Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première Produit scalaireTopics traitant de Produit scalaire [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau première
Partager :

Lignes de Niveaux

Posté par
alphabromeo 06-01-24 à 01:31

Bonjour à tous,
Je vous écrit ce message pour obtenir une confirmation ou correction d'un exercice que j'ai effectué.

SUJET : On note P l'ensemble des points du plan.
On considère ABC un triangle de centre de gravité G
on rappelle GA--> + GB--> + GC--> = 0-->
(désolé je ne sais comment noter les vecteurs je suis nouveau)
On cherche le minimum de f : P->[0;+∞[
                                                                  M-> MA**2 +MB**2+MC**2

1) Montrer que pour tout point du plan M on a :
MA**2 + MB**2 + MC**2 = 3MG**2 + GA**2+GB**2+GC**2
(cette question est facile )

2) A l'aide du théorème de la médiane montrer
GB**2 + GC**2 = 1/2GA**2 + 1/2BC**2

3) En établissant des relations analogues, en déduire :
MA**2 + MB**2 + MC**2 = 3MG**2  + 1/3(AB**2+BC**2+CA**2)
(jusque là j'ai réussi mais j'aimerais tout de meme avoir une correction de ces question si possible pour verifier)

4)Préciser le point M réalisant le minimu de f(M) :
(j'ai trouvé G et M confondu réalise le minimum)

5) Discuter selon la valeur de k la nature de l'ensemble des points M du plan tels que f(M)=k
( Je trouve que l'ensemble est soit vide soit est un point soit un cercle mais j'aimerais que quelqu'un m'éclair je ne comprend pas l'intérêt de la question 3 il me manque donc un élément pour vraiment comprendre)
Merci beaucoup d'avoir lu jusque là mon probleme désolé une fois de plus je ne sais ni me servir des puissances ni des vecteurs.

Posté par
carpediemre : Lignes de Niveaux 06-01-24 à 11:20

salut

alphabromeo @ 06-01-2024 à 01:31

(jusque là j'ai réussi mais j'aimerais tout de meme avoir une correction de ces question si possible pour verifier)
non c'est à toi de nous montrer tes calculs et nous te dirons si c'est bon ...

une aire cependant : il suffit d'introduire les milieux I, J et K des côtés et on travaille avec la relation de Chasles comme en 1/
sinon on applique bêtement le théorème

4/ oui mais il faut justifier

5/ alors comment as-tu fait sans la question 3/ ?

la question 3/ te permet d'écrire que f(M) = k \iff 3MG^2 + \dfrac 1 3 (AB^2 + BC^2 + CA^2) = k \iff MG^2 = ...

il faut donc discuter du signe du membre de droite et on obtient bien les différents cas que tu décris suivant les valeurs de k

Posté par
alphabromeore : Lignes de Niveaux 06-01-24 à 18:22

Pour la question 3 j'ai pris un autre chemin compliqué
Soit I,J et K les milieux respectifs de [AB], BC et CA
Or G se situe au 2/3 des médianes issues de B,C et A
d'ou GA = 2/3JA = 2/3(JB + BA) = 2/3(1/2CB + BA) = 1/3(CA + BA)
          GB = 2/3KB = 2/3(KC+CB) = 2/3(1/2AC + CB) = 1/3(AB+CB)
          GC = 2/3IC  = 2/3(IA + AC) = 2/3(1/2BA + AC) =  1/3(BC+AC)
GA**2+GB**2+GC**2 = 1/9((CA+BA)**2+(AB+CB)**2+(BC+AC)**2)
(après développement et simplification on a )
=2/9(AB**2+BC**2+CA**2)+ 1/9(CA.BA+AB.CB+CA.BA+BC.AC+AB.CB+BC.AC)
=2/9(AB**2+BC**2+CA**2)+
1/9(AB.(AC+CB)+BC.(BA+AC)+CA.(CB+BA)
Donc GA**2+GB**2+GC**2 = 2/9(AB**2+BC**2+CA**2) + 1/9(AB**2+BC**2+CA**2)
On en conclut GA**2+GB**2+GC**2 = 1/3(AB**2+BC**2+CA**2)
J'obtiens le bon résultat mais le chemin n'est surement pas le bon
Beaucoup trop long et laborieux.


POUR la Question 5, On peut également dire
f(M) = k ssi 3MG**2 + GA**2 + GB**2 + GC**2 = k
cela fonctionne aussi.

