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Limite

Posté par
alexhdmt
20-04-23 à 14:05

Bonjour,
"Pour tout nombre entier naturel non nul n,
Sn= \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}...+\frac{1}{2^{n}}
a) Prouver que la suite (Sn) est croissante.
b) Démontrer que pour tout nombre entier naturel n1, Sn= 1-(1/2)n, puis que 0< Sn < 1."
edit :  faire Aperçu , ne pas détruire des balises par inadvertance

Ma question porte sur 0 < Sn < 1, puis-je le justifier ainsi:
S1=1-0.5=0.5
lim (1/2)x=0
x --> + infini
ainsi 0 < Sn < 1

Posté par
mathafou Moderateur
re : Limite 20-04-23 à 14:25

Bonjour,
nul besoin d'invoquer des limites ni des valeurs initiales

pour tout n 1
0 < (1/2)n 1/2 < 1 (strictement )
donc
?? < - (1/2)n < ??
et
?? < 1 - (1/2)n < ??

Posté par
mathafou Moderateur
re : Limite 20-04-23 à 14:28

PS
il faut bien faire les deux parties de la question b) dans l'ordre :
démontrer d'abord que Sn = 1 - (1/2)n
puis [en déduire] que ...

Posté par
alexhdmt
re : Limite 20-04-23 à 14:35

Oui j'ai bien démontrer que Sn= 1-(1/2)n
donc si j'ai bien compris:
Pour tout n1
0<(1/2)n(1/2)<1
donc 0< -(1/2)n -(1/2)<-1
et 1< 1-(1/2)n<0
C'est cela?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Limite 20-04-23 à 14:57

quand on multipie les deux côtés d'une inégalité par un nombre négatif, on doit changer le sens de l'inégalité.

de toute façon 1 n'est pas < 0 !!

Posté par
alexhdmt
re : Limite 20-04-23 à 19:45

ah oui mince, c'est donc:
0>-(1/2)n>-1
et 1>1-(1/2)n>0 ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Limite 21-04-23 à 01:00

oui mais on peut lire les inégalités dans l'autre sens :
A > B peut se lire B < A, c'est pareil.

bref au lieu d'écrire A < B -A > -B
on peut tout aussi bien rédiger la même chose comme
A < B -B < -A

Posté par
tetras
re : Limite 07-05-23 à 08:26

bonjour
j'ai essayé de démontrer que Sn=1-{\frac{1}{2}}^{n}

le denominateur est la somme des n 1er termes d'1 suite géométrique
sn =1/  2\frac{1-2^{n}}{1-2}

\frac{1}{2(2^{n}-1)}}

c'est faux?

Posté par
tetras
re : Limite 07-05-23 à 09:00

je trouve Sn=

\frac{1}{2^{n+1}-2}=\frac{1}{2^{n}}

ce qui n'est pas exactement le résultat demandé
pouvez vous m'indiquer mon erreur?
MERCI

Posté par
carpediem
re : Limite 07-05-23 à 10:12

salut

ben oui car à 8h26 la première expression est fausse et je ne comprends pas comment tu simplifies ...

Posté par
tetras
re : Limite 07-05-23 à 14:08

j'avais fait

\Large \frac{1}{2\frac{1-2^{n}}{1-2}}=\frac{1}{2(2^{n}-1)}

Posté par
tetras
re : Limite 07-05-23 à 14:39

mathafou a écrit

n1

(\frac{1}{2})^{n} 1/2
on a le droit d'écrire ça sans justifier?
Merci

Posté par
carpediem
re : Limite 07-05-23 à 15:11

S = \dfrac 1 2 + \dfrac 1 4 + \dfrac 1 8 + ... + \dfrac 1 {2^n} = 1 + \dfrac 1 2 + \dfrac 1 4 + \dfrac 1 8 + ... + \dfrac 1 {2^n} - 1 = \dfrac {1 - \dfrac 1 {2^{n + 1}}} {1 - \dfrac 1 2} - 1 = ...



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