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Niveau première
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Lignes de niveau 4

Posté par
matheux14 26-07-20 à 22:06

Bonsoir ,

Merci d'avance.

Soit O et B deux points distincts et (E) l'ensemble des points M du plan tels que : 2MO²-MB²=25

1) Vérifier que B ∈ (E).

2) Déterminer et construire (E).

Réponses

1) B ∈ (E) équivaut à

2MO²-MB²=25

Soit G=bar{(O,2);(B,-1)} ,

B ∈ (E) équivaut à

2(\vec{MG}+\vec{GO})²-(\vec{MG}+\vec{GB})²=25

2MG²+4\vec{MG}.\vec{GO}+2GO²-MG²-2\vec{MG}.\vec{GB}-GB²=25

2MG²+2\vec{MG}.(2\vec{GO}-\vec{GB})+2GO²-GB²=25

2MG²+2GO²-GB²=25

car 2\vec{GO}-\vec{GB}=\vec{0}

Je ne suis pas sûr de ce que je fais ...

Posté par
LeHiboure : Lignes de niveau 4 26-07-20 à 23:36

Bonjour,

Si B appartient à (E), alors l'égalité 2MO²-MB² = 25 est vérifiée en remplaçant M par B, donc 2BO²-BB² = 25, et comme BB = 0, il reste 2BO² = 25
Et comme tu ne dis rien de O et B, on ne peut pas continuer...

Posté par
matheux14re : Lignes de niveau 4 27-07-20 à 09:44

Ok , merci.

Vu que l'énoncé ne précise pas OB et demande de vérifier que B ∈ (E) alors OB=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}

Donc

1) B ∈ (E) si 2BO²-BB²=25

2BO²=25

2BO²=2(\dfrac{5\sqrt{2}}{2})²=2×\dfrac{25×2}{4}=2×\dfrac{50}{4}=\dfrac{100}{4}=25

Donc B ∈ (E).

2) M ∈ (E) équivaut à

2MO²-MB²=25

Soit G=bar{(O,2);(B,-1)} ,

B ∈ (E) équivaut à

2(\vec{MG}+\vec{GO})²-(\vec{MG}+\vec{GB})²=25

2MG²+4\vec{MG}.\vec{GO}+2GO²-MG²-2\vec{MG}.\vec{GB}-GB²=25

2MG²+2\vec{MG}.(2\vec{GO}-\vec{GB})+2GO²-GB²=25

2MG²+2GO²-GB²=25

car 2\vec{GO}-\vec{GB}=\vec{0}

Or \vec{OG}=-\vec{OB} et \vec{BG}=2\vec{BO}

Donc B ∈ (E) équivaut à 2MG²+2×(-\dfrac{5\sqrt{2}}{2})²-(2×\dfrac{5\sqrt{2}}{2})²=25

2MG²+\dfrac{100}{4}-100=25

2MG²-\dfrac{300}{4}=25

2MG²=100

MG²=50

MG=\sqrt{50}=5\sqrt{2}

Du coup (E) est un cercle de centre G et de rayon 5\sqrt{2}

Posté par
matheux14re : Lignes de niveau 4 27-07-20 à 12:52

matheux14 @ 27-07-2020 à 09:44

Ok , merci.

Vu que l'énoncé ne précise pas OB et demande de vérifier que B ∈ (E) alors OB=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}

Donc

1) B ∈ (E) si 2BO²-BB²=25

2BO²=25

2BO²=2(\dfrac{5\sqrt{2}}{2})²=2×\dfrac{25×2}{4}=2×\dfrac{50}{4}=\dfrac{100}{4}=25

Donc B ∈ (E).

2) M ∈ (E) équivaut à

2MO²-MB²=25

Soit G=bar{(O,2);(B,-1)} ,

B ∈ (E) équivaut à

2(\vec{MG}+\vec{GO})²-(\vec{MG}+\vec{GB})²=25

2MG²+4\vec{MG}.\vec{GO}+2GO²-MG²-2\vec{MG}.\vec{GB}-GB²=25

MG²+2\vec{MG}.(2\vec{GO}-\vec{GB})+2GO²-GB²=25

MG²+2GO²-GB²=25

car 2\vec{GO}-\vec{GB}=\vec{0}

Or \vec{OG}=-\vec{OB} et \vec{BG}=2\vec{BO}

Donc B ∈ (E) équivaut à MG²+2×(-\dfrac{5\sqrt{2}}{2})²-(2×\dfrac{5\sqrt{2}}{2})²=25

