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Les vecteurs dans l'espace.
Les points I, J, K, L, M et N sont les centres des faces d'un cube ABCDEFGH.
1) Démontrer que vecIJ = vecLK et que les droites (LK) et (LI) sont orthogonales.
2) En déduire que IJKL est un carré.
3) Démontrer que le plan (IJK) est parallèle au plan (ABC)
4) Démontrer que l'octaèdre IJKLMN est régulier.
Alors j'ai utilisé comme vecteurs de base (A, vecAB, vecAD, vecAE)
Pour le vecteurs IJ :
vecteur AI(1/2; 0; 1/2)
vecteur AJ(1; 1/2; 1/2)
donc vecIJ= (1/2; 1/2; 0)
Pour le vecteur LK :
vecteur AL(0; 1/2; 1/2)
vecteur AK(1/2; 1; 1/2)
donc vecLK(1/2; 1/2; 0)
On peut donc en conclure que le vecteur IJ = au vecteur LK.
C'est bien ça ?
Jamais fait. j'ai regarder ce que c'est sur le net, et on l'a jamais étudié... il y aurait pas une autre manière ?
c'est bon j'ai fait 
ça nous donne 1/2 + 1/2 = ||KI||²
1/2 + 1/2 = 1
Donc d'après Pythagore, les droites (LK) et (LI) sont perpendiculaires.
on vient donc de répondre a la première question.
Pour la deuxième question, on démontre que les droites (IL) et (JK) sont perpendiculaires aussi et que deux triangles rectangle ayant le même hypoténuse est forcement un carré.
C'est ça ?
2) En déduire que IJKL est un carré.
IJ = LK donc IJKL est un parallélogramme
de plus les droites (LK) et (LI) sont orthogonales,
donc IJKL est un parallélogramme avec un angle droit donc IJKL est un rectangle,
de plus ||LK|| et ||LI||, donc IJKL est un carré.
...
?
Merci beaucoup
Quelques indications pour la question 3 ?
....... coquille. je corrige :
de plus ||LK|| = ||LI||, donc IJKL est un carré.
3) Démontrer que le plan (IJK) est parallèle au plan (ABC)
les points I, J et K ont une coordonnée z = 0
=> IJK // plan (A, AB, AD)
=> IJK // plan (ABD)
...... or C est un point dee la face ABCD
Ah merci merci !
Rien d'autre à rajouter a cela ? moi qui pensais qu'il fallait faire la démonstration avec des calculs !
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