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Niveau première
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Les limites

Posté par
Doha2002 23-02-18 à 19:01

Salut est ce que quelqu'un pourrait m'aider à calculer cette limite et merci d'avance.
Lim(x tend vers 0)( tanx-sinx)/x-sinx

Posté par
Glapion Moderateurre : Les limites 23-02-18 à 19:13

Bonsoir, il y a des parenthèses au dénominateur ou pas ? ( tanx-sinx)/(x-sinx) ?

Posté par
Doha2002re : Les limites 23-02-18 à 20:50

Glapion

Glapion @ 23-02-2018 à 19:13

Bonsoir, il y a des parenthèses au dénominateur ou pas ? ( tanx-sinx)/(x-sinx) ?

Ah oui c'est un dénominateur

Posté par
vhamre : Les limites 24-02-18 à 02:37

Bonjour,

En utilisant les développements limités (au programme de première ?)
quand x tend vers 0, Le numérateur est équivalent à x3/2 et le dénominateur à x3/6
la limite est donc 3.

Posté par
mgbzdre : Les limites 24-02-18 à 02:58

Bonsoir,
Je ne pense pas que les développements limités soient au programme de première vham ...
Par contre Doha2002, tu peux utiliser le taux d'accroissement que tu as dû apprendre au cours de l'année.

Posté par
lakere : Les limites 24-02-18 à 11:28

Bonjour,

Une solution sans utiliser la règle de l'Hopital ni les DL en admettant (c'est le gros défaut de la méthode) que les limites utilisées existent et sont finies:

\dfrac{\tan\,x-\sin\,x}{x^3}=\dfrac{\sin\,x}{x}\,\dfrac{1-\cos\,x}{x^2}\,\dfrac{1}{\cos\,x}

d' où \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan\,x-\sin\,x}{x^3}=\dfrac{1}{2}

Soit L=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin\,x}{x^3} (avec les restrictions citées plus haut):

  On pose x=2X

   \dfrac{x-\sin\,x}{x^3}=\dfrac{2X-\sin\,2X}{8X^3}=\dfrac{X-\sin\,X\,\cos\,X}{4\,X^3}=\dfrac{X-\sin\,X+\sin\,X\,(1-\cos\,X)}{4\,X^3}

  \dfrac{x-\sin\,x}{x^3}=\dfrac{1}{4}\,\dfrac{X-\sin\,X}{X^3}+\dfrac{1}{4}\,\dfrac{\sin\,X}{X}\,\dfrac{1-\cos\,X}{X^2}

En passant à la limite en 0:

  L=\dfrac{1}{4}\,L+\dfrac{1}{8} et L=\dfrac{1}{6}

Du coup, \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan\,x-\sin\,x}{x-\sin\,x}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{6}}=3

Je le répète, tout ceci est très discutable...
  

Posté par
matheuxmatoure : Les limites 24-02-18 à 11:42

euh ... on est au niveau "première" là ???

Posté par
alb12re : Les limites 24-02-18 à 11:46

salut,
une premiere sur Mars probablement.

Posté par
alb12re : Les limites 24-02-18 à 11:47

il aurait fallu demander à Doha2002 ses debuts de recherche
pour avoir une idee de son niveau.

Posté par
lakere : Les limites 24-02-18 à 11:50

Techniquement, on s'en sort avec le cours de 1ère modulo l'existence de la limite.

Il faut juste connaître \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos\,x}{x^2}=\dfrac{1}{2} que certains professeurs donnent dans leur cours

Posté par
matheuxmatoure : Les limites 24-02-18 à 11:50

oui parce que là... même en première S on ne fait plus de limites je crois !

Posté par
matheuxmatoure : Les limites 24-02-18 à 11:52

euh ... y'a quand même un (x-sin(x)/x3 dans ta démon Lake... il est pas dans le cours celui-là, même en TS

Posté par
lakere : Les limites 24-02-18 à 11:54

Mais c'est pour ça que j'ai proposé une démonstration (douteuse) qui ne fait appel qu'au cours de 1ère

Posté par
matheuxmatoure : Les limites 24-02-18 à 11:54

je suis d'accord qu'avec pas mal de détoure on peut y arriver mais ça fait carrément un sujet de DM de TS

et en 1S il n'y a plus de limites !

Posté par
matheuxmatoure : Les limites 24-02-18 à 11:55

"détourS" !!!!

Posté par
lakere : Les limites 24-02-18 à 11:56

Bon, alors qu'est-ce qu'on fait devant un sujet comme celui là:

  Laisse tomber ?

Posté par
matheuxmatoure : Les limites 24-02-18 à 11:57

ben non, c'est bien ce que tu proposes, mais si c'est un niveau supérieur (ce qui est le cas à mon avis, genre première année de fac) autant carrément passer aux DL

Posté par
matheuxmatoure : Les limites 24-02-18 à 11:58

quoique non ... elle a 13 ans !

