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Les suites numériques

Posté par
Nanou13 31-12-21 à 18:30

Bonjour à tous,

Pourriez - vous m'apporter votre aide sur cet exercice s'il vous plaît ? Je suis en Première Générale (spécialité maths).
Merci d'avance aux personnes qui prendront le temps.

Déterminer les variations (Un)n\geq1 définie par Un = \frac{n}{2n+1}:

a. en étudiant le signe de Un+1 - Un en fonction de l'entier n ;

Je propose :
Nous savons que : Un = \frac{n}{2n+1} et Un+1 = \frac{(n+1)}{(2n+1+1)} = \frac{(n+1)}{(2n+2)}.

Nous avons : Un+1 - Un = \frac{(n+1)}{(2n+2)} - \frac{(n)}{(2n+1)} = \frac{(n+1)(2n+1) - (n) (2n+2)}{(2n+2)(2n+1) - (2n+1) (2n+2)} = \frac{(n+1)}{(2n+2) (2n+1)}

Après,  je ne vois pas de quelle manière conclure.


b. en comparant le quotient \frac{Un+1}{Un} à 1 en fonction de l'entier n (on vérifiera que pour tout entier n \geq 1; on a Un > 0);

Je n'ai pas réussi à faire cette question.

Posté par
littleguyre : Les suites numériques 31-12-21 à 18:41

Bonjour,

Je n'ai pas vérifié ton calcul mais s'il est exact alors il est clair que un+1 - un est positif donc que la suite est ...

Pour l'autre méthode si un+1/un est  supérieur à 1, idem.  Donc étudie le signe de (un+1/un)-1.

Posté par
caritare : Les suites numériques 31-12-21 à 18:43

bonsoir

Un+1 n'est pas égal à (n+1)/(2n+2)

Posté par
caritare : Les suites numériques 31-12-21 à 18:44

bonsoir littleguy
je te laisse poursuivre, je ne faisais que passer.

Posté par
heklare : Les suites numériques 31-12-21 à 18:44

Bonsoir

u_{n+1}=\dfrac{n+1}{2(n+1)+1}=\dfrac{n+1}{2n+3}

u_{n+1}-u_n=\dfrac{(n+1)(2n+1)-n(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}

Le dénominateur est strictement positif   quel est le signe du numérateur

Posté par
littleguyre : Les suites numériques 31-12-21 à 18:45

Bonsoir carita

Tu as bien fait de vérifier !

Posté par
heklare : Les suites numériques 31-12-21 à 18:45

Bonsoir et bonnes fêtes de fin d'année.

Posté par
littleguyre : Les suites numériques 31-12-21 à 18:46

Et bonsoir hekla !

Je m'éclipse.

Posté par
Nanou13re : Les suites numériques 31-12-21 à 18:48

Bonsoir à vous,

Du coup Un+1 serait égal à \frac{(n+1)}{(2n+1)}?

Posté par
Nanou13re : Les suites numériques 31-12-21 à 18:50

Pour le numérateur, faut-il développer?

Posté par
heklare : Les suites numériques 31-12-21 à 18:51

Bonsoir carita

je vous laisse poursuivre

Posté par
caritare : Les suites numériques 31-12-21 à 19:06

bonsoir hekla, tu peux intervenir si tu le souhaites, tu as déjà bien amorcé.

Nanou13 @ 31-12-2021 à 18:48

Un+1 serait égal à \frac{(n+1)}{(2n+1)}?

Nanou13, hekla a pris la peine de te donner le détail du calcul, ce serait bien de le lire

oui développe et réduis le numérateur.

et bonne soirée de réveillon à tous.

Posté par
Nanou13re : Les suites numériques 31-12-21 à 19:17

Effectivement, je n'ai pas vu avant de poster.

Du coup, Un+1 - Un= \frac{2n^2 + 2n + n + 1 - 2n^2 - 3n} {(2n+3)(2n+1)} = \frac{2n + n +1 - 3n}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{3n+1 - 3n}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{1}{(2n+3)(2n+1)}

Posté par
caritare : Les suites numériques 31-12-21 à 19:29

exact
et donc le signe de cette différence est  ?

Posté par
Nanou13re : Les suites numériques 31-12-21 à 19:36

Donc \frac{1}{(2n+3(2n+1)} > 0

La suite (Un) est croissante.

Posté par
heklare : Les suites numériques 31-12-21 à 20:16

Même strictement croissante

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}-1=

Posté par
Nanou13re : Les suites numériques 31-12-21 à 21:35

Pourquoi faut-il soustraire -1 à \frac{Un+1}{Un}?

Posté par
heklare : Les suites numériques 31-12-21 à 21:53

Puisque l'on veut comparer à 1 donc en soustrayant 1 on se ramène à étudier le signe

Posté par
Nanou13re : Les suites numériques 31-12-21 à 22:31

Merci pour cette précision.

