bonjour
ouvrir geogebra
réaliser ta construction
et conjecturer le résultat
rien de plus

Bonjour malou
J ai fait un dessin  mais je ne sais pas quelle conjecture écrire et à quelles données de a on a AI perpendiculaire à BD

Bonjour,

tu ne pourras pas conjecturer grand chose avec un dessin statique sur papier
en plus dans lequel la droite (BD) n'est même pas tracée et le point I même pas au milieu de [DC] ...
pour conjecturer (observer et dire) quelque chose il est indispensable d'avoir une figure (correcte en plus) dans laquelle on peut faire varier les dimensions du rectangle (la valeur de a vu que AD est constant = 1)
là, on pourra observer pour quelle valeur de a il semble que (BD) soit perpendiculaire à (AI)
(c'est cela conjecturer observer ce qu'il se passe en faisant varier quelque chose)

sans utilisation de Geogebra (d'une figure dynamique déformable) il sera impossible de conjecturer
et donc on s'attaquera à résoudre le problème directement et exactement et de façon purement abstraite et théorique (calculs, propriétes geométriques, etc) dès le départ.

J'ai fait la figure sur geogebra  et je trouve a=1.43 pour que AI et BD soit perpendiculaire...

salut

si tu as vu le produit scalaire alors dire que les droites (AI) et (BD) sont perpendiculaires c'est dire que les vecteurs ... et ... sont ...

sinon déterminer les équations des droites (AI) et (BD) ...

voila (à la précision du déplacement des points ou du curseur selon comment tu as fait ta figure)

donc c'est ça ta conjecture
il semble que pour a environ 1,43 les droites soient perpendiculaires
un point c'est tout.

on peut améliorer la précision de cette conjecture en faisant afficher l'angle de ces droites (créer leur point d'intersection etc) et la valeur de a avec bien plus de décimales
zoomer à mort pour déplacer le point définissant a de façon plus précise.

maintenant que tu as (avec Geogebra) une figure qui tient la route avec un angle qui au moins "à l'oeil" semble droit, on peut attaquer la démonstration de cette conjecture (ce qui donnera la valeur exacte de a)
ce qui nécessite ce fameux point d'intersection de (AI) et (BD), disons M
on veut que l'angle en M soit droit, donc que le triangle AMB soit rectangle en M, donc que ses angles en A et B soient complémentaires etc ...

oui, en première avec comme rubrique affichée "produit scalaire" on peut utiliser le produit scalaire !

ma piste avec les angles était pour une démonstration de collège.

Il faut donc que j'utilise les produits scalaires et donner les équations des droites AI et BD pour démontrer que AI et BD soit perpendiculaire pour a =1.43
Dans ce cas
Comme AI et BD soit perpendiculaire  alors les vecteurs AI et BD sont égaux orthogonaux donc le produit scalaire est égal à 0?

Alors les vecteurs AI et BD sont orthogonaux.
Désolé j ai rajouté égaux pour rien....

oui, mais c'est ou pas "et"

Il faut donc que j'utilise les produits scalaires
ou (c'est une autre méthode !!) donner les équations des droites AI et BD

pour a =1.43 non

tu cherches a donc tu dois aboutir, quelle que soit la méthode choisie, à une équation en l'inconnue a
la résoudre donnera la vraie valeur exacte de a
qui n'est pas exactement 1,43
1,43 est une valeur approchée (grossière en plus) de la valeur cherchée.

donc par exemple;
calculer le produit scalaire en fonction de a (avec a écrit a et certainement pas 1,43 !!)
écrire alors qu'il est égal à 0 donne cette équation en l'inconnue a cherchée.

On a alors AD*AB=0 car les vecteurs sont orthogonaux,
On remplace alors AD par 1 et AB par a et on a:
1*a=0
a=1...?

n'importe quoi !!!

pour toute valeur de a les vecteurs AD et AB sont orthogonaux puisque ABCD est un rectangle !!!

on a parlé de quels vecteurs ? (ou quelles droites)

Comment faisons nous alors...je suis vraiment perdu....

On a alors vecteur de AI(2/a;-1) et vecteur de BD(1/-a;-1)
On calcule alors le produit scalaire:
AI*BD=(2/a)*(1/-a)+(-1)*(-1)
              =(-2/a^2)+1
Mais comme le produit scalaire est nul on a alors:
0=(-2/a^2)+1
-1=(-2/a^2)
-a^2=-2
a^2=2
a=racine carrée de 2?

coordonnées des vecteurs fausses ...

et quel est ton repère ?

et il est évident que faire le rectangle

D x                       x C


A x                       x B

est toujours plus agréable pour choisir un repère évident ... et qui évitera de nombreuses fautes ... comme j'ai pu le voir en 1S ...

