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Les limites

Posté par
rirotwin7 11-02-20 à 21:15

Bonjour, j'ai une difficulté pour calculer la limite suivante :

\lim_{x\rightarrow \alpha }\frac{x^{n+1}-\alpha ^{n+1}}{x^{n}-\alpha ^{n}}

tel que : et n

Posté par
alb12re : Les limites 11-02-20 à 21:20

salut,
as tu une idee ?

Posté par
rirotwin7re : Les limites 11-02-20 à 21:23

Bonjour,
je pense que c'est une suite géométrique.

Posté par
alb12re : Les limites 11-02-20 à 21:24

as-tu traite le chapitre derivation ?

Posté par
rirotwin7re : Les limites 11-02-20 à 21:25

Non pas encore.

Posté par
Samscore : Les limites 11-02-20 à 21:26

Non

Posté par
Samscore : Les limites 11-02-20 à 21:27

Euh DSL ,je me suis trompé de chat

Posté par
alb12re : Les limites 11-02-20 à 21:28

rirotwin7 et Samsco etes vous dans la meme classe ? dans le meme lycee ?

Posté par
rirotwin7re : Les limites 11-02-20 à 21:29

euuh non

Posté par
alb12re : Les limites 11-02-20 à 21:37

factoriser par alpha^(n+1) en haut et par ...

Posté par
rirotwin7re : Les limites 11-02-20 à 21:52

On a
\lim_{x\rightarrow \alpha }\frac{x^{n+1}-\alpha ^{n+1}}{x^{n}-\alpha ^{n}} = \lim_{x\rightarrow \alpha } \alpha \frac{1-\left(\frac{x}{\alpha } \right)^{n+1}}{1-\left(\frac{x}{\alpha } \right)^{n}} .
et soit (U_{n}) une suite géométrique de raison q=\frac{x}{\alpha} et de premier terme (U_{0}) = \alpha...

Posté par
alb12re : Les limites 11-02-20 à 22:00

tu es sure que cet exercice ne fait pas partie d'un stock d'exercice donne par ton prof et à chercher au fur et à mesure de l'avancement du cours ?
sinon fais apparaître 1-(x/alpha)

Posté par
rirotwin7re : Les limites 11-02-20 à 22:00

Merci j'ai trouver la solution !!!

Posté par
FerreSucrere : Les limites 11-02-20 à 22:06

Je me posais une question peut être pouvez vous me répondre :
Est ce que peut t'on considérer que comme on fait tendre x—) vers alpha, on peut prend x = alpha afin de factoriser par le dénominateur et ainsi trouver 2alpha comme limite ?
Pur question j'ai pas vue le chapitre des limites .... ça me parait peut probable mais je sais pas. Merci

Posté par
alb12re : Les limites 11-02-20 à 22:08

pourquoi 2*alpha ?

Posté par
rirotwin7re : Les limites 11-02-20 à 22:11

FerreSucre @ 11-02-2020 à 22:06

Je me posais une question peut être pouvez vous me répondre :
Est ce que peut t'on considérer que comme on fait tendre x—) vers alpha, on peut prend x = alpha afin de factoriser par le dénominateur et ainsi trouver 2alpha comme limite ?
Pur question j'ai pas vue le chapitre des limites .... ça me parait peut probable mais je sais pas. Merci


si on prend x = on aurait \frac{0}{0} cette dernière est une forme indéterminée, donc il faut appliquer des propriétés pour avoir une forme déterminée

Posté par
FerreSucrere : Les limites 11-02-20 à 22:14

En posant x = alpha :

\lim_{x\to\alpha}\dfrac{\alpha^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\alpha^n-\alpha^n}

= \lim_{x\to\alpha}\dfrac{(\alpha+\alpha)*(\alpha^n-\alpha^n)}{\alpha^n-\alpha^n}

Ainsi ça revient à :

= \lim_{x\to\alpha}(\alpha+\alpha) = 2\alpha

C'est bizarre je pense pas que c'est autorisé mais je me posais quand même la question.

Posté par
FerreSucrere : Les limites 11-02-20 à 22:18

Sinon \alpha est une constante ou une variable ? Si c'est une constante pas besoin de réfléchir degré en haut supérieur au degré d'en bas donc limite +inf

Posté par
FerreSucrere : Les limites 11-02-20 à 22:24

Qu'est-ce je raconte mdr c'est pas la limite en +∞ qu'on étudie....

Posté par
rirotwin7re : Les limites 11-02-20 à 22:24

alb12 @ 11-02-2020 à 22:00

tu es sure que cet exercice ne fait pas partie d'un stock d'exercice donne par ton prof et à chercher au fur et à mesure de l'avancement du cours ?
sinon fais apparaître 1-(x/alpha)


j'ai essayer mais en vain !!!

