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Lieux géométriques >> Barycentre
Bonjour je bloque sur cet exercice, si quelqu'un pouvait me donner un petit coup de main ce serait sympa, voici l'énoncé:
A et B sont deux points distincts donnés.
Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que le vecteur 3MA-MB soit orthogonal au vecteur AB.
merci d'avance pour votre aide
Sur AM posons E tel que AE = 3AM; traçons la perpendiculaire à AB passant par A. Traçons la parallèle à MB passant par E. Cette dernière droite coupe la perpendiculaire en D et la droite AB en C.
Les triangles AMB et AEC sont semblables : ils ont un angle commun en A et les angles AMB et AEC sont égaux comme correspondants dans le système sécante AE et parallèles MB et EC; leur rapport de similitude est 1/3. Donc AC = 3AB; CE = 3BM.
De plus si M est un point du lieu, BM = ED; CD = 4BM = 4ED et E se trouve au quart de DC à partir de D.
Réciproquement, soit C sur AB tel que AC = 3AB; D un point quelconque de la perpendiculaire à AB passant par A; E sur DC tel que DE = 1/4 DC et M sur AE tel que AM = 1/3 AE. Les triangles AMB et AEC sont semblables parce qu'ils ont l'angle commun en A compris entre des côtés de rapport 1/3. Donc BM = 1/3 CE = ED.
AE = 3AM; ED = BM = -MB : M fait partie du lieu.
Coordonnées dans le repère orthonormé de base AB, en fonction de l'ordonnée y de D
D = (0;y) C = (3;0); E = (3/4;3y/4) car E est au quart du segment DC
M = (1/4; y/4) car M est au tiers du segment AE.
Conclusion : m ayant toujours la même abscisse, son lieu est la perpendiculaire à AB passant par le quart du segment AB à partir de A.
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