Inscription / Connexion Nouveau Sujet
les suites
bonjour je m'appelle camille et me voici avec un exercice de maths qui me pose de serieux problème malgrès qu'il m'a l'air plutôt simpliste.. je vous remerci d'avance pour l'aide que vous m'apporterai...car je bloque vraiment...
voici le sujet:
Une personne souhaite placer durant plusieurs années un capitale de 15 000euros.Elle hésite entre deux types de placements:
- un placement à intérêt simple 6% l'an: chaque année, son capital augmente d'une somme fixe égale à 6% du capitale initiale , c'est à dire de 900 euros;
- un placement à intérêt composés de 4% l'an : dans ce cas, les intérêts produits sont capitalisés, et rapportent donc eux aussi 4% l'an.
1) Quel est le placement le plus aantageux sur 7ans??
2) Pour chaque cas , combien d'années faut-il immobiliser la somme initiale pour voir le capital doubler?
Conseil : Noter Sn le capital obtenu au terme de n années lorsque les intérêt simples ( So = 15 000euros), et Cn le capital obtenu au terme de n années lorsque les intérêts sont comptabilisés.
PREMIERE PARTIE
1/ placement à intérêt simple 6 % an
on perçoit la même somme 900 tous les ans
S1= S0 + 0.06 S0=1.06 S0 ou S0+900=15 000+ 900=15 900 ou S1=S0 (1+i)
S2=S1+ 900= S0+ 900+900=SO+ 1800 ou S1= S0+2.*900 ou S1=S0+2*S0*i= S0(1+2i)
Sn+1= Sn+900 ou Sn+1= S0 (1+(n+1)i)
S1-So=900
S2-S1=900
Sn+1-Sn=900
Suite arithmétique de raison r=900
Sn= S0+ nr= 15 000 + n*900 ou Sn= S0+S0n*i=S0 (1+n*i) = 15000*(1+n*0.06)
S7= 15 000 +7*900= 15 000 +6300= 21 300
2/un placement à intérêt composés 4% l'an:
les interets sont ajoutés au capital et placés à leur tour pour une année encore.
La première année la valeur acquise = capital initial +intérets
C1=C0+0.04*S0= 15 000 + 600= 15 600
Ou C1= 1.04* C0=1.04* 15000 = 15 600
La deuxième année, la valeur acquise de la 2ème année + interets sur ce capital que l'on a placé
C2=C1+0.04*C1=1.04 C1=1.04*1.04*C0=1.04²C0=1.0816*15000=
16224
Cn+1= Cn+0.04Cn=1.04 Cn
C2/C1=C1/C0=Cn+1/Cn=1.04
Il s'agit d'une suite géométrique de raison q=1.04
Cn=C0*q^n= 15000*1.04^n
C7= 15000*1.04^7= 15000*1,3159=19738.97
La valeur acquise dans le cas des interets simples est supérieure à la valeur acquise dans le cas des intérets composés dans le cas d'un placement sur 7 ans.
S7>C7
Donc première solution plus avantageuse pour unn placement sur 7 ans.
sauf distraction
2) Pour chaque cas , combien d'années faut-il immobiliser la somme initiale pour voir le capital doubler?
cas interets simples
Sn=2*S0=30 000
Sn=15000*(1+n*0.06)
30 000= 15000*(1+n*0.06)
2=1+n*0.06
1=n*0.06
1/0.06=n
16,66666667=n
donc n=17
cas interet composé
Cn=2*C0=30 000
Cn= 15000*1.04^n
30 000 =15 000*1.04^n
2=1.04^n
ln2=ln( 1.04^n)
ln2= nln 1.04
ln2/ln1.04=n
comme je n'ai pas de calculatrice à calculer
A comparer les n
prendre la formule qui permet de doubler le capital plus rapidement.
sauf distraction
pour la dernière question cas interet composé
Cn=2*C0=30 000
n=1/2/3/4/5/6/7 etc
1.04^n=1,04/1,0816/1,124864/1,16985856/1,216652902/ 1,265319018/1,216652902
si les logarithmes ne font pas partie du programme, faire un tableau
quand le n quand 1.04^n=2
tu m'as aidé sur mes deux exercice je pense que tu as du t'en rendre compre enfin bon je te remerci beaucoup pour ton aide avec ça je vais essayer de comprendre maintenant..
cam
pour les valeurs de C2 et C7 j'ai vériféié c'est bon
on a bien C2=16 224
C7=19 738.97
pour la dernière question cas interet composé
Cn=2*C0=30 000
Cn= 15000*1.04^n
30 000 =15 000*1.04^n
2=1.04^n
ln2=ln( 1.04^n)
ln2= nln 1.04
ln2/ln1.04=n
si on fait un tableau
n q^n
17 1,947900496
18 2,025816515
on voit que n=18
C(18)= 30 387 ,24
A vérifier avec les logarithmes
n dans cas intérets simples < n dans interets composés
17<18
première formule avantageuse
sur google,tapez "suite géométrique" il existe un site où on peut faire une simulation avec la suite géométrique en renseigannt seulement le premier terme et la raison.Cela permet de vérifier les calculs.
A disposition si questions
Annuler
connectez vous