Bonjour à tous ,
Un petit exercice issu d'un cas pratique:
Deux écrous hexagonaux de coté 1 cm sont placés sur deux boulons
distants de 3 cm.
On doit les ceinturer par un lien souple et non élastique de longueur suffisante et de diamètre nul.
On constate que dans deux cas opposés cette longueur est la même.
On décide donc que l'on figera cette longueur : laquelle ? (1)
Pourtant en vissant les écrous ,ce lien saute:
Quelle périmètre maximum peut-on atteindre ? (2)
Salut Dpi
Je n'ai pas fait de calcul ( mais bon 12 pour la première question ) . Il me semble qu'on atteint le maximum quand l'un des écrous est dans la position 1 et l'autre dans la position 2 .
Imod
PS : Le tour d'écrou , une jolie nouvelle qui donne le frisson .
>Imod
C'est une bonne intuition donc il se passe quelque chose entre
0 et /6.
>mathafou
je n'ai pas fait de calcul de la fonction à deux variables (les deux angles de rotation indépendants)
j'ai juste joué avec Geogebra (et la commande comme j'ai dit) pour "régler" le maximum par approximations successives avec un angle puis l'autre et encore encore...
cela reste donc à démontrer, que le maximum n'est pas un tout petit peu à côté de ce qu'on observe.
(et une fois "observé", sa valeur exacte pour cette conjecture se calcule comme au collège par Pythagore)
mais maximum de fonction pas sympa à deux variables, multiplicateurs de Lagrange etc beurk, pas envie.
Ce qui est amusant c'est qu'un cas simple fait déboucher sur
un problème assez complexe
Trouver P en fonction de
P longueur du périmètre (on garde les données)
angle entre un écrou fixe et l'autre en rotation
l'angle entre les deux écrous ne suffit pas
c'est une fonction à deux variables (indépendantes) P(, )
et pas seulement P() avec = -
on peut en fixer une en paramètre et alors on obtient une famille de fonctions/courbes
que l'on pourrait représenter par une surface en 3D
ou un fouillis sur la même image de plusieurs "coupes" de cette surface
(ce que j'ai fait dans ma dernière image en n'en mettant que deux )
et une image de ces coupes de P(, ) en fonction de
avec comme paramètre variant de 5° en 5° de 0 à 30°
(les mêmes courbes par symétrie pour de 30 à 60°)
la couleur de la courbe est fonction de
En pointillés car je suis occupé ailleurs , le problème est à une seule variable car pour des raisons de symétrie le maximum est toujours obtenu pour le même décalage d'angle ( c'est ce que l'on voit sur le dessin de Mathafou ) .
Imod
???
moi je ne vois pas ça du tout.
ce que je vois c'est que pour toutes les valeurs de beta, le maximum de P(alpha) pour ce beta là est toujours pour alpha = 0 ou alpha = 30°
et même que pour une certaine valeur de beta , le maximum est pour alpha = 0 et alpha = 30° :
pour beta = 21° environ, on a les deux maximas de P(alpha) à peu près égaux :
en conséquence le maximum est pour une différence d'angle 30° - beta ou 0° - beta qui dépend de beta (!!)
et pas du tout une différence angulaire constante
par contre, oui on peut fixer beta à 0 ou à 30°
en échangeant les deux écrous, si le maximum est toujours pour alpha = 0 ou 30 on choisit cette valeur pour fixer beta)
et même toujours avec cet échange des deux écrous fixer beta = 0°
et il n'y a plus qu'une seule courbe P(alpha, 0 ) dont le maximum est pour alpha = 30° sera le maximum (absolu) de la fonction à deux variables P(alpha, beta)
Bon dimanche,
On ne blanque plus.
On sait que le périmètre ne varie que dans la fourchette 12 12.00512...en fonction du seul angle de rotation de 0 à /6
On a bien sûr des symétries qui dispensent les autres angles.
Voici le tableau :
L'étude* de mathafou est basée sur la rotation de chacun des écrous.
J'avais demandé d'étudier le cas d'un écrou mobile avec un écrou fixe.
De toute façon on reste dans las valeurs bleues...
* par ailleurs excellente...
Bonsoir,
Il me semble que quand on fait tourner un écrou, la courroie entraîne l'autre écrou et le fait tourner du même angle. Non ?
J'avais bien vu le piège c'est pour cela que j'ai précisé (3/07 17h31) un fixe et un en rotation...
Mais en observant ce qui se passe avec deux rotations et en utilisant
les données du tableur, on peut calculer P:
Par exemple +8 ° et +20° me donne 12.000736088..*
*ce n'est pas une interpolation mais un recalcul pénible.
C'est vrai que c'est amusant de jouer avec un tableur
On peut aussi se poser d'autres questions sans calculer .
Et si la distance entre les deux centres était de 2cm ou autre ?
Et si le boulon était carré ou triangulaire ?
Imod
Merci de votre participation.
Le plus surprenant c'est le faible écart entre le maxi et le mini
de ces ceinturages.
Ce n'est pas si étrange que ça , le cas extrême est atteint quand la partie utile de l'écrou n'est qu'un segment .
Imod
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