et pourtant, dans (+5) + (-6), on ajoute l'opposé de 6 donc on soustrait 6, c'est bien ça qui justifie que c'est pareil que 5 - 6, non ?

enseigner c'est répéter, non ? ils confondent inverse et opposé ? et bien répétons leur que l'opposé c'est lié à la somme, et l'inverse, au produit, ça finira bien par rentrer....
il faut surtout se garder de leur donner des "recettes" qui vont immanquablement les pousser à s'inventer des "recettes-élèves" qui quelques années plus tard les mèneront droit dans le mur. C'est pour ça qu'il est important de recruter des enseignants qui maîtrisent leur matière bien au delà du niveau exigible des élèves à qui ils enseignent.
Je me souviens avoir compris en lisant une "application" dans un manuel de quatrième (vous savez, cette page en fin de chapitre destinée à montrer combien les maths sont utiles dans la vraie vie, en faisant semblant de résoudre un problème soi disant concret), je me souviens avoir compris, donc, pourquoi autant d'élèves que j'avais eu à bac + 2 quelques années auparavant faisait tous la même erreur sur des trucs normalement acquis au lycée (j'ai oublié et l'erreur et le thème de cette page, c'est dommage) : il n'y avait rien de réellement faux, dans cette page, mais la manière de présenter les choses installait dans l'esprit du jeune lecteur un terrain propice à contresens sur une notion étudiée deux ou trois ans plus tard.

L'important, c'est qu'ils savent calculer, pas besoin de théorie pour ça! de toutes façons, je vous défie de prouver la règle des signes!

Non, je ne pense pas Francchoix.
Tous mes problèmes sont venus du faits que l'on n'a pas assez répété ces règles et que les livres sont très mal faits.
Et mieux vaut apprendre ces règles, pour la suite, c'est beaucoup, mieux, je le sais à mes dépend, moi qui avait fait de la simplification abusive en disant par exemple avec 5-6, que c'est une soustraction.
Or je me force à présent, de considérer 5-6 comme une ERITURE SIMPLIFIEE D'UNE SOMME ALGEBRIQUE.
J'ai du regarder des vidéos de maths sup voir plus, sur les ensembles, groupes, anneaux, corps, pour être sur que la soustraction "n'existe pas", et qu'elle n'a que peu d'intérêt. (Anticommutative etc...)
Sinon, si ce n'était pas le cas, comment expliquer que 5x-6 soit de la forme ax+b sinon en disant que la règle supprimant les parenthèses et les signes d'addition à été utilisée ?!
De cette manière on n'a plus le signe plus. C'est donc (+5)*(x)+(-6) qui devient 5x-6.

Rien de plus simple. De cette manière, on n'a aucune chance de se tromper.

Peu de livres montrent cette manière de faire, en croyant faire simple et parlant de soustraction, et surtout en disant qu'une somme algébrique, ça nous sert à dire que l'addition et la soustraction sont la même chose, avec de mauvaises définitions donc, l'élève est induit en erreur.
Sans rentrer dans des considérations de Post-bac, les profs pourraient faire comme certains de leurs collègues, dire "attention, ne privilégiez pas la soustraction, faites attention, pensez toujours à prendre le signe moins devant un nombre et lui associer."

De plus, je l'avais dit une fois, la règle sur les parenthèses suffit pour simplifier des relatifs.
5-(2+3)=5-2-3. Donc, pour deux relatifs. (+5)-(+6)=5-6 en utilisant la même règle.
Il faut juste se dire que 5-6 n'est pas une soustraction mais une écriture simplifiée de relatifs. C'est en fait une addition, car avant de simplifier des relatifs, il faut s'assurer que l'on n'a uniquement des additions.

Si on dit que c'est une soustraction alors que l'on vient de voir les relatifs... euh... A quoi bon avoir vu les négatifs si on ne les utilise jamais dans ce cas ^^

Enfin : "L'important, c'est qu'ils savent calculer". Oui, mais ce n'est pas en seconde que l'on passera 10 minutes à se faire mal à le tête sur un problème de signes de 4ème.
Il faut donc des automatismes, des règles rapides et qui marchent en toutes circonstances.

Bonjour,
J'ai quand meme l'impression que ton souci vient du fait que tu interpretes une "expression" comme un algorithme (ou une opération si tu preferes) alors que c'est le resultat d'une opération qui est representé par une opération algébrique. 5-2 ou 5+(-2) c'est un nombre et en l'occurence le meme, que tu le vois comme l'addition de -2 a 5 ou la soustraction de 2 a 5, et c'est bien pour ca qu'on se permet d'user de la meme notation.

