Salut,

En gros, la "forme explicite", c'est u_n en fonction de n ; la "forme récurrente", c'est u_n+1 en fonction de u_n.

Avec ton exemple : U(n) = 7n+6 est bien une forme explicite, mais U(n+1) =7(n+1)+6  n'est pas une forme récurrente.
En revanche : U(n+1) =7(n+1)+6 donc U(n+1) =7n+6 +1 donc U(n+1) =U(n) +1 en est une.

Oups...

En revanche : U(n+1) =7(n+1)+6 donc U(n+1) =7n+6 +7 donc U(n+1) =U(n) +7 en est une.

Bonjour,
Une remarque :
Il est facile de trouver une forme récurrente à partir d'une forme explicite.
Par contre, l'inverse n'est pas toujours simple.
Si on connait l'expression de u_n en fonction de n, de la forme u_n = f(n), on peut toujours écrire
u_n+1 = u_n + f(n+1)-f(n).
On peut aussi écrire
u_n+1 = 2u_n + f(n+1)-2f(n).
Avec ton exemple : u_n+1 = 2u_n - 7n +1.
Mais ça n'apporte pas grand chose

D'accord Merci à tous les deux donc en gros pour passer d'une forme a une autre cela  dépend  des informations que l'on a .
Par contre je n'ai pas trop  compris  Sylvieg votre explication si on avait f(n) .
Enfin j'aurai une dernier question est- ce  que dans la formule suivante pour trouver la variation  d'une suite  Un+1- Un , pour Un+1 ce n'est pas forcement la forme récurrente qui est attendu ?

Non, mais il est difficile de donner une méthode générale : cela dépend du type de suite, des questions précédentes, du contexte de l'exercice...

S'il s'agit d'une suite arithmetico-géométrique, tu devrais résoudre le système :
{U(n+1)=k*U(n)+q
{U(n)=a*n+b
k et q étant inconnus; a et b connus.
Tu effectues une substitution de n par n+1 et une identification pour les trouver.

Tu peux adapter les formes de récurrence, notamment en U(n+1)=k*U(n)+p*n+q ...

D'accord mais vous n'avez pas répondu à ma dernière question  "  est- ce  que dans la formule suivante pour trouver la variation  d'une suite  Un+1- Un , pour Un+1 ce n'est pas forcement la forme récurrente qui est attendu " ?

La réponse est : non.