Posté par
matheuxmatoure : Les limites 24-02-18 à 11:58

pardon 16 ans

Posté par
lakere : Les limites 24-02-18 à 12:03

Ah ben c'est sûr, avec les DL, en deux temps trois mouvements, c'est fait.

Pour \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin\,x}{x^3}, on peut aussi proposer des encadrements du genre:

   \dfrac{x^3}{6}-\dfrac{x^5}{120}\leq x-\sin\,x\leq \dfrac{x^3}{6} sur \mathbb{R}^+ avec les fonctions différences.

  puis voir sur \mathbb{R}^-

Mais bon, à mon sens, c'est encore pire

Posté par
alb12re : Les limites 24-02-18 à 12:14

pourquoi repondre si la demo depasse le niveau du posteur ?

Posté par
lakere : Les limites 24-02-18 à 12:16

Je répète pour toi alb12:

  

Citation :
Techniquement, on s'en sort avec le cours de 1ère modulo l'existence de la limite.


  
Citation :
Mais c'est pour ça que j'ai proposé une démonstration (douteuse) qui ne fait appel qu'au cours de 1ère


Au fait Xcas est en panne ?

Posté par
alb12re : Les limites 24-02-18 à 12:23

le pb n'est pas de savoir si c'est faisable en premiere
il est de savoir si Doha2002 est capable de le faire

Posté par
alb12re : Les limites 24-02-18 à 12:26

Doha2002 @ 23-02-2018 à 20:50

Glapion
Glapion @ 23-02-2018 à 19:13

Bonsoir, il y a des parenthèses au dénominateur ou pas ? ( tanx-sinx)/(x-sinx) ?

Ah oui c'est un dénominateur

la reponse devrait interpeller les intervenants

Posté par
alb12re : Les limites 24-02-18 à 12:31

matheuxmatou @ 24-02-2018 à 11:54

je suis d'accord qu'avec pas mal de détoure on peut y arriver mais ça fait carrément un sujet de DM de TS

et en 1S il n'y a plus de limites !

il y a a minima la limite d'un taux d'accroissement

Posté par
alb12re : Les limites 24-02-18 à 12:34

lake @ 24-02-2018 à 11:54

Mais c'est pour ça que j'ai proposé une démonstration (douteuse) qui ne fait appel qu'au cours de 1ère

si c'est douteux on abandonne
il y a des demos possibles mais plutot en terminale
notre posteur est surement dans une premiere mais pas en france
A lui de preciser.

Posté par
lakere : Les limites 24-02-18 à 13:10

Douteux, c'est certain; tout aussi douteux que la démarche proposée dans cette fiche sur l'    Des limites de forme indéterminée 0/0 pour s'entraîner puis approfondir

Lire en particulier la "Remarque" concernant l'exercice 2.

Posté par
alb12re : Les limites 24-02-18 à 14:28

On peut lire dans cette fiche:

"Sans plus tarder, supposons que leur limite en 0 existe.
Remarque : Il est important de noter ici l'hypothèse de l'existence des limites. En effet, sans cette hypothèse, les manipulations algébriques sur les limites dont nous serons amenés à effectuer n'auraient aucun sens. Et à ce propros, si nous souhaitions produire une preuve complètement rigoureuse de la détermination de la limite en 0 de ces fonctions, il faudrait alors montrer au préalable l'existence des limites cherchées."

Inadmissible.
Ce n'est pas parce qu'on est au lycee qu'il faut accepter ce genre de redaction.
On a les moyens d'etre rigoureux (majorer/minorer).

Posté par
matheuxmatoure : Les limites 24-02-18 à 17:55

lake @ 24-02-2018 à 12:03

Ah ben c'est sûr, avec les DL, en deux temps trois mouvements, c'est fait.

Pour \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin\,x}{x^3}, on peut aussi proposer des encadrements du genre:

   \dfrac{x^3}{6}-\dfrac{x^5}{120}\leq x-\sin\,x\leq \dfrac{x^3}{6} sur \mathbb{R}^+ avec les fonctions différences.

  puis voir sur \mathbb{R}^-

Mais bon, à mon sens, c'est encore pire


ça je le faisais en terminale S il y a ... 15 ans ! grâce aux intégrales et la croissante.

Posté par
mgbzdre : Les limites 24-02-18 à 19:41

Sauf qu'aujourd'hui on ne fait plus de développement limité au lycée, on ne fait pas non plus d'integrales par parties par exemple. Mais ma question est pourquoi ne pas utiliser le taux d'accroissement ?

Posté par
lakere : Les limites 24-02-18 à 20:04

Mais fait donc! On regarde...

