L'exemple de 6X7 --->donne la solution (6.5/7/7.5) soit 21 qui me semble le nombre
entier le plus petit (sans être sûr d'en trouver un autre).
Pour les rectangles d'aire ab supérieure,on trouvera un triangle au nombre maximal ,
mais <ab/2.
Par exemple pour 9x5 dont l'objectif est 22.5 je n'ai pas trouvé mieux que 22.4307692.
Si un vaillant îlien trouve mieux.........
Je viens de vérifier le nombre pour celui de Imod soit 21.62530273
inférieur à ma solution car la contrainte équilatéral le défavorise.
Le mien est isocèle ,mais rien ne dit qu'un triangle quelconque ne fera pas mieux comme
le dit carpediem.
>littlefox
Bravo ,c'est la démonstration qu'un triangle quelconque est la solution *.
9/6.2/7.25=22.5 avec pour aire 22.5 aussi.
*ce que je subodorais plus haut
Acceptes -tu le nombre 123 comme valeur pour le plus petit triangle
convenable ?
Ce qui rend inutile toute recherche pour des rectangles ayant une aire inférieure à 243.
Il me semble que le périmètre d'un triangle inscrit dans un rectangle de côtés a et b est toujours inférieur à qui correspond au périmètre du demi-rectangle . Donc dès que cette valeur est supérieure ou égale à , le plus grand triangle vaudra la moitié du rectangle .
Imod
En effet, le maximum pour un rectangle 10x6 est .
Obtenu avec un côté du triangle confondu avec une des diagonales du rectangle et le sommet opposé sur un des petits côtés du rectangle.
Oui , le meilleur périmètre est atteint pour un triangle s'appuyant sur une largeur et joignant le milieu de l'autre . Il reste à écrire l'équation P = A pour trouver les moments où l'on peut atteindre la moitié de l'aire . Il reste aussi les autres cas ...
Je déconnecte car ma liaison est épouvantable
Imod
Non, Imod. Ma solution ne s'appuie pas sur la largeur mais sur la diagonale.
Et l'équation s'écrit :
L'unique solution est donnée plus haut.
On peut remarquer que la hauteur minimale d'un triangle où P=A est 4. En effet, on a pour un triangle isocèle:
On a donc une aire minimale pour le rectangle mais aussi un côté minimal (de 4).
merci à dpi pour ses msg de 8h25 et 8h31 ...
une remarque mon premier msg montrait qu'on avait une solution maximale avec un rectangle 6 x 7 et un triangle quelconque
merci à Imod pour ses msg aussi et en particulier son ouverture sur la majoration du périmètre auquel je n'avait pas pensé du tout ...
en fait j'étais parti avec ggb (pour comparer les démarches avec LittleFox) et le travail suivant (donc purement expérimental et "sans réflexion approfondie") :
attention ici avec le rectangle 5 x 8 :
le triangle EFG est libre à l'intérieur du rectangle ... mais ne permet pas de "penser" grand chose
j'ai donc ensuite construit le point H sur le périmètre du rectangle ...
j'ai alors pu construire les lieux (en pointillé) des points M et N dépendants de H :
ils ont pour abscisse l'abscisse de H et pour ordonnée pour l'un l'aire du triangle EFH et pour l'autre le périmètre du triangle EFH (en fait j'ai divisé par 4 les ordonnées pour que les lieux apparaissent à l'écran)
ici on le voit (enfin je le vois) en animant H que jamais les points M et N ne sont confondus donc il n'y a pas de solution
pour le triange 6 x 7 on obtient bien deux intersections par symétrie par rapport à la médiatrice du segment [AB] (avec E = A et F = B bien sûr)
et je vois des développements intéressants donc merci pour vos recherches ...
Tu as raison LittleFox , il faut s'appuyer sur la diagonale pour réduire le périmètre sans changer l'aire .
Sans vouloir faire de la théorie à tout prix , ce qui me semble intéressant c'est de déterminer la valeur commune du périmètre et de l'aire en fonction des côtés du rectangle ( entiers ou pas ) .
Imod
Bonjour,
Dans ton exercice,on peut dégager quelques conclusions:
Appelons équitriangle un triangle dont l'aire est égale au périmètre A=P.
