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Les Suites

Posté par alexircus (invité) 27-05-05 à 09:40

La feuille de papier toilette a une épaisseur de 0,27 mm.

Je vous décrit le dessin :
Le rouleau a un diamètre de 10,5 cm.
Il y a un vide au milieu de 5 cm de diamètre.

J'en conclue ke le rouleau a un rayon sans le vide de (10,5 - 5 = 5,5 / 2 ) = 2,25 cm d'accord?

Question/Application :

1. Déterminez le nombre total de tours.

2. Montrez que les longueurs des enroulements correspondant chacun à un tour complet constituent une suite arithmétique dont vous donnerez le premier terme et la raison.

3. Calculez la longueur du papier enroulé.

Je vous remercie d'avance

Posté par
franz
re : Les Suites 27-05-05 à 10:24

Oui mais je ne suis pas d'accord avec le terme employé. Il vaut mieux parler d'épaisseur e_{rouleau}=2,25\,cm

1/
N=\frac {e_{rouleau}} {e_{feuille}}

2/
le rayon du n° enroulement vaut
              \large R_{int}+n\,e_{feuille}
Sa longueur vaut donc
              \large 2\pi\,R_{int}+n\,e_{feuille}

Posté par alexircus (invité)LES SUITES ! aidez moi svp ! 29-05-05 à 18:42

La feuille de papier toilette a une épaisseur de 0,27 mm.

Je vous décrit le dessin :
Le rouleau a un diamètre de 10,5 cm.
Il y a un vide au milieu de 5 cm de diamètre.

J'en conclue ke le rouleau a un rayon sans le vide de (10,5 - 5 = 5,5 / 2 ) = 2,25 cm d'accord?

Question/Application :

1. Déterminez le nombre total de tours.

2. Montrez que les longueurs des enroulements correspondant chacun à un tour complet constituent une suite arithmétique dont vous donnerez le premier terme et la raison.

3. Calculez la longueur du papier enroulé.


*** message déplacé ***

Posté par sylanne (invité)piste 29-05-05 à 20:21

Salut, sympa ton exercice !
alors regardons un peu tout ça :
1. le nombre total de tours est 2,25 cm / 0,27 mm soit 833 tours
2. soit l_i la longueur du tour i
on a L_1 = 2 x pi x 2,5 (le rayon autour du vide est 5/2 = 2,5 cm)
     L_2 = 2 x pi x (2,5+0.027) (le rayon a augmenté de 0,27 mm car il y a dèjà une épaisseur de papier autour du rouleau)
     L_3 = 2 x pi x (2,5+0.027+0.027)
tu en déduis L_n
je regarde la suite après avoir diné !

*** message déplacé ***

Posté par danskala (invité)re : LES SUITES ! aidez moi svp ! 29-05-05 à 20:34

salut Sylanne,

Pour le nombre de tours, le calcul est 2,75 cm/0,27 mm=27,5/0,27 soit 102 tours.
Je n'est pas vérifié concrètement, mais 833 tours cela me paraissait beaucoup ...

*** message déplacé ***

Posté par vNISTELROOY (invité)erreur 29-05-05 à 22:50

salut moi je suis d'accord avec sylanne car si l'on met 2,25cm en mm on trouve 225mm donc 225/0,27=833,33 tours

*** message déplacé ***

Posté par sylanne (invité)re 29-05-05 à 23:07

autant pour moi, je n'avais pas vérifié le calcul d'alex, c'est bien 2,75 cm donc 27,5 mm/0,27 mm environ égale à 102 tours

*** message déplacé ***

Posté par nonoparadox (invité)re : LES SUITES ! aidez moi svp ! 29-05-05 à 23:54

excusez moi de m'immiscer mais 2,25cm = 22,5mm et non pas 225 !!
Donc on trouve 83 tours et des poussieres ce qui est beaucoup plus logique ...
Sinon c'est du PQ spécial lendemains de fête .........lol

*** message déplacé ***

Posté par nonoparadox (invité)re : LES SUITES ! aidez moi svp ! 29-05-05 à 23:56

ah sorry j'avais pas lu jusqu'au bout, donc oui plutot 102 tours mais ca reste plus logique que 833  ...

*** message déplacé ***

Posté par danskala (invité)re : LES SUITES ! aidez moi svp ! 30-05-05 à 09:40

salut,

Appelons L_n la longueur du papier au n-ième tour.
On a, comme le dit sylanne :
L_1 = 2 x x 2.5
L_2 = 2 x x (2,5+0.027)
L_3 = 2 x x (2,5+0.027+0.027)
...
L_n = 2 x x (2,5+0.027 x ((n - 1))

Soit L_n = 5 + 0,054(n - 1)

L_n est donc bien une suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 0,054.

La longueur L totale du papier est
L = L_1 + L_2 + L_3 ... + L_102
L = 5 x 102 + 0,054 x (1 + 2 + ... + 101)
L = 510 + 0,054x(101 x 102)/2
L = 788,154
L 2476 cm soit 24,76 m

Bye ...


PS:
Par esprit scientifique, j'ai sacrifié un de mes rouleaux de papier toilette pour voir si les résultats trouvés étaient plausibles.
Je précise, pour la reproductibilité de l'expérience, que le rouleau est de marque "Lotus" (confort).

Les diamètres externes et internes du rouleau sont sensiblement les mêmes que ceux de l'exercice d'alexircus.
J'ai eu du mal à déterminer l'épaisseur de la feuille. En tout cas elle est inférieure  au mm. Le nombre de 0,27 mm ne me paraît pas abberrant.
Je vous livre enfin mes mesures:
Longueur totale de papier : 18,84 m  environ
Nombre de tours de papier : 82 tours  environ

Données annexes :
Nombre de feuilles : 151 feuilles.
Longueur d'une feuille : environ 12,5 cm.

Les résultats de l'exercie me semblent donc plausible.

Voilà ...

Bye.









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