Posté par
alb12re : Les limites 11-02-20 à 22:36

@rirotwin7 tu as trouve la reponse ou pas ?
*****************************************************

FerreSucre @ 11-02-2020 à 22:14

En posant x = alpha :
\lim_{x\to\alpha}\dfrac{\alpha^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\alpha^n-\alpha^n}
= \lim_{x\to\alpha}\dfrac{(\alpha+\alpha)*(\alpha^n-\alpha^n)}{\alpha^n-\alpha^n}
Ainsi ça revient à :
= \lim_{x\to\alpha}(\alpha+\alpha) = 2\alpha
C'est bizarre je pense pas que c'est autorisé mais je me posais quand même la question.

Bizarre vous avez dit bizarre mdr !

Posté par
rirotwin7re : Les limites 11-02-20 à 22:41

non j'ai pas trouvé la réponse :(

Posté par
alb12re : Les limites 11-02-20 à 22:42

divise en haut par 1-(x/alpha) de meme en bas

Posté par
FerreSucrere : Les limites 11-02-20 à 22:45

Sinon si alpha est une constante on peut utiliser l'hôpitals rules : ainsi on a :

lim.. \dfrac{nx^n + x^n}{nx^{n-1}} = lim... \dfrac{nx^n}{nx^{n-1}}+\dfrac{x^n}{nx^{n-1}} = lim... x + \dfrac{x^n}{nx^{n-1}} = lim... x + \dfrac{x}{n} = \alpha + \dfrac{\alpha}{n}

(C'est si alpha est une constante si c'est une variable « comme x « c'est pas fonctionnel.
C'est un moyen efficace et rapide mais à ce qui parait les profs ne l'aiment pas ...

Posté par
rirotwin7re : Les limites 11-02-20 à 22:46

alb12 @ 11-02-2020 à 22:42

divise en haut par 1-(x/alpha) de meme en bas


Désolé mais j'ai pas compris

Posté par
alb12re : Les limites 11-02-20 à 22:56

@FerreSucre
rirotwin7 n'a pas encore vu la derivation !

@rirotwin7
je pose x/alpha=q (alpha non nul)

\\ F(x)=\dfrac{x^{n+1}-\alpha ^{n+1}}{x^{n}-\alpha ^{n}} \\ \\ F(x)=\alpha\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q^n} \\ \\ F(x)=\alpha\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\times\dfrac{1-q}{1-q^n} \\ \\

Vois-tu la suite ?

Posté par
rirotwin7re : Les limites 11-02-20 à 23:02

alb12 @ 11-02-2020 à 22:56

@FerreSucre
rirotwin7 n'a pas encore vu la derivation !

@rirotwin7
je pose x/alpha=q (alpha non nul)

\\ F(x)=\dfrac{x^{n+1}-\alpha ^{n+1}}{x^{n}-\alpha ^{n}} \\ \\ F(x)=\alpha\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q^n} \\ \\ F(x)=\alpha\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\times\dfrac{1-q}{1-q^n} \\ \\

Vois-tu la suite ?


Ughh c'est devenu plus compliqué!!!
et on plus on a donc peut etre nulle!!!

Posté par
alb12re : Les limites 11-02-20 à 23:08

les cas particuliers peuvent etre delaisses pour l'instant
c'est pourtant simple maintenant

\\ F(q)=\alpha\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\times\dfrac{1-q}{1-q^n} \\ \\ F(q)=\alpha(1+q+q^2+\cdots q^n)\times\dfrac{1}{1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}} \\

Posté par
rirotwin7re : Les limites 11-02-20 à 23:17

Alors \\ \lim_{x\rightarrow \alpha }\frac{x^{n+1}-\alpha ^{n+1}}{x^{n}-\alpha ^{n}} = \alpha ??

Posté par
alb12re : Les limites 11-02-20 à 23:19

non il y a un terme de moins en bas

Posté par
rirotwin7re : Les limites 11-02-20 à 23:23

alors la réponce est \alpha + \frac{\alpha }{n}

Posté par
alb12re : Les limites 11-02-20 à 23:25

oui

Posté par
rirotwin7re : Les limites 11-02-20 à 23:26

Merciiiii infinement !!!!

Posté par
FerreSucrere : Les limites 12-02-20 à 06:57

Elle est pas évidente cette limite... avec l'utilisation des suites ect...c'est pas des plus simples !

Posté par
alb12re : Les limites 12-02-20 à 09:06

on peut faire apparaître x-alpha et ecrire le produit de 2 taux d'acroissement
c'est comme si demontrait la regle de l'Hopital mais on reste au lycee, c'est preferable.


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