1/ soit (Un) la suite definii par :
Un=1/n(2+sin n) , pour tout entier n 1.
Demontrer que pour tout entier n 1 :
0 Un 3/n
En deduire que la suite (Un) est convergente et preciser sa limite.
2/Soit (Un) la suite defini sur par :
Un=n²/(n+1)
Demontrer que pour tout entier n 1 , Un
(1/2)n . En deduire la limite de la suite.
Merci D'avance
1)
Un = (1/n).(2+sin(Vn))
-1 <= sin(Vn) <= 1
-1 + 2<= 2 + sin(Vn) <= 1 + 2
1 <= 2 + sin(Vn) <= 3
et comme n est positif ->
1/n <= (2 + sin(Vn))/n <= 3/n
1/n <= Un <= 3/n
et avec n positif ->
0 <= Un <= 3/n
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2)
f(x) = x²/(x+1)
g(x) = f(x) - (1/2)x = x²/(x+1) - (1/2)x = (2x² - x - 1)/(2x)
g '(x) = (1/2).(x(4x-1)-2x²+x+1)/x²
g '(x) = (1/2).(4x²-x-2x²+x+1)/x²
g '(x) = (1/2).(2x²+1)/x²
g'(x) > 0 pour x >= 1 -> g(x) est croissante.
g(1) = 0
Des 2 lignes précédentes, on conlut que g(x) >= 0 pour x >= 1
-> f(x) - (1/2)x >= 0 pour x >= 1
f(x) >= (1/2)x pour x >= 1
Pour x = n:
f(n) >= (1/2)n pour n >= 1
n²/(n+1) >= (1/2)n pour n >= 1
Un >= (1/2)n pour n >= 1
lim(n-> oo) Un >= lim(n->oo) (1/2)n
lim(n-> oo) Un >= oo
lim(n-> oo) Un = oo
(Ce résultat était évident sans faire tous ces calculs).
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Sauf distraction.
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