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lieu géométrique et théorème de la médiane
Bonsoir tt le monde. Pouvez vous m'aider à résoudre cet exo?
C est un cercle de centre O et de rayon R. A est un point donné tel que OA=R/2. Un angle droit xAy pivote autour de A, les côtés de l'angle coupent C en M et N. Le but de l'exercice est de trouver le lieu L du point I le milieu de [MN].
1. Quelle semble être la nature de ce lieu?
2. On note J le milieu de [OA].
a)Démontrez que IO[/sup]2+IA[sup]2=2IJ[/sup]2+R[sup]2/8.
b)Démontrez que IO[/sup]2+R[sup]2-IN[/sup]2+R[sup]2-IA[sup][/sup]2.
c)Déduisez-en que I appartient au cercle C' de centre J et de rayon R racine carré de 7/4.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour,
2a
IO²+IA²=2IJ²+OA²/2 (théorème de la médiane pour AIO)
IO²+IA²=2IJ²+R²/8 (en remplaçant OA par R/2)
2b (énoncé pas clair mais...).
OM²+ON²=2OI²+MN²/2 (théorème de la médiane pour OMN).
OM²+ON²=2OI²+2IA² (en remplaçant MN par 2IA puisque , dans le triangle MAN rectangle en A, la médiane issue du sommet de l'angle droit est la moitié de l'hypoténuse).
2R²=2OI²+2IA² (en remplaçant OM et ON par R).
R²=0I²+IA²
2c
On déduit de a et b que
2IJ²+R²/8=R²
IJ²=7R²/4 etc...
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