MG²+\dfrac{100}{4}-100=25

MG²-\dfrac{300}{4}=25

MG²=100

MG=10


Du coup (E) est un cercle de centre G et de rayon 10



Et pour la figure voilà : Lignes de niveau 4

Posté par
malou Webmasterre : Lignes de niveau 4 27-07-20 à 13:39

bonjour
en 2 mots car je dois partir
la dernière version n'est pas juste, tu as perdu le 2 devant MG²
on est sûr que B doit appartenir à E, donc le cercle doit passer par B
ce serait plutôt tes calculs de 9h44 qui seraient justes
à vérifier par quelqu'un d'autre...

Posté par
matheux14re : Lignes de niveau 4 27-07-20 à 14:33

Euh ... J'avais fait une erreur là ..

matheux14 @ 27-07-2020 à 09:44

Ok , merci.

Vu que l'énoncé ne précise pas OB et demande de vérifier que B ∈ (E) alors OB=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}

Donc

1) B ∈ (E) si 2BO²-BB²=25

2BO²=25

2BO²=2(\dfrac{5\sqrt{2}}{2})²=2×\dfrac{25×2}{4}=2×\dfrac{50}{4}=\dfrac{100}{4}=25

Donc B ∈ (E).

2) M ∈ (E) équivaut à

2MO²-MB²=25

Soit G=bar{(O,2);(B,-1)} ,

B ∈ (E) équivaut à

2(\vec{MG}+\vec{GO})²-(\vec{MG}+\vec{GB})²=25

{\red{2MG²}}+4\vec{MG}.\vec{GO}+2GO² {\red{-MG²}}-2\vec{MG}.\vec{GB}-GB²=25

MG²+2\vec{MG}.(2\vec{GO}-\vec{GB})+2GO²-GB²=25

MG²+2GO²-GB²=25

car 2\vec{GO}-\vec{GB}=\vec{0}

Or \vec{OG}=-\vec{OB} et \vec{BG}=2\vec{BO}

Donc B ∈ (E) équivaut à MG²+2×(-\dfrac{5\sqrt{2}}{2})²-(2×\dfrac{5\sqrt{2}}{2})²=25

MG²+\dfrac{100}{4}-100=25

MG²-\dfrac{300}{4}=25

MG²=100

MG=10


Du coup (E) est un cercle de centre G et de rayon 10


Ce qui n'est pas clair , cet exo est bizarre

Posté par
Priamre : Lignes de niveau 4 27-07-20 à 16:58

Bonjour,
Pourquoi écris-tu  OG = - OB  (vecteurs) ?

Posté par
matheux14re : Lignes de niveau 4 27-07-20 à 17:17

Parce que G=bar{(O,2) ;(B,-1)}

Donc \vec{OG}=\dfrac{-1}{-1+2}\vec{OB}

Du coup \vec{OG}=-\vec{OB}

Posté par
matheux14re : Lignes de niveau 4 27-07-20 à 17:18

Parce que G=bar{(O,2) ;(B,-1)}

Donc \vec{OG}=\dfrac{-1}{-1+2}\vec{OB}

Du coup \vec{OG}=-\vec{OB}

Posté par
malou Webmasterre : Lignes de niveau 4 27-07-20 à 19:00

re
jusque MG²+2GO²-GB²=25
c'est bon

soit MG²=25-2GO²+GB²= constante
donc MG= constante, donc E est un cercle de centre G

mais comme on sait que B appartient à E

E est donc le cercle de centre G et de rayon GB.

Posté par
matheux14re : Lignes de niveau 4 27-07-20 à 19:29

Ah d'accord , c'était donc un piège ...

Merci

Posté par
malou Webmasterre : Lignes de niveau 4 27-07-20 à 19:54

non, ce n'est pas un piège, je ne dirais pas ça
si on fait le calcul juste, on doit trouver la même chose bien sûr
mais ce n'est pas utile de le faire, on va dire

Posté par
matheux14re : Lignes de niveau 4 27-07-20 à 20:34

Oui , effectivement ..

Le rayon est égal à 5√2 ...

Bonne soirée

Posté par
malou Webmasterre : Lignes de niveau 4 27-07-20 à 21:11

bonne soirée à toi aussi


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