Pour justifier la Question 4 je ne suis pas sur mais il faut dire que
1/3(AB**2+BC**2+CA**2) est une constante donc
f(M) diminue lorsque 3MG**2 diminue
Or MG**2>= 0
3MG**2 = 0 ssi M et G sont confondus.
Oon en conclut que f(M) est minimale lorsque M et G sont confondus.

MERCI encore d'avoir lu jusque là

Posté par
carpediemre : Lignes de Niveaux 06-01-24 à 18:44

pour la question 3/ ou la 2/ car c'est bien long ...

2/ avec les points A et B et I leur milieu :

GA^2 + GB^2 = ( \vec {GI} + \ve  {IA} )^2 + (\ve  {GI} + \vec {IB} )^2 = ... = 2GI^2 + \dfrac 1 2 AB^2

et maintenant tu utilises le fait que G est le centre de gravité pour "remplacer" (en justifiant) 2GI^2 par \dfrac 1 2 GA^2

3/ se déduit alors de 1/ et 2/ avec les résultats analogues avec B et C et C et A

4/ oui pour le début mais tout simplement tu as une somme de nombres positifs donc le minimum s'obtient quand le terme variable est nul soit 3MG^2 = 0 \Longrightarrow M = G

je te laisse finir et rédiger proprement la question 5/ ...

Posté par
alphabromeore : Lignes de Niveaux 06-01-24 à 19:43

Question 5 : f(M) = k \Leftrightarrow 3MG^2 +\frac{1}{3}(AB^{2}+BC^2+CA^2)= k
\Leftrightarrow MG^{2} = \frac{1}{3}(k-\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{3})
\Leftrightarrow MG^2 = \frac{k}{3}-\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{9}
\Leftrightarrow MG^2 = \frac{3k-(AB^2+BC^2+CA^2)}{9}
\Leftrightarrow MG = \frac{\sqrt{3k-AB^2+BC^2+CA^2}}{3}
Or MG est un réel d'ou,
MG existe ssi 3k\geq AB^2+BC^2+CA^2 \Leftrightarrow k\geq \frac{AB^2+BC^2+CA^2}{3}

Bilan :
Si k\leq \frac{AB^2+BC^2+CA^2}{3} alors M n'existe pas dans P
Si k = \frac{AB^2+BC^2+CA^2}{3} alors MG = 0 d'ou M et G confondus.
Si k\geq \frac{AB^2+BC^2+CA^2}{3} alors
MG = \frac{\sqrt{3k-AB^2+BC^2+CA^2}}{3}

On en conclut :
Si k = \frac{AB^2+BC^2+CA^2}{3} alors M est le centre de gravité du triangle ABC.
Si k\geq \frac{AB^2+BC^2+CA^2}{3} M est le Cercle de rayon \frac{\sqrt{3k-AB^2+BC^2+CA^2}}{3}.
Si Si k\leq \frac{AB^2+BC^2+CA^2}{3} alors M est l'ensemble vide.

Posté par
alphabromeore : Lignes de Niveaux 06-01-24 à 19:58

Cependant cela marche avec la forme précédente :
f(M) = 3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2

Et de fait pour la question 3 j'aimerais bien que vous m'expliquiez la
déduction qui  à partir de :
GA^2+GB^2 = \frac{1}{2}GC^2+\frac{AB^2}{2}
GB^2+GC^2 = \frac{1}{2}GA^2+\frac{BC^2}{2}
GC^2+GA^2 = \frac{1}{2}GB^2+\frac{CA^2}{2}
MA^2+MB^2+MC^2 = 3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2
permet d'obtenir
MA^2+MB^2+MC^2 =  3MG^2+\frac{1}{3}(AB^2+BC^2+CA^2)

Posté par
carpediemre : Lignes de Niveaux 06-01-24 à 20:39

à 19h43 : attention à ne pas confondre M et l'ensemble des points M

et à ne prendre la racine qu'après avoir écrit ce qu'il faut (second membre positif)

à 19h 58 :

additionne les trois égalités :
GA^2+GB^2 = \frac{1}{2}GC^2+\frac{AB^2}{2}
GB^2+GC^2 = \frac{1}{2}GA^2+\frac{BC^2}{2}
GC^2+GA^2 = \frac{1}{2}GB^2+\frac{CA^2}{2}

puis simplifie et remplace dans f(M) = MA^2+MB^2+MC^2 = 3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !