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Les suites (encore et toujours!)

Posté par milou7700 (invité) 15-05-05 à 10:08

Bonjour tout le monde, j'essaie de faire mon exercice toute seule comme une grande mais voila que je bloque juste à la fin ...

Je vous mets quand meme l'exo en entier afin que vous compreniez ...

On définie deux suites u et v par : u_0=1 et v_0=5 et pour tout entier naturel n,

u_{n+1}=\frac {7u_n-v_n}{4}+1 et v_{n+1}=\frac {15u_n-v_n}{4}+3

a / Calculer u1,u2,v1,v2

u1=3/2
u2=9/4
v1=11/2
v2=29/4

b/ Soit la suite w telle que pour tout entier naturel n, w_n=5u_n-v_n

Montrer que la suite w est arithmétique et exprimer wn en fonction de n pour tout entier naturel n

La suite wn est arithmétique de raison r=-2 et w_n=-2n

c/ Soit la suite t telle que pour tout entier naturel n t_n=v_n-3u_n

Montrez que la suite t est géométrique et exprimez tn en fonction de n pour tout entier naturel n

Elle est géométrique de raison q=1/2 et t_n= 2 \times (1/2)^n

C'est ici que le problème se pose, je ne sais plus faire les questions suivantes

d/ Deduisez des questions précédentes l'expression de u_n et de v_n en fonction de n pour tout entier naturel n

e/ Je scanne car je n'ai pas tout compris ... je pense qu'il faut calculer la somme des u et la somme des v mais bon je ne suis pas sure et je ne sais pas le faire dans tous les cas


Voila je vous remercie d'avance pour une petite aide !
Milou

***
Calculer :
S_n=\sum_{i=0}^n u_i et S'_n=\sum_{i=0}^n v_i

Posté par
Victorre : Les suites (encore et toujours!) 15-05-05 à 10:15

On a donc :
wn=5un-vn
tn=-3un+vn

En additionnant ces deux égalités, tu peux exprimer un en fonction de wn et de tn dont tu connais l'expression en fonction de n.
De même pour vn en utilisant une combinaison linéaire des deux égalités...

Posté par milou7700 (invité)re : Les suites (encore et toujours!) 15-05-05 à 10:46

merci Victor ...

alors en utilisant ton conseil je trouve

u_n=-n+(1/2)^n
et
v_n=-4n + 4\times (1/2)^n

est-ce exact ???

comment faire pour la question D please ?

Posté par
Victorre : Les suites (encore et toujours!) 15-05-05 à 11:19

Pour v, je trouve :

v_n=-3n + 5\times (1/2)^n
A vérifier.

Ensuite, pour la question D, on va faire des sommes en séparant la partie arithmétique de la partie géométrique.

Posté par milou7700 (invité)help ... 15-05-05 à 11:20



je pense que j'ai faux pour Vn car je ne retrouve pas le resultat de v_o=5 mais je ne comprends pas mon erreur

help s'il vous plait !

Posté par milou7700 (invité)re : Les suites (encore et toujours!) 15-05-05 à 11:21

en meme temps victor !

je pense que ta reponse est bonne mais je n'ai pas compris comment tu as trouvé ca ...

pourrais-tu détailler please?

Posté par
Victorre : Les suites (encore et toujours!) 15-05-05 à 11:22

Par exemple :
S_n=\sum_{i=0}^n u_i = -\sum_{i=0}^n i + \sum_{i=0}^n (\frac{1}{2})^i
La première partie est la somme des premiers termes d'une suite arithmétique que tu dois savoir calculer.
La deuxième partie est la somme des termes d'une suite géométrique que tu dois aussi savoir calculer...

Posté par
Victorre : Les suites (encore et toujours!) 15-05-05 à 11:22

Nos messages se croisent...

On a :
3wn+5tn=2vn d'où le résultat.

Posté par milou7700 (invité)re : Les suites (encore et toujours!) 15-05-05 à 11:26

en effet nos messages se croisent !
pour la somme j'ai compris mais on ne sait pas que u_n et v_n sont arithmétiques ou géométriques ...


je ne comprend pas 3w_n+5t_n=2v_n ...

d'ou ca vient?

Posté par
Victorre : Les suites (encore et toujours!) 15-05-05 à 11:30

On a :
wn=5un-vn
tn=-3un+vn
donc en multipliant la première par 3 et la deuxième égalité par 5, on obtient :
3wn=15un-3vn
5tn=-15un+5vn
Ensuite, on additionne membre à membre les deux égalités et le tour est joué

Pour les sommes, on utilise le fait que un est composé d'une partie arithmétique avec wn et d'une partie géométrique avec tn.

Posté par milou7700 (invité)re : Les suites (encore et toujours!) 15-05-05 à 11:50

ok c'est bon j'ai trouvé pour v_n merci ^^

pour la somme c'est pas trop ca mais bon ...

Posté par
Victorre : Les suites (encore et toujours!) 15-05-05 à 11:55

N'hésite pas à poser des questions si nécessaires...

Posté par milou7700 (invité)re : Les suites (encore et toujours!) 15-05-05 à 12:01

je connais mes formules pour calculer la suite mais je suis perturbée
parce que les suites un et vn ne sont ni géometrique et ni arithmétique alros je ne vois pas comment calculer meme si je sais que
Somme arithmétique = (n+1)(uo+un)/2
Somme géométrique = uo (1-q^n+1) / 1-q

Posté par
Victorre : Les suites (encore et toujours!) 15-05-05 à 12:16

Pour l'expliquer autrement, tu as :
un=wn/2+tn/2
donc la somme des un est égale à la moitié de la somme des wn (qui est une suite arithmétique) plus la moitié de la somme des tn (qui est une suite géométrique)

Tu obtiens :
Sn=-n(n+1)/2+2(1-(1/2)n+1).

A toi de vérifier tout ça...

Posté par milou7700 (invité)re : Les suites (encore et toujours!) 15-05-05 à 13:24

j'ai vérifié pour u_n et en effet je trouve le meme resultat apres avoir longuement calculé !

pour S'n on utilise la relation 2v_n=3w_n+5t_n ???

Posté par milou7700 (invité)re : Les suites (encore et toujours!) 15-05-05 à 14:03

j'ai tenté de calculer la somme v_n

et j'aboutis a

E v_n = -3n(n+1)+10[1-(\frac{1}{2})^{n+1}]

est-ce correct?


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