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Niveau première
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lignes de niveau

Posté par
Neyhane
21-10-18 à 10:36

Bonjour tout le monde j'espère que vous allez bien.
Je pose l'exercice qui m'a bloqué sur la fin.
Soit A et B deux points distincts. Construire l'ensemble (E) des points M tels que :
1/ MA² - MB² = AB²
2/ MA² - MB² = 2AB²

Bon dans les deux cas je pense que la formule à suivre est la même sauf à la fin.
Voici l'étape à laquelle j'ai procédé :
Soit I milieu de [AB]
          . MA² - MB² = AB²
            2IM.AB =   AB²     (d'après le théorème de la médiane. bien évidemment le premier
                                                    groupe est en vecteur)
            désignons par H le projeté orthogonal de M sur la droite (AB)
On a :  2IH.AB= AB²          ( avec IH.AB en valeur algébrique)
                 IH= AB²/2AB           ( à préciser que AB est en valeur algébrique)
             Donc le point H est indépendant du point M
             M appartient à (H) perpendiculaire à (AB)
voilà voilà je voulais savoir si c'est comme ça

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : lignes de niveau 21-10-18 à 11:05

Bonjour,
Je ne sais pas si c'est une méthode préconisée par ton prof que tu utilises.
Personnellement, je commencerais par chercher une solution sur la droite (AB).
Pour 1/, elle est évidente.

Avec ta méthode, essaye de trouver où est ton H "indépendant du point M" .

Cette phrase n'a pas de sens :

Citation :
M appartient à (H) perpendiculaire à (AB)
et, une fois écrite correctement, il faudra la démontrer.

Posté par
carpediem
re : lignes de niveau 21-10-18 à 11:23

salut

MA^2 - MB^2 = AB^2 \iff (\vec{MA} - \vec {MB})\cdot (\vec {MA} + \vec {MB}) = AB^2 \iff \vec{BA} \cdot 2 \vec {MI} = AB^2 \iff \vec {MI} \cdot \vec {AB} = -AB^2/2

il suffit alors de projeter sur la droite (AB) ... et passer aux mesures algébriques éventuellement

Posté par
carpediem
re : lignes de niveau 21-10-18 à 11:24

on peut éventuellement continuer le calcul vectoriel en introduisant le point H projeté orthogonal de M sur la droite (AB) ...

Posté par
Neyhane
re : lignes de niveau 21-10-18 à 11:26

H est un pont fixe indépendant de M.
M appartient à la droite passant par H et perpendiculaire à la droite (AB).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : lignes de niveau 21-10-18 à 11:32

Citation :
H est un pont fixe indépendant de M
défini par IH= AB²/2AB .
Regarde sur une figure où il est.

Posté par
Neyhane
re : lignes de niveau 21-10-18 à 11:39

je ne sais pas comment je vais tracer car l'autre est  en carré et l'autre en valeur algébrique

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : lignes de niveau 21-10-18 à 11:39

Bonjour carpediem,
Je ne sais pas quelle est la "mode" actuelle pour traiter ce type de question.
Mais, pour 1/, utiliser une solution évidente permet un cheminement très rapide.

De manière générale, je crois me souvenir que commencer par chercher la ou les solutions sur la droite (AB) est une méthode qui permet de simplifier les choses.

Posté par
Neyhane
re : lignes de niveau 21-10-18 à 11:42

On nous a pas montré comment chercher la ou les solutions sur la droite

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : lignes de niveau 21-10-18 à 11:42

AB^{2} = (\vec{AB})^{2} = (\bar{AB})^{2}

Posté par
Neyhane
re : lignes de niveau 21-10-18 à 11:44

carpediem    je crois que c'est ce que j'ai fait

Posté par
Neyhane
re : lignes de niveau 21-10-18 à 12:04

\bar{IH}=\frac{\bar{AB²}}{2\bar{AB}}
Et si j'utilise cette methode ?
\bar{IH}=\frac{\bar{AB}}{2}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : lignes de niveau 21-10-18 à 12:11

Tu ne remarques rien en plaçant sur la droite (AB) le point H défini par \bar{IH}=\frac{\bar{AB}}{2} ?

