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Les suites : Démontrer une formule par récurrence
Bonsoir,
Tout comme j'ai montré par récurence que "", je souhaiterai montrer que "
".
J'avais bien réussi à faire le premier, mais je ne vois pas comment faire le second. Je pense que c'est sur le même principe, mais les calculs m'inspirent pas...
Montrons par récurrence que "" :
Si , est-ce vrai ?
Je n'arrive pas à simplifier le calcul, mais je sais que c'est vrai, on retrouve bien .
Supposons que "" soit vrai.
Et là de meme je bloque...
Donc voilà, si qqn pouvait me donner un petit coup de main, j'ai compris le principe mais là je n'arrive pas à appliquer
Bonsoir si tu supposes que 1+q+.....q^n=(1-q^n+1)/1-q il te faut montrer que 1+q+......q^n+q^(n+1)=(1-q^(n+2))/1-q.
1+q+......q^n+q^(n+1)=(1+q+......q^n)+q^(n+1)=(1-q^n+1)/1-q + q^(n+1)=(1-q^n+1+(1-q)q^(n+1))/(1-q)=(1-q^(n+2))/1-q.
Salut lolo947
Pour n=1, 1+q=(1-q²)/(1-q) est vrai car 1-q²=(1-q)(1+q)
Supposons que le resultat est vrai jusqu'au rang n donc que
1+q+...+q^n=(1-q^(n+1))/(1-q).
Calculons 1+q+...+q^(n+1).
1+q+...+q^(n+1)=(1-q^(n+1))/(1-q) +q^(n+1) (en utilisant l'hypothese de recurrence)
Or (1-q^(n+1))/(1-q) +q^(n+1)=[1-q^(n+1) +q^(n+1)*(1-q)]/(1-q) en reduisant au meme denominateur
donc 1+q+...+q^(n+1)=[1-q^(n+1) +q^(n+1)*(1-q)]/(1-q)
=(1-q^(n+2)]/(1-q) (les q^(n+1) se simplifient)
donc le resultat est vrai au rang n+1 et donc d'apres le theoreme de recurrence, le resultat est vrai pour tout n.
Voila
Joelz
merci à tous !
euh...que dirait mon prof de 3eme...euh je préfère pas le savoir. Nan mais je pense jamais à la factorisation...et pourtant, ça rend bien souvent la vie plus simple !
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