1)
Un = (1/n).(2+sin(Vn))

-1 <= sin(Vn) <= 1
-1 + 2<= 2 + sin(Vn) <= 1 + 2
1 <= 2 + sin(Vn) <= 3
et comme n est positif ->
1/n <= (2 + sin(Vn))/n <= 3/n
1/n <= Un <= 3/n
et avec n positif ->
0 <= Un <= 3/n
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2)

f(x) = x²/(x+1)

g(x) = f(x) - (1/2)x =  x²/(x+1) - (1/2)x = (2x² - x - 1)/(2x)

g '(x) = (1/2).(x(4x-1)-2x²+x+1)/x²    
g '(x) = (1/2).(4x²-x-2x²+x+1)/x²
g '(x) = (1/2).(2x²+1)/x²

g'(x) > 0 pour x >= 1 -> g(x) est croissante.
g(1) = 0

Des 2 lignes précédentes, on conlut que g(x) >= 0 pour x >= 1
->  f(x) - (1/2)x >= 0 pour x >= 1
f(x) >= (1/2)x pour x >= 1

Pour x = n:
f(n) >= (1/2)n pour n >= 1
n²/(n+1) >= (1/2)n pour n >= 1
Un  >= (1/2)n pour n >= 1

lim(n-> oo) Un >= lim(n->oo) (1/2)n
lim(n-> oo) Un >= oo
lim(n-> oo) Un = oo

(Ce résultat était évident sans faire tous ces calculs).
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Sauf distraction.