Posté par
Neyhane
re : lignes de niveau 21-10-18 à 12:19

Si si bien sur que oui. je remarque que I est confondu avec H. C'est ça ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : lignes de niveau 21-10-18 à 12:28

Non, sinon on aurait  \bar{IH}= 0 .

Posté par
carpediem
re : lignes de niveau 21-10-18 à 12:29

on n'étudie plus vraiment les lignes de niveau ... ce qui ne veut pas dire qu'on ne puisse pas proposer des exo simples comme application du produit scalaire

chercher une solution particulière sur la droite (AB) c'est comme l'initialisation pour la récurrence : ça vaut peanuts ... même si c'est nécessaire !!!

tout le travail vectoriel n'est basé que sur une seule chose : la relation de Chasles ...

MA^2 - MB^2 = AB^2 \iff (\vec{MA} - \vec {MB})\cdot (\vec {MA} + \vec {MB}) = AB^2 \iff \vec{BA} \cdot 2 \vec {MI} = AB^2 \iff \vec {MI} \cdot \vec {AB} = -AB^2/2   (1)

notons H le projeté orthogonal de M sur la droite (AB)

alors (1)   \iff (\vec {MH} + \vec{HI}) \cdot \vec {AB} = -AB^2/2 \iff \vec {HI} \cdot \vec {AB} = -AB^2/2

la réponse en découle alors trivialement ...

Posté par
carpediem
re : lignes de niveau 21-10-18 à 12:37

damned !! pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ...

carpediem @ 21-10-2018 à 12:29

on n'étudie plus vraiment les lignes de niveau ... ce qui ne veut pas dire qu'on ne puisse pas proposer des exo simples comme application du produit scalaire

chercher une solution particulière sur la droite (AB) c'est comme l'initialisation pour la récurrence : ça vaut peanuts ... même si c'est nécessaire !!!

tout le travail vectoriel n'est basé que sur une seule chose : la relation de Chasles ...

MA^2 - MB^2 = AB^2 \iff (\vec{MA} - \vec {MB})\cdot (\vec {MA} + \vec {MB}) = AB^2 \iff \vec{BA} \cdot 2 \vec {MI} = AB^2 \iff \vec {IM} \cdot \vec {AB} = AB^2/2   (1)

notons H le projeté orthogonal de M sur la droite (AB)

alors   (1)   \iff (\vec {IH} + \vec{HM}) \cdot \vec {AB} = AB^2/2 \iff \vec {IH} \cdot \vec {AB} = AB^2/2  \red \iff \bar {IH} = \bar {AB}/2 \iff H = B

la réponse en découle alors trivialement ...

notons que B est une solution évidente ...

Posté par
Neyhane
re : lignes de niveau 21-10-18 à 12:41

d'accord dans ce cas la réponse est si je transpose :

\bar{IH}=\frac{\bar{AB²}}{2\bar{AB}}        n'est c'pas la réponse?

Posté par
carpediem
re : lignes de niveau 21-10-18 à 12:49

ben il faut simplifier ...

Posté par
Neyhane
re : lignes de niveau 21-10-18 à 12:50

donc on obtient  \bar{BH}=\frac{\bar{AB}}{2}

Posté par
Neyhane
re : lignes de niveau 21-10-18 à 12:51

Oups c'est \bar{IH}=\frac{\bar{AB}}{2}

Posté par
Neyhane
re : lignes de niveau 21-10-18 à 13:20

du coup c'est comme ça ou pas ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : lignes de niveau 21-10-18 à 13:22

@carpediem,

Citation :
notons que B est une solution évidente ...
C'est ce que j'essaye de montrer depuis le début (11h05) :
Citation :
Personnellement, je commencerais par chercher une solution sur la droite (AB).
Pour 1/, elle est évidente.


Je te laisse continuer. Bon courage

Posté par
carpediem
re : lignes de niveau 21-10-18 à 13:32

tu peux toujours intervenir sans pb ...

de toute façon je vais aller manger ... puis bricoler dehors ...

Posté par
Neyhane
re : lignes de niveau 21-10-18 à 13:41

Okay d'accord merci pour votre aide

Posté par
carpediem
re : lignes de niveau 21-10-18 à 14:01

de rien

Posté par
Siloi
re : lignes de niveau 23-12-18 à 01:44

C'est
Vecteur BH=AB/2



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