Je me permet de te rappeler la "definition" de soustraction et d'opposé et je pense que ca reglera tes soucis. En fait ce que je raconte est faisable pour n'importe quel "opération" sous des hypotheses peu contraignantes (je ne donne pas les constructions formelles, je pourrais le faire, mais comme tu es en première je prefere garder un peu d'informel).

Une fois que tu as défini l'addition sur les entiers naturels (ou sur les réels positifs, mais en general on introduit les nombres negatifs avant) et vu ses propriétés fondamentales (associativité, ajouter 0 redonner le meme nombre, commutativité etc...), tu peux définir a-b (ici a et b sont des entiers positifs), comme l'unique entier naturel, s'il existe, tel qu'ajouté à b donne a.
Autrement dit a-b est défini par b+a-b=a. Note que a-b est une notation pour un nombre, je n'ai pas donné de sens au signe - tout seul.

Tu t'apercois assez vite que ce nombre n'existe pas toujours, alors tu peux "rajouter formellement" à l'ensemble des entiers, l'ensemble des a-b, pour tout a et b entiers positifs (je ne detaille pas, mais on peut faire ca).
De part l'associativité de l'addition, tu vois facilement que a-b=a+0-b, et tu te rend compte donc qu'il n'y a besoin en fait que d'ajouter les nombres 0-b, pour b strict positifs.
On décide de noter ce nombre -b au lieu de 0-b.

A partir de la on peut etendre l'operation - a tous ces nouveaux entiers, en disant que a-b, c'est toujours le nombre tel que (a-b)+b=a. Ici a et b sont des entiers quelconques.
Au passage cela prouve facilement que -(-b)=b, le nombre x tel que x+(-b)=0, c'est b, par unicité de celui ci (que je n'ai pas prouvé, mais qui se fait en 1 ligne).

Anisi a-b ou a+(-b) cela désigne le meme nombre, soit le nombre qui ajouté à b donne a, soit la somme du nombre a et du nombre qui ajouté a 0 donne b, et c'est bien le meme. D'ou le fait de choisir la première notation, car elle est plus simple.

Au passage, la "regle des signes" (si c'est bien moins par moins fait moins etc...) resulte simplement du fait que l'on veut la distributivité de la multiplication sur l'addition, (1-1).a=a+(-1).a=0.a=0, donc (-1).a=-a.

Quant a prouver que toute suite (reelle) croissante et majorée converge, j'espere bien que quiconque fait des maths sait démontrer une telle chose, cela resulte directement de la propriété de la borne supérieure.

Au passage, pour définir de manière explicite l'operation soustraction, une fois que tu as defini les nombres a-b, pour tout a et b entiers quelconques.
Tu as plusieurs manières de faire, toutes equivalentes bien sur.
Tu peux definir une application opp:Z->Z, qui associe -a à a.
Et tu peux definir sous:ZxZ->Z, qui à (a,b) associe a-b, c'est la "soustraction" et tu avais add:ZxZ->Z qui à (a;b) associe a+b
Tu remarque facilement que sous(.,.)=add(., opp(.))
Et on note bien sur a-b (resp a+b) pour sous(a,b) (resp add(a,b) et l'identité de ma ligne precedente assure que a-b=a+(-b) (ce qu'on savait deja, mais histoire de tout définir)

Bonjours marmelade,

Théoriquement in n'y a que deux opérations, mais sur la calculatrice il y en a quatre et on les utilise; donc on peut parler de soustractions et de divisions; si on a x-1, on dit x-1 et non pas x + l'opposé de 1. Donc pour moi le problème, c'est que l'on apprend à calculer en calculant et c'est ce que l'on ne fait plus du tout, d'où les problèmes énormes que l'on a au lycée avec le calcul. Quant à la règle des signes, elle ne peut être qu'admise et doit être un réflexe.
Quand tu dis "propriété" de la borne supérieure, tu veux dire "axiome" .

Le fait de n'avoir que 2 opérations est bien pratique pour définir les structures algébriques (anneaux, corps), mais dans la pratique, on dit: "on soustrait membre à membre" et tout le monde comprend. Bien sûr la soustraction est une opération secondaire ( a-b=a+(-b)), mais comment est définit l'opposé? comment expliques-tu que si on multiplie une inégalité par -1, elle change de sens?
Avant, était définit à l'aide d'une relation d'équivalence et en termes de représentants privilégiés, (n,0) était l'opposé de (0,n)et on avait (n,0)+(0,n)=(n,n)=(0,0), puis on notait (n,0)=-n et (0,n)=n; mais maintenant, l'opposé n'a plus de statut, donc on admet et on manipule, quand a la multiplication, c'était la multiplication dans avec un signe qui dépendait d'une régle; pour les justifications, on verras plus tard pour les curieux.
Quant à la construction de , éventuellement par des suites de Cauchy de rationnels, elle ne peut pas se passer de l'axiome de la borne sup, comme la construction de ne peut se passer de l'axiome de l'infini; si j'ai tort, je veux bien voir une démo.