Donc, (\frac{(n+1)}{(2n+3) } × \frac{(2n+1)}{(n)}) - 1 = (\frac{2n^2 + 2n+n +1}{2n^2+3n})-1 = (\frac{3n + 1}{3n})- 1 = 1 - 1 = 0.

Posté par
heklare : Les suites numériques 31-12-21 à 22:57

Problème avec les fractions ?

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n+1}{2n+3}\times \dfrac{2n+1}{n}=\dfrac{2n^2+3n+1}{n(2n+3)}

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}-1 =\dfrac{2n^2+3n+1-2n^2-3n}{n(2n+3)}=\dfrac{1}{n(2n+3)}

c'est donc       par conséquent

Posté par
Nanou13re : Les suites numériques 31-12-21 à 23:40

Pourquoi nous ne développons pas le dénominateur ?
Je ne comprends pas le développement de la deuxième ligne, notamment le (-2n2-3n).

Posté par
heklare : Les suites numériques 31-12-21 à 23:58

on n'a pas besoin de développer le dénominateur ce qui nous intéresse est le signe donc sans problème positif
on en a quand même besoin pour écrire 1 sous ce dénominateur

1=\dfrac{n(2n+3)}{n(2n+3)}=\dfrac{2n^2+3n}{n(2n+3)}

Posté par
Nanou13re : Les suites numériques 01-01-22 à 00:11

Donc pour étudier le signe d'une suite, seul le numérateur est à prendre en considération en le développant ?
Je ne comprends toujours pas pourquoi le-2n2 et-3n dans cette fraction \frac{2n^2+3n +1 - 2n^2 - 3n}{n(2n + 3)}

Posté par
heklare : Les suites numériques 01-01-22 à 00:18

Non on a besoin de tout mais comme au dénominateur vous n'avez que des entiers donc des nombres positifs ce n'est pas la peine de développer

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}-1=\dfrac{2n^2+3n+1}{n(2n+3)}-\dfrac{2n^2+3n}{n(2n+3)}=\dfrac{2n^2+3n+1-(2n^2+3n)}{n(2n+3)}

Posté par
Nanou13re : Les suites numériques 01-01-22 à 00:23

Merci pour cette explication, donc si ce sont des nombres négatifs, dans ce cas nous développons le dénominateur ?
Je viens de comprendre votre démarche concernant le calcul.

Posté par
heklare : Les suites numériques 01-01-22 à 00:32

En général on ne développe pas un produit où qu'il soit.

On sait étudier le signe d'un produit, mais pas d'une somme.

Bonne année mathématique

Posté par
Nanou13re : Les suites numériques 01-01-22 à 00:37

D'accord très bien, je prends en note cette explication.
Pour la question b, comment vérifie t-on que pour tout entier n \geq1; on a Un > 0).
Si vous pouvez m'aiguiller s'il vous plaît.
Merci ! Je vous souhaite également une bonne année.

Posté par
heklare : Les suites numériques 01-01-22 à 00:42

u_n=\dfrac{n}{2n+1}

n est un entier naturel strictement positif puisque n\geqslant 1

2n+1 dans ces conditions est supérieur à 3 vous avez alors  deux nombres strictement positifs

Posté par
Nanou13re : Les suites numériques 01-01-22 à 00:47

Comment savons-nous que 2n + 1 est supérieur à 3 ?
En remplaçant peut être n par un nombre entier?

Posté par
heklare : Les suites numériques 01-01-22 à 00:50

2\times 1+1 si l'on prend pour n la première valeur 1

Posté par
Nanou13re : Les suites numériques 01-01-22 à 00:53

D'accord, effectivement je comprends mieux d'où vient le chiffre 3.

Posté par
heklare : Les suites numériques 01-01-22 à 00:56

Non, 3 est un nombre   écrit avec le symbole 3

Posté par
Nanou13re : Les suites numériques 01-01-22 à 01:02

Je n'ai pas très bien compris votre explication. Vous parlez de nombre écrit ?

Posté par
heklare : Les suites numériques 01-01-22 à 01:07

Il y a la même différence entre un chiffre et un nombre qu'entre une lettre et un mot

les mots s'écrivent avec des lettres, il y a des mots avec une seule lettre

les nombres s'écrivent avec des chiffres il y en a aussi avec un seul chiffre

Posté par
Nanou13re : Les suites numériques 01-01-22 à 01:17

D'accord, j'ai compris.
Un grand merci à vous hekla pour vos explications à mes questions posées, votre aide et votre patience.
Bonne soirée à vous

Posté par
Nanou13re : Les suites numériques 01-01-22 à 01:19

Je remercie également littleguy et carita

Posté par
heklare : Les suites numériques 01-01-22 à 01:20

Un peu tard pour la soirée plutôt bonne nuit
De rien

Posté par
Nanou13re : Les suites numériques 01-01-22 à 01:24

Effectivement, bonne nuit et encore merci

Posté par
heklare : Les suites numériques 01-01-22 à 01:25

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