Le repère est D,AD,AB...

repère complètement loufoque
d'abords les vecteurs unitaires ne sont pas d'origine l'origine de ton repère ça va petev source d'erreurs quasiment partout.
ensuite il n'est pas orthonormé car la longueur de AD et de AB sont différentes
(l'une mesure 1, l'autre a)
dans un tel repère en fait A(-1; 0) quelle que soit la mesure de a !!!
(revoir les définitions de coordonnées dans un repère !!!)

de toute façon tu dois obligatoirement choisir un repère orthonormé pour pouvoir faire un produit scalaire
donc un des vecteurs unitaire est à créer de toute pièces. (ne peut pas être défini par des points existants de la figure)

Pourquoi A aurait comme coordonnées x=-1 et y=0?

pas d'accord : on peut très bien choisir le repère (D, AD, AB) ... mais d'accord que c'est olé-olé !!!

mais autant choisir (et surtout écrire) (D, DC, DA) ... pour conserver l'orientation naturelle du plan (surtout le haut-bas) car comme je l'ai dit j'ai vu de nombreuses erreurs à choisir des repères .... loufoque ... (le repère (O, TA, RI) est plus marrant !!!

par contre évidemment comme l'a dit mathafou pour utiliser le produit scalaire il faut un repère orthonormé !!!

On a cas créé un repère D,DA,DE
Tel que DE et DA =1

Bonjour,
Pourquoi faire intervenir un repère ?

et
Le produit scalaire de ces 2 vecteurs se réduit. Ecrire qu'il est nul permet de conclure.

Bonjour
AD(0;-1)
DI(1/2a;0)
Alors AI(1/2a;-1)
DA(0;1)
AB(a;0)
Alors DB(a;1)
Alors
AI*DB=1/2a^2 +(-1)
Mais comme AI*DB=0 alors
1/2a^2 +(-1)=0
1/2a^2=1
a^2=2
a=racine carrée de 2 ?

Quel repère orthonormé prends-tu pour ce dernier calcul ?

Je prends D,DA,DE avec DE=1

Donc DA est le vecteur unitaire de l'axe des abscisses de ce repère.
Or tu écris  AD(0; -1) . Comment le vecteur AD pourrait-il avoir une abscisse nulle ?

Car pour  calculer les coordonnées du vecteur AD et non le vecteur DA il faut calculer
x=xD-xA=0-0=0
y=yD-yA=0-1=-1 Donc
AD(0;-1)
Enfin je crois...

Mais si xD est bien égal à 0, xA est égal à 1, non ?

Non le repère est D,DA,DE
Le point A a alors  comme coordonnées x=0 et  y=1

parce que en plein dans les fautes déja signalée par

Donc a=racine carrée de 2?

oui, mais avec des calculs corrects ce sera mieux !!
tes calculs sont faux parce que tes coordonnées sont fausses, même si le résultat est correct :
échanger abscisses et ordonnées ne change pas la valeur d'un produit scalaire car xx'+yy' = yy'+xx'
donc ton calcul faux donne un résultat juste

nota : un rectangle de dimensions 1 et racine de 2 a la même forme qu'une feuille A4 car
29,7 ≈ 212
si tu fais ça avec une feuille A4 tu auras l'orthogonalité à la précision de la feuille et du pliage !

PS : la valeur de 1,43 conjecturée avec Geogebra était donc une approximation grossière "à l'oeil et à la main" vu que √2 ≈ 1,4142...

comme j'ai dit si on fait afficher l'angle et afficher les valeurs avec au moins 10 décimales et en zoomant à mort sur la figure pour améliorer de façon énorme la précision du déplacement, on peut obtenir 10 décimales de la valeur conjecturée.
l'angle change de forme (marqué "angle droit") lorsque sa mesure est suffisamment proche (à 10^-12 près) de 90°
à cette précision là on peut estimer qu'on a une valeur conjecturée qui tient la route.
1,43 est ridicule :


(erreur de plus de 1/2 ° !! pas terrible comme angle droit)

et si on ne veut pas jouer à déplacer la souris au micron près, on peut utiliser un curseur :



B est ici défini comme B=A+(a,0) dans la barre de saisie
on peut alors jouer au jeu de "trop grand - trop petit" sur des valeurs de a qu'on tape (a= valeur) dans la barre de saisie après une première approximation grossière à la souris sur le curseur

a=1.41 (attention, point décimal, pas virgule) α = 89.8388137169026° trop petit
a=1.42 α = 90.2205742117288° trop grand
a= 1.415 α = 90.0300313540030° trop grand
a= 1.414 α = 89.9918419022650° trop petit
etc
jusqu'à atteindre la précision voulue.

Bonjour,
Intéressant la feuille A4
Si on n'a pas une règle assez grande pour la diagonale, on peut la plier en deux et obtenir une feuille A5 de même format

je suggérais de ne même pas utiliser de règle mais des pliages de la feuille pour y tracer des droites = des plis

D'accord, et avec les pliages on voit très bien pourquoi ça marche !
Ceci dit :
Sans repère avec produit scalaire, c'est aussi simple.
Et il y a la piste avec les angles (et triangles de même forme).

oui, ce n'est pas les méthodes qui manquent pour faire ça

j'avais proposé un repère parce que ça me semblait le plus simple ... pour Keryansimaer évidemment ... (le "clacul" de coordonnées est bourrin mais donne confiance ...)

mais vu son graphique alors qu'un peu de méthode et d'organisation et surtout d'apprentissage (retenu : l'ordre alphabétique, sens de rotation positif, ...) conduisait immédiatement à une figure comme mathafou l'a faite à 12h46 ...

ensuite effectivement une bonne connaissance des "différentes" définition du produit scalaire (et ses deux cas particuliers : vecteurs colinéaires ou vecteurs orthogonaux) permettait de s'en passer ... pour peu qu'on maîtrise le calcul vectoriel et la relation de Chasles ...

malheureusement la notion d'expérience (passée) est inexistante et à chaque fois il faut repartir à la base ...