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Les vecteurs
Bonjour,
bon ba j'ai un TD à faire, je n'ai rien compris au chapitre qu'on a fait
jspr que vous allez pouvoir m'aider à mieux comprendre...
TD : Démontrer avec les vecteurs. Droite d'Euler
ABC est un triangle, O est le centre de son cercle circonscrit et G son centre de gravité. A', B', C' désignent les mileux respectifs de [BC], [CA] et [AB]. Ce TD comporte 4 parties.
I. Caractérisation vectorielle de l'orthocentre
On note H le point défini par [1]
Le but de cette partie est de démontrer que H est l'orthocentre du triangle ABC.
1.
a) Prouvez à partir de [1] que
b) Démontrez que (AH) est perpendiculaire à (BC)
2.
Démontrez que (BH) est perpendiculaire à (AC). Concluez.
Voilà pour la première partie. Si vous pouviez mettre qques explications, ce serait très aimable, parce que se sont surtout des explications dont j'ai besoin...j'ai jamais aimé les vecteurs.
J'en profite pour remercier ceux qui m'ont aidé pour les fonctions, d'après la correction du DS que le prof nous a donné, je l'ai plutot bien réussi donc je suis content ! Et en plus j'ai compris maintenant !!
[lien]
Avant toute demande, faut vérifié ^^
Regarde si ca peut pas t'interresser, c'est connu comme exo
Sticky
Salut
1)a) Le but est de transformer l'égalité (1) pour faire apparaître les vecteurs qui t'arrangent :
donc
Or, d'après le théorème du parrallélogramme, car A' est milieu de [BC]
donc .
Voilà. Je te laisse continuer. N'oublie pas que avec ce que je t'ai démontré, tu peux affirmer que et
sont colinéaires.
Manu
ah ba je viens de la faire celle mais autrement
je pense que cela revient à dire à peu près la meme chose :
or A' est le milieu de [BC] donc
donc
mais je vois pas pas où commencer pour les droites perpendiculaires...
Oui c'est juste aussi.
Tu as démontré donc tu peux affirmer que ces deux vecteurs sont colinéaires : existence d'un réel k tel que
.
Donc (AH)//(OA')
A' milieu de BC et O centre du cercle circonscrit donc [OA'] médiatrice de [BC] donc (OA') perpendiculaire à (BC).
Comme on a (AH)//(OA') alors (AH) perpendiculaire (OA').
Bon je te laisse chercher la suite. je peux pas rester. Je reviens dans 2 heures environ. 
Bon courage
Manu
ah si !
Donc et
sont colinéraires et donc parallèles.
Or, O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et A' le milieu de [BC] donc (A'0) est la médiatrice du triangle ABC, elle est donc perpendiculaire à [BC] et étant parallèle à (AH), on peut conclure que (AH) est perpendiculaire elle aussi à (BC)
Bon alors, j'ai réussi la deuxième partie, je commence maintenant la seconde
II. Droite d'Euler
1° Prouvez que [2]
Or G est le centre de gravité du triangle ABC. Donc,
Ainsi,
2°
a) Examinons la question de savoir si O, G et H peuvent être confondus. En utilisant [2], prouvez que si deux d'entre ces points le sont, alors le troisième est confondu avec eux. Déduisez-en que ABC est équilatéral.
Alors là je suis parti un peu bizarrement, je ne pense pas que cela soit la réponse.
Admettons que H=O
Alors, et donc, O, G et H sont confondus.
b) Réciproquement, si ABC est équilatéral, vérifiez que O, G et H sont confondus.
Je sais que le centre de gravité (G), l'orthocentre (H) et le centre du cercle circonscrit d'un triangle équilatéral sont confondus. Mais comment l'expliquer ?
c) Que dire des points distincts O, G et H lorsque ABC est non équilatéral
D'après la relation , on peut dire que [tex]\vec{OH}[\tex] et [tex]\vec{OG}[\tex] sont colinéaires et donc que O, G et H sont alignés.
Pouvez-vous apporter à ceci une petite correction svp ?
edit : ...on peut dire que OH et OG sont colinéraires et donc alignés
Bonjour ! Allez je m'y remets...est-ce que vous pouvez jeter un petit coup d'oeil alors à cette deuxième partie sur la droite d'Euler, parce que je ne suis vraiment pas sur de ce que j'ai fait...
Je vous présente aussi mes réponses pour la troisième partie...qu'est-ce que vous en pensez ?
III. Symétriques par rapport aux milieux des côtés
Le but de cette partie est de démontrer que les symétriques de H par rapport aux milieux des côtés de ABC sont sur le cercle circonscrit
1° Pour cela, notons A1, le point diamétralement opposé à A sur et I le milieu de [HA1].
a) Justifiez les égalités .
or
Par ailleurs, on a démontrer dans I.1°a) que
Par conséquent, on a bien
b) Déduisez-en que I=A' et que A1 est le symétrique de H par rapport à A'.
Ainsi,
A'=I
I étant le milieu de [HA1], on peut dire que A' est milieu de [HA1] et donc que A1 est le symétrique de H par rapport à A'.
2° Indiquez, en les justifiant, les symétriques de H par rapport à B' et C'. Concluez.
B1 est le point diamétralement opposé de B sur et J est le milieu de [HB1].
or
Par ailleurs, on a démontrer dans I.2°) que
Par conséquent, on a bien
Ainsi,
B'=J
J étant le milieu de [HB1], on peut dire que B' est milieu de [HB1] et donc que B1 est le symétrique de H par rapport à B'.
C1 est le point diamétralement opposé de C sur et L est le milieu de [HC1].
or
Par ailleurs, tout comme et
on a bien
Par conséquent, on a bien
Ainsi,
C'=L
L étant le milieu de [HC1], on peut dire que C' est milieu de [HC1] et donc que C1 est le symétrique de H par rapport à C'.
IV. Symétriques par rapport aux côtés
Le but de cette partie est de démontrer que les symétriques de H par rapport aux côtés de ABC sont sur le cercle circonscrit
1° Pour cela, notons K l'autre point dintersection de (AH) avec .
Démontrez que K est le symétrique de H par rapport à (BC)
2° Indiquez la démarche à suivre pour les symétriques de H par rapport aux deux autres côtés. Concluez.
La par contre je ne vois pas, est-ce que qqn pourrait m'aider à partir, j'aimerai le continuer seul pr vois si je m'en sors. Merci beaucoup pour tout !!
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