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Niveau troisième
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Le problème du chevalier de Méré

Posté par
Louisa59
26-12-09 à 15:35

Bonjour

2 joueurs A et B sont engagés dans un jeu  en plusieurs parties aléatoires.

Chacun parie 32 pistoles. Le premier qui gagne trois parties remporte la totalité de la mise.

Le chevalier de Méré s'est demandé comment répartir la mise si les joueurs décident d'interrompre le jeu en cours.

Blaise Pascal et Pierre de Fermat ont résolu ce problème :

Citation :
Voici à peu près comme je fais pour savoir la valeur de chacune des parties, quand deux joueurs jouent, par exemple, en trois parties, et chacun a mis 32 pistoles au jeu.

Posons que le premier en ait deux et l'autre une ; ils jouent maintenant une partie, dont le sort est tel que, si le premier la gagne, il gagne tout l'argent qui est au jeu, savoir 64 pistoles ; si l'autre la gagne, ils sont deux parties à deux parties, et par conséquent, s'ils veulent se séparer, il faut qu'ils retirent chacun leur mise, savoir chacun 32 pistoles.

Considérez donc, Monsieur, que si le premier gagne, il lui appartient 64 : s'il perd, il lui appartient 32. Donc s'ils veulent ne point hasarder cette partie et se séparer sans la jouer, le premier doit dire : "Je suis sûr d'avoir 32 pistoles, car la perte même me les donne ; mais pour les 32 autres, peut-être je les aurai, peut-être vous les aurez, le hasard est égal ; partageons donc ces 32 pistoles par la moitié et me donnez, outre cela, mes 32 qui me sont sûres". Il aura donc 48 pistoles et l'autre 16.

Posons maintenant que le premier ait deux parties et l'autre point, et ils commencent à jouer une partie. Le sort de cette partie est tel que, si le premier gagne, il tire tout l'argent, 64 pistoles ; si l'autre la gagne, les voilà revenus au cas précédent auquel le premier aura deux parties et l'autre une.

Or, nous avons déjà montré qu'en ce cas il appartient à celui qui a les deux parties, 48 pistoles : donc, s'ils veulent ne point jouer cette partie, il doit dire ainsi : "Si je la gagne, je gagnerai tout, qui est 64 ; si je la perds, il m'appartiendra légitimement 48 : donc donnez-moi les 48 qui me sont certaines au cas même que je perde, et partageons les 16 autres par la moitié, puisqu'il y a autant de hasard que vous les gagniez comme moi". Ainsi il aura 48 et 8, qui sont 56 pistoles.

Posons enfin que le premier n'ait qu'une partie et l'autre point. Vous voyez, Monsieur, que, s'ils commencent une partie nouvelle, le sort en est tel que, si le premier la gagne, il aura deux parties à point, et partant, par le cas précédent, il lui appartient 56 ; s'il la perd, ils sont partie à partie donc il lui appartient 32 pistoles. Donc il doit dire : "Si vous voulez ne la pas jouer, donnez-moi 32 pistoles qui me sont sûres, et partageons le reste de 56 par la moitié. De 56 ôtez 32, reste 24 ; partagez donc 24 par la moitié, prenez en 12, et moi 12, qui, avec 32, font 44".

Posté par
Louisa59
re : Le problème du chevalier de Méré 26-12-09 à 15:39

Mince ! j'ai oublié les questions :

1) justifier qu'il y aura obligatoirement un vainqueur au bout de 5 parties.

2) Comment répartir la mise si les joueurs A et B ont chacun gagné une partie et décident d'arrêter le jeu.

Posté par
Daniel62
re : Le problème du chevalier de Méré 26-12-09 à 20:11

Bonjour Louisa,

1) justifier qu'il y aura obligatoirement un vainqueur au bout de 5 parties.

si on considère qu'au bout de 4 parties:

  - il y a eu un vainqueur: l'un deux a déjà gagné 3 parties

    le problème est résolu

  - il n'y a pas eu de vainqueur: chacun a gagné 2 parties

    à la partie suivante, le prochain vainqueur aura gagné 3 parties

2) Comment répartir la mise si les joueurs A et B ont chacun gagné une partie et décident d'arrêter le jeu.

   les deux joueurs sont à égalité,

   ils ont autant de chance de gagner l'un que l'autre

   la mise sera répartie en 2 parties égales:

   soit 32 pistoles à chacun.

Posté par
Louisa59
re : Le problème du chevalier de Méré 26-12-09 à 21:17

Bonsoir Daniel

merci, heureusement que tu es là, pourtant aujourd'hui il n'y avait pas beaucoup de demandes  

je comprends pas grand-chose

il me reste des questions :

Les joueurs jouent 5 parties, même si un joueur gagne le jeu avant .

Le joueur A gagne la 1ère partie.

1) Faire un arbre permettant d'écrire les 16 possibilités de jeux.

Préciser le vainqueur de ce jeu.

2) Quelle est la probabilité que le joueur A gagne le jeu ?

3) Aprés la 1ère partie gagnée par le joueur A, les joueurs décident d'interrompre le jeu.

Proposer une répartition équitable de la mise.

_____________________________________

Je dois t'avouer franchement que je comprends que dalle


Merci

Posté par
Daniel62
re : Le problème du chevalier de Méré 26-12-09 à 21:41

re Bonsoir,

Le joueur A gagne la 1ère partie.

il reste 4 parties, soit 24 = 16 possibilités

1) pour faire un arbre, je sais pas

1,0 --> 2,0 --> 3,0 --> 4,0 --> 5,0  A
1,0 --> 2,0 --> 3,0 --> 4,0 --> 4,1  A

1,0 --> 2,0 --> 3,0 --> 3,1 --> 4,1  A
1,0 --> 2,0 --> 3,0 --> 3,1 --> 3,2  A

1,0 --> 2,0 --> 2,1 --> 3,1 --> 4,1  A
1,0 --> 2,0 --> 2,1 --> 3,1 --> 3,2  A
    
1,0 --> 2,0 --> 2,1 --> 2,2 --> 3,2  A
1,0 --> 2,0 --> 2,1 --> 2,2 --> 2,3  B

1,0 --> 1,1 --> 2,1 --> 3,1 --> 4,1  A
1,0 --> 1,1 --> 2,1 --> 3,1 --> 3,2  A

1,0 --> 1,1 --> 2,1 --> 2,2 --> 3,2  A
1,0 --> 1,1 --> 2,1 --> 2,2 --> 2,3  B

1,0 --> 1,1 --> 1,2 --> 2,2 --> 3,2  A
1,0 --> 1,1 --> 1,2 --> 2,2 --> 2,3  B

1,0 --> 1,1 --> 1,2 --> 1,3 --> 2,3  B
1,0 --> 1,1 --> 1,2 --> 1,3 --> 1,4  B

11A + 5B

à vérifier ...

Posté par
Louisa59
re : Le problème du chevalier de Méré 26-12-09 à 21:58

Merci Daniel

probabilité de gain pour A = 11/16 et pour B = 5/16

le vainqueur sera A

Valable pour questions 1 et 2

Posté par
Daniel62
re : Le problème du chevalier de Méré 26-12-09 à 22:32

c'est cela OUI

Citation :
le vainqueur sera A

  disons que A sera le vainqueur dans 11 cas sur 16

Citation :
Préciser le vainqueur de ce jeu

  on précise le vainqueur dans chacun des 16 cas
  et non pas pour l'ensemble du jeu.

3) répartition équitable

il y a 64 pistoles sur la table

je propose:

64*11/16 = 44 pistoles pour le joueur A

64*5/16  = 20 pistoles pour le joueur B

Posté par
Louisa59
re : Le problème du chevalier de Méré 26-12-09 à 22:48

Citation :

  on précise le vainqueur dans chacun des 16 cas
  et non pas pour l'ensemble du jeu.


Ah ok ! merci

pour la 3) on fait de cette façon ?

alors merci beaucoup

Et j'essaie de faire l'arbre pour moi

ici impossible de le mettre

Merci Daniel

T'es adorable

bisous


Posté par
Daniel62
re : Le problème du chevalier de Méré 26-12-09 à 23:02

de rien très chère Louisa

pour la 3 c'est bien ça

on répartit en fonction des probabilités d'espérance de gain

Posté par
Louisa59
re : Le problème du chevalier de Méré 27-12-09 à 00:55

Coucou

Enfin terminé


Le problème du chevalier de Méré

Merci

Posté par
Daniel62
re : Le problème du chevalier de Méré 27-12-09 à 01:03

très joli dessin Louisa



je t'adore

bisous

Posté par
Louisa59
re : Le problème du chevalier de Méré 27-12-09 à 02:07

Merci

id.



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