OK! Mais la construction de est imbuvable!
Depuis longtemps.

Je ne vois pas trop ou tu veux en venir, a vrai dire. Bien sur que je suis capable de prouver que qu'une multiplication par -1 change le signe d'une inégalité dans R, ou de donner la définition de l'oppose. Je ne doute pas que tu saches que toutes ces propriétés des réels (ou autre) qu'on utilise ont bien des preuves. Donc je ne comprend pas trop le sens de tes questions.
Pour Z et sa construyction, celle que tu donnes est bien la formalisation de celle que j'ai donne plus haut de maniere informelle. Il est bien clair que je ne préconise pas de présenter cette construction a des élèves de collège.
Il est déjà plus étrange qu'on ne le voit plus en sup, c'est dommage, car construire Z, Q et R permettait de voir des exemples simples de 3 opérations parmi les plus fondamentale en maths, la localisation, la symétrisation et la complétion, qu'on retrouve virtuellement partout. M'en fin c'est unautre debat.

Enfin pour en revenir au sujet, je ne suis pas en train de dire que la soustraction doit être mise sous le tapis, au contraire. Je dis pile l'inverse, c'est pas parce qu'on peut définir la soustraction au moyen de l'addition, qu'on ne peut pas interpréter 4-2 comme une soustraction. Du reste quand j'écris a-b même dans un anneau (par exemple) totalement general, je l'interprète comme une soustraction. C'est pour ça que je comprend pas ce que peut bien vouloir signifier "la soustraction n'existe pas", même si moralement, je vois ce qu'on veut dire: elle est moins fondamentale, ce qui d'une part n'est pas totalement vrai (par exemple on peut donner les axiomes d'un groupe uniquement a partir de la division, sans mentionner du tout la multiplication, idem pour la soustraction dans le cas d'un groupe abélien). Et même comme ça, c'est pas parce que la soustraction peut être réduite a l'addition et l'oppose qu'il faut d'interdire de la mentionner, on ne se prive pas de parler de la fonction tangente, alors qu'il suffirait de parler du cosinus et sinus' et même que du sinus, le cosinus étant un transkate de celui ci. De même je ne m'interdit pas de penser a 5 comme 5 et pas 1+1+1+1+1.

Désolé de l'orthographe et de la syntaxe, je suis sur téléphone.

En fait, je suis tout à fait d'accord avec toi; avant, au primaire, toute opération était associée à un problème concret, du genre si la hauteur d'un triangle résulte de la division de 21,75 par 6,25, les données étant en m, en cm ça donnait 2175 divisé par 625 (résultat avec 2 décimales), donc pour diviser 6,41 par 1,57, on multipliait diviseur et dividende par 100 et la règle était admise comme une évidence (quel élève de TS sait encore faire une division à la main?). On devrait donc associer à une opération sur les relatifs un problème concret, ce qui est possible avec la somme et aussi avec la multiplication en considérant que x(-1) c'est changer de sens. Au primaire, on multipliait par 12 et l'astuce donnée par le maître était 12=10+2 et on faisait 8x12= 8x10+8x2=96 sans se poser de question sur la distributivité de x par rapport à +. de toute façon, normalement pour parler de , il faudrait attendre e^z! Plutôt que de faire 6+(-8) gratuitement, on pourrait faire:"je dois 8€ à Paul, je lui rend 6€; quel est le bilan pour moi:2€ ou -2€. Même les élèves de sup ont du mal avec les structures algébriques; alors les "j'ajoute l'opposé" ou "je multiplie par l'inverse"....

pour parler de pi sans attendre l'exponentielle complexe, voir l'excellent petit bouquin "Serge Lang, des jeunes et des maths" chez Belin, où il explique de manière très accessible même pour des collégiens que le rapport périmètre/diamètre est le même pour tous les cercles, et que le rapport aire/carré du rayon est lui aussi le même pour tous les disques, et égal au précédent.... il leur montre même que le volume d'une boule de rayon R est 4 pi R^3/3, un peu plus loin.