Posté par
lakere : Les limites 25-02-18 à 08:04

Bon; ben on n'a rien vu

Posté par
malou Webmasterre : Les limites 25-02-18 à 09:14

mgbzd @ 24-02-2018 à 19:41

Sauf qu'aujourd'hui on ne fait plus de développement limité au lycée, .....

on n'en a jamais fait.....

Posté par
alb12re : Les limites 25-02-18 à 16:02

il y a fort longtemps (avant 1983) en termC il me semble ...

Posté par
malou Webmasterre : Les limites 25-02-18 à 16:26

....crois pas...

alb12 @ 24-02-2018 à 14:28

On peut lire dans cette fiche:

"Sans plus tarder, supposons que leur limite en 0 existe.
.....
Inadmissible.
Ce n'est pas parce qu'on est au lycee qu'il faut accepter ce genre de redaction.
On a les moyens d'etre rigoureux (majorer/minorer).

oui mais...tu as reconnu l'auteur je suppose....

Posté par
alb12re : Les limites 25-02-18 à 17:02

Tire de Mathematiques Terminale C et E Analyse Magnard
par2 f) exemples de developpements limites au voisinage de 0 etc

je ne sais pas quand les dl ont ete introduits en termC
mais je pense qu'avec la nouvelle definition des limites introduites en 1984 ils avaient disparus

"oui mais...tu as reconnu l'auteur je suppose"
je crois qu'il aimait beaucoup les quantificateurs

Posté par
alb12re : Les limites 25-02-18 à 18:28

@Doha2002
Où en es-tu ?

Posté par
matheuxmatoure : Les limites 25-02-18 à 18:52

alb12 @ 25-02-2018 à 16:02

il y a fort longtemps (avant 1983) en termC il me semble ...


non non, j'étais en TC avant 83 et j'y ai même enseigné en 82 et je peux te garantir qu'il n'y avait pas les DL au programme

Par contre ils pouvaient être abordés sous forme de notion en DM mais pas exigibles au bac.

Cela dit j'en ai fait aussi en DM après avec de bonnes TS en encadrant de proche en proche avec la croissance de l'intégrale pour les fonctions exponentielles et sinus/cosinus.

Il n'y a que dans les années 90 où on a trouvé pendant un temps : notion de DL d'ordre 1 pour l'écriture de la tangente en un point, mais c'est tout.

MM

Posté par
alb12re : Les limites 25-02-18 à 20:18

L'un de nous deux a la memoire qui flanche page 6

malou edit > bon ben au temps pour moi ....

Posté par
matheuxmatoure : Les limites 25-02-18 à 20:31

ça c'était le programme initial... il s'est trouvé "chatré" rapidement de pas mal de points, dont les DL qui ont été ramenés  aux DL1

Posté par
alb12re : Les limites 25-02-18 à 22:28

ok je pensais que ce programme avait vecu un an ou deux.

Posté par
matheuxmatoure : Les limites 25-02-18 à 22:30

non, il était trop lourd ! et même les dl1 ont viré quelques années après.

Posté par
alb12re : Les limites 25-02-18 à 22:50

d'accord merci.

Posté par
alb12re : Les limites 26-02-18 à 11:59

j'ai consulte des collegues ce weekend
certains me disent que les dl pouvaient etre enseignes
mais qu'ils etaient hors programme du bac.
Ce qui est certain c'est qu'apres 1983 ils n'etaent pas au programme des C/E

Posté par
matheuxmatoure : Les limites 27-02-18 à 10:33

oui c'est ça, ils étaient passé du programme officiel au ajouts du genre "on pourra ... mais cela n'est pas exigible à l'examen" Ensuite à la mouture suivante ils ont carrément viré !

MM

Posté par
alb12re : Les limites 27-02-18 à 15:51

heureux temps où le professeur pouvait construire son cours comme il l'entendait ...
Personne ne lui en faisait grief, bien au contraire.

Posté par
matheuxmatoure : Les limites 27-02-18 à 16:27

oui, et on s'adaptait en fonction des groupes d'élèves.

Posté par
lakere : Les limites 27-02-18 à 17:15

Citation :
heureux temps où le professeur pouvait construire son cours comme il l'entendait ...


Je ne suis pas du sérail mais qu'est-ce qui empêche aujourd'hui plus qu'hier un professeur à "construire son cours comme il l'entend" ?

C'est une vraie question; je me la suis souvent posée.

Posté par
alb12re : Les limites 27-02-18 à 19:28

aujourd'hui il faut par exemple faire la fonction exp avant la fonction ln
On ne discute pas.
Autrefois on trouvait en commentaire de programmes:
"le professeur est libre de choisir la progression qu'il estime la plus adapte à sa classe"
Et on n'hesitait pas à deborder du programme.
Il suffisait de justifier ses choix lors d'une inspection.

Posté par
lakere : Les limites 28-02-18 à 10:59

J'aurais des commentaires mais ce n'est pas vraiment l'endroit pour en discuter.

Merci alb12.

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