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Les médianes orthogonales : barycentres et produit scalaire.
Bonjour à tous 
.
Je suis bloqué sur une question fâcheuse ... Malheureusement, même après avoir fait d'autres démonstrations, et ayant trouvé la réponse, ma prof n'arrête pas de me dire qu'il faut montrer ce qui suis "dans un sens et dans l'autre".
Voici la question :
" ABC est un triangle de centre de gravité noté G. I et J sont les milieux respectifs des segments [AC] et [AB]. Justifiez que les médianes (GI) et (GJ) sont perpendiculaires si et seulement si les sommets du triangle ABC vérifient : AB²+AC² = 5BC². "
Ainsi, pour répondre à la question, je dois travailler par équivalences. Ainsi, d'après ce que m'a dit de faire la prof ( et je dois absolument débuter par ça ! ) je débute par :
(GI)
(GJ)
1/2 ( GI² + GJ² - IJ ² ).
Par la suite, j'utilise la propriété caractéristique du barycentre, avec I et J isobarycentres de A et C d'une part, et de A et B d'autre part.
Ce qui me fait :
(GI)(GJ) 1/2 ( 1/2 GA ² + 1/4 GC² + 1/4 GB² - 1/4 BC² )
(IJ² = 1/4 BC² => théorème de la droite des milieux dans un triangle)
Ensuite, j'utilise le fait que G est le centre de gravité du triangle et exprime GA², GB² et GB² en fonction des autres côtés.
Problème, à la fin, je trouve une égalité du style AC²+AB² = 7/72 BC² =(.
Par ailleurs, je précise que je n'ai jamais vu ( et donc je ne dois pas l'utiliser ) le théroème d'Al-machin chose .
Je suis malheureusement obligé de faire cette méthode. Je remarque aussi que je n'ai pas utilisé le théroème de la médiane, ce qui me semble bizzare vu que cette question est l'application d'un théorème de la médiane au préalable calculé.
Je vous remercie d'avance pour votre aide, et vos explications .
bonjour,
on va chercher à exprimer le produit scalaire vect(GI) vect (GJ) en fonction des distances AB, AC et BC :
exprime vect (GI) en fonction de vect(BI)
exprime vect (GJ) en fonction de vect(CJ)
exprime ensuite vect(BI) en fonction de vect(BA) et vect(BC)
exprime vect(CJ) en fonction de vect(CA) et vect(CB)
Tu peux maintenant exprimer le produit scalaire vect(GI) vect(GJ) en fonction du produit scalaire vect(AB) vect(AC) et de la distance BC
Il te reste à transformer le produit scalaire vect(AB) vect(AC) en fonction de AB , AC et BC
et tu auras le produit scalaire vect(GI) vect (GJ) en fonction des distances AB, AC et BC
En écrivant que l'orthogonalité des médianes correspond à un produit scalaire nul, tu auras facilement l'équivalence demandée
Au travail
Ok, donc :
GI = 1/3 BI ( G centre de gravité )
GJ = 1/3 CJ ( idem )
BI = 1/2 BA + 1/2 BC ( propriété caractéristique )
CJ = 1/2 CA + 1/2 CB ( idem ).
Par contre, je ne comprends pas comment T exprimer le produit scalaire vecteur (GI) vecteur (GJ) en fonction du produit scalaire vecteur (AB) vecteur (AC) et de la distance BC.
Dois-je écrire que GI.GJ = 0 <=> 1/3 BI + 1/3 GJ = 0
et remplacer BI et GJ par les valeurs trouvées précédemment ?
Bonjour.
Juste un point et je vous laisse :
je débute par :
(GI)
(GJ) 1/2 ( GI² + GJ² - IJ ² )Bien, je poste ce que j'ai écrit.
GI.GJ = 0 1/3 BI . 1/3 BJ = 0 1/9 ( BI. CJ ) = 0 BI.CJ = 0 (1/2 BA + 1/2 BC).(1/2 CA + 1/2 CB) = 0. 1/4(BA.BC) . 1/4 (CA.CB) = 0
Bonsoir
Ton début est intéressant :
en vecteurs :
GI.GJ = 0
1/3 BI . 1/3 CJ = 0
1/9 ( BI. CJ ) = 0
BI.CJ = 0
(1/2 BA + 1/2 BC).(1/2 CA + 1/2 CB) = 0.
Après il y a un problème : les + disparaissent :
1/4(BA.BC) . 1/4 (CA.CB) = 0
il faudrait poursuivre :
toujours en vecteurs :
1/4 (BA+BC) .(CA+CB) = 0
(BA+BC) .(CA+CB) = 0
On développe :
BA. CA + BA.CB + BC CA + BC.CB = 0
AB.AC + AB.BC + BC.CA -BC.BC = 0
AB.AC + BC ( AB + CA) - BC.BC = 0
AB.AC + BC .CB - BC.BC = 0
AB.AC -2 BC² = 0
On exprime le produit scalaire AB.AC en fonction des distances AB , AC et BC
on remplace le produit scalaire BC.BC par BC² ( en distance)
et on y est presque.
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