Bonjour,

un indice : la somme des 2 angles aigus dans un triangle rectangle est égale à 90° ...

salut, je pense que tu peux affirmer que les cotés LM,MN,NP et PL ont même longueur car les triangles ALP, BML, CNM et NDP sont semblables par construction.

ensuite il suffit de montrer qu'il y a un angle droit en L par exemple

Oui, mais si on veut placer cette démonstration au niveau collège, c'est un peu délicat de parler de triangle semblables ... d'ailleurs il faut plutot dire qu'ils sont isométriques ... mais ça ne change pas qu'on ne peut pas en parler en collège.

bonjour jamo

ils sont isométriques en effet et pas juste semblables, mais au collège si on prend un triangle et qu'on dessine le même à coté on admet que les longueurs sont les mêmes sans parler d'isométrie.Sinon comment justifier que les 4 longueurs sont identiques ?

Je crois qu'il faut plutot partir d'une autre manière : on dit qu'on prend 4 triangles rectangles identiques qu'on assemble pour former le carré ABCD. Donc LMNP est un losange (car les 4 hypoténuses sont égales) ... puis on démontre qu'il y a un angle droit pour démontrer que c'est un carré.

c'est vrai que c'est plus compréhensible comme ça, je vais noter ça dans ma leçon, d'ailleurs sur cette même leçon j'ai un soucis sur une proposition qui dit que si on considère le triangle ABC rectangle en A et H le projeté de A sur (BC), donc H sur le segment, alors on a les égalités:

BH/AB=AH/AC=AB/AC par exemple, comment le justifier sans utiliser qu'ils sont semblables et sans utiliser la trigonométrie ? (on la définit après)

je pensais utiliser le fait qu'ils sont semblables, voire utiliser thalès en les superposant

merci pour vos réponses.
si tu appelles H le pied de la hauteur issue de A,K deB.
et d le symétrique de A par rapport au milieu de [BC]
ABDC est un parallélogramme dont laire vaut le double de l'aire de ABC.
D'ou BK*AC=AH*BC
et AH/AC=BK/BC.

On peut aussi utiliser de la trigo.

Tout d'abord, on démontre qu'on a 3 triangles rectangles qui ont les mêmes angles (donc semblables mais sans utiliser ce mot). Puis en utilisant les cosinus ou sinus des angles, on obtient facilement ces égalités.

Bonjour,

c'est vrai que l'utilisation de l'aire est pratique, ici K c'est A puisque que le triangle est rectangle en A.Donc on peut montrer avec l'aire AH/AC=AB/AC , mais d'où sort le BH/AB ?

Sachant qu'on ne peut utiliser la trigo qui sera définie après, justement car ces rapports indiquent qu'on peut prendre n'importe quels triangles semblables pour un même angle.

AH/AB=AB/BC pardon

Avec cette figure, on peut aussi démontrer que AH²=BH*HC.

As-tu jeté un oeil ici :

On y trouve cette leçon.

je me mélange les pinceaux là avec toutes les relations, si j'ai AH²=BH*HC

alors AH/CH=BH/AH  (tan ACB sans le dire)

ce doit être égal à AB/AC...

sinon comment montrer AH²=BH*HC ?

pour la leçon elle utilise le produit scalaire donc c'est plus niveau collège

joli !

et le coup de la racine peut être une application intéressante dans la leçon, légèrement différente de la "spirale"

par contre, dernière question... comment je fais pour obtenir AH/HC = HB/AH = AC/AB

la première égalité vient de la formule démontrée ci dessus, mais la deuxième ? est possible sans trigonométrie ni une utilisation implicite de triangles semblables ?

Non, ça me semble difficile ...

A moins de séparer les 3 triangles, de les mettre les uns dans les autres (car ils ont les mêmes angles), et d'utiliser Thalès ...

ok, le truc maintenant c'est ai-je le droit d'utiliser le mot semblable dans la leçon...

enfin bon on peut s'en sortir en disant que des triangles sont semblables s'ils sont proportionnels (ou que les angles sont égaux 2 à 2) et que thalès donne l'égalité des rapports...

merci pour ton aide

A l'oral du Capes, tout dépend à quel niveau tu situes ton exposé.

niveau 3eme, je peux pousser à 2nd (les triangles semblables sont au programme je crois), mais pas au dessus sinon produit scalaire oblige...(à moins que ce soit au programme de 2nd aussi)

Le produit scalaire se voit en 1ère.

Méfie-toi, si tu dis que tu places ta leçon au niveau 3ème, et que tu utilises des notions de 2nde, sans le dire, ce sera mal vu.

le problème qui viens ici c'est que dans la leçon, on définit cos et sin d'un angle, donc niveau seconde c'est un peu trop haut, et troisième est trop bas pour parler de triangles semblables... je ne pense pas qu'il y ait une solution qui réponde à tous les critères, ou alors je parle de triangles de même forme et j'aurai aussi des questions dessus

bonjour pour arriver à  AB/AH=AC/HC

on peut aussi les aires:
  Aire ABC=Aire(AHB)+Aire(AHC) donc en doublant ces aires

AB.AC=AH.(HC+HB)(on admet H entre B et C)
AB.AC=AH.(BC)
AB/AH=BC/AC

on eleve au carre ces deux fractions et on suppose qu'il savent que a/b=c/d=....(a-c)/(b-d)
AB²/AH²=BC²/AC²=(BC²-AB²)/(AC²-HA²)=AC²/HC²

donc AB/AH=AC/HC

bonjour,

très très efficace cette formule...

je retrouve toutes les égalités avec la formule de l'aire BC*AH= AB*AC et cette simple formule

soit BH/AB=AH/AC=AB/AC   AH/AB=CH/AC=AC/BC   AH/BH=CH/AH=AC/AB

enfin simple j'ai bataillé un peu pour la retrouver:

a/b=c/d => (a/b)*(b-d)= a- ad/b = a-c    (y a t'il plus intuitif comme démonstration ? )

je ne l'utilise jamais cette formule sur les proportions mais là j'avoue qu'elle est très utile

merci beaucoup

BH/AB=AH/AC=AB/BC   AH/AB=CH/AC=AC/BC   AH/BH=CH/AH=AC/AB plutot

dans le temps...on aurait dit a/b=c/d donc notons k cette valeur a=kb;c=kd a-c=k(b-d) donc k=(a-c)/(b-d)

tres utile dans les exos genre :
on partage proportionnelement à l'age 310 bonbons entre trois enfants qui ont 16;27;19 ans (eh oui ! ils sont grands maintenant!!)a/16=b/27=c/19=(a+b+c)/62=310/62=5d'où a=5*16=80;b=27*5=135;c=19*5=95

en effet cette démonstration est plus simple.

l'exemple est aussi intéressant, cela évite des calculs et de se mélanger entre les proportions

encore merci