* Il n'y a aucun équitriangle dans un rectangle d'aire inférieure à 24 3.
* dans un rectangle 6x7 -->S=42 , il y a un équitriangle A=P= 21=S/2
*dans les triangles de dimensions supérieures ,il y aura une solution à S/2
*Si A=P=S/2 , l'équitriangle sera quelconque.
*Si A=P <S/2, le plus grand équitriangle pourra ne pas être quelconque.*
* ?
Je n'ai pas de preuve mais je pense pouvoir poser comme hypothèse que le plus grand triangle aura au moins deux de ses sommets confondus avec les sommets du rectangle.
Ce qui veut dire qu'un des côtés du triangle est confondu soit avec un côté du rectangle, soit avec une diagonale.
De là on peut dessiner le petit schéma suivant :
Dans les coordonnées alignées avec un côté du triangle, l'ensemble des positions du sommet opposé pour qu'il soit équitriangle est donnée par:
Avec la longueur du côté du triangle.
Soit le triangle est sur un côté et le sommet sur un côté adjacent :
Il faut donc que ce côté adjacent soit plus grand ou égal à y.
Soit le triangle est sur un côté et le sommet sur le côté opposé (de longueur l) :
Il faut donc que f soit plus grand que .
Soit le triangle est sur une diagonale et le sommet sur le petit côté du rectangle.
Soit la longueur du grand côté et celle du petit.
Ça devient compliqué à résoudre. Il vaut mieux résoudre dans les coordonnées du rectangle.
Soit z la distance au sommet opposé le long du petit côté.
On a ,
dont la solution est
Il faut donc que
En comparant ces trois solutions (si elles existent) on choisi la plus grande.
@LittleFox
J'ai une liaison internet vacillante et aucune imprimante mais au premier coup d'œil , je te suis pour les différents cas , même si je n'arrive pas à ouvrir le lien geogebra . J'ai toutefois l'impression qu'on ouvre plus de portes qu'on en ferme .
Par exemple , quels sont les rectangles pour lesquels la solution correspond à la moitié de l'aire du rectangle . J'ai l'impression ( sans aucune certitude ) qu'ils correspondent aux cas ou le périmètre du demi-rectangle est supérieur à son aire .
Il y a bien d'autres questions , je serai plus disponible la semaine prochaine , en attendant , amusez-vous
Imod
Les rectangles pour lesquels la solution correspond à la moitié de l'aire du rectangle sont ceux pour lesquels la solution correspond à mon deuxième cas: un côté du triangle sur un côté du rectangle et le sommet opposé sur le côté du rectangle opposé.
On obtient .
C'est très proche de ta condition mais moins restrictive.
Par exemple, le rectangle 10x5 ne rempli pas ta condition mais la solution est bien la moitié de l'aire du rectangle.
Désolé, il y a une erreur de signe dans ma formule:
Il faut lire
Avec
Ce qui donne une fine bande:
La deuxième condition correspond bien à ta contrainte sur le périmètre et l'aire du demi-rectangle.
J'apprécie le remarquable travail de Littlefox
On fait un état des lieux:
7x6 ok 21 base et sommet sur longueur.
5X8 impossible <20.8
9x5 ok 22.5 base et sommet sur longueur
10x6 quelconque 27.098 diagonale et sommet sur petit coté
Question :un rectangle d'aire égale a t-il une solution équivalente ?
par exemple 15x4 aura t-il un équitriangle de 27.098?
Imod on espère une bonne liaison pour ton outil
Bonjour,
En attendant une théorie complète ...
j'en ajoute 2:
10x5 type base sur longueur/sommet sur longueur opposée
sommet à 1.645898.. du bord A=P=25.
12x6 même type que 10x6 donc maxi < S/2 =36
soit 30.541 avec 13.416 x5.0902 x 12.0344
En observant les 7 cas résolus ,je pense qu'il ne faut s'intéresser qu' à
ceux pour lesquels A=P=S/2
Même s'il reste des points à éclaircir , il me semble que pour les rectangles à côtés entiers réalisant la moitié de l'aire , les six solutions sont données par la double inégalité de LittleFox
Imod
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