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Les nombres de Sophie Germain

Posté par
Bladest 25-09-05 à 22:29

Salut
J'ai un problème qui, d'après le titre de l'exercice, concerne les nombres de Sophie Germain.
Je pense que dans l'ensemble j'ai réussi (presque) tout mon exercice sauf la dernière question qui semble être une conclusion. Je vais transcrire ce qui me semble essentiel pour qu'on puisse m'aider.


On considère pour chaque entier naturel n, l'entier P(n) = n^4 + n^2 + 1 . On se demande si P(n) est un nombre premier ou non suivant la valeur de n.

1. Avec la calculatrice, émettre une conjecture.
Je pense pas que c'est bon, mais j'ai dit que le fait que P(n) soit un nombre premier ou non n'a pas de lien direct avec la valeur de n.
[...]
J'ai pu trouver une autre écriture de x^4 + x^2 + 1 : c'est (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)
[...]
3. Résoudre les équations : x^2 + x + 1 = 1    et    x^2 - x + 1 = 1
J'ai trouvé -1 et 0 comme solutions pour la première équation, et 0 et 1 pour la deuxième.
4. Pour quelles valeurs de l'entier naturel n, l'entier n^4 + n^2 + 1 est-il premier ?
Voilà, où je bloque, je ne comprends pas ce que l'on me demande, quel est le rapport.
Aidez-moi s'il vous plaît ! Et pour ma conjecture aussi, elle ne m'a pas l'air assez pertinente.

Posté par
BladestY a un problème 25-09-05 à 22:31

Je suis classé en seconde, mais en vérité, je suis en première, je sais pas ce que j'ai fait pour que ça arrive.

Posté par
Bladestre : Les nombres de Sophie Germain 26-09-05 à 01:43

Il n'empêche, j'ai besoin d'aide !
Je sais qu'en ce moment il est tard, alors j'espère que demain on pourra m'aider.

Posté par
suistropre : Les nombres de Sophie Germain 26-09-05 à 03:01

j ai pas tout compris :$


deja si n=0 tu tombe sur 1
si n=-1 tu as 1*(x²-x) donc si x²-x est premier ba pour n=-1 ton nombre est premier car divisible par 1 et lui meme :p tu vois le truc??
idem si n=1

et si n=2.....tu va avoir ton nombre multiple de 2 autres nombre different de 1 et donc il ne pourra pas etre premier .... t en penses quoi??

Je ne suis pas certains de ce que j avance mais ca me semble aps totalement bete :p

Allez GooD Luck

Pour ta conjecture ba tu devrais pas trouver beaucoup de nombre premier!!!
ceux qui me semble bizzard au vue de l exo demander !!!!

Posté par
rene38re : Les nombres de Sophie Germain 26-09-05 à 03:32

Bonjour
1.
P(0)=0^4+0^2+1=1 n'est pas premier
P(1)=1^4+1^2+1=3 est premier
P(2)=2^4+2^2+1=21=3\times 7 n'est pas premier
P(3)=3^4+3^2+1=91=7\times 13 n'est pas premier
P(4)=4^4+4^2+1=273=3\times 7\times 13 n'est pas premier

4. P(n)=n^4+n^2+1=(n^2+n+1)(n^2-n+1) est premier si et seulement si
un seul des 2 facteurs est égal à 1, ce qui, d'après la question 3 n'est réalisé que lorsque n=1.

Pour n=0, le 2 facteurs valent 1 donc le produit vaut 1 qui n'est pas premier
et n étant un entier naturel ne peut pas valoir -1


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