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limite et continuité 3
Soit f la fonction définie par f(x) =x à la puissance 2 /x+1.
1) Démontrer que V x appartenant à l'intervalle 1 ouvert à + l'infini,
f(x) > x/2
2 ) a) Comment peut-on choisir x pour que |f(x)| > 10 à la puissance
6?
b) Peut-on rendre f(x) aussi grand que l'on veut?
c) En déduire la limite de f en + l'infini.
V(x) > 1 -> x > 1
g (x) = f(x) - (x/2)
g'(x) = f '(x) - (1/2)
f '(x) = (2x(x+1) -x²)/(x+1)²
f '(x) = (x² + 2x)/(x+1)²
g'(x) = (x² + 2x)/(x+1)² - (1/2)
g '(x) = (2x²+4x - (x+1)²)/(2(x+1)²)
g '(x) = (x²+2x - 1)/(2(x+1)²)
g '(x) = (x- 1)²/(2(x+1)²)
g'(x) > 1 pour x > 1 -> g(x) croissante.
g(1) = f(1) - (1/2) = (1/2)-(1/2) = 0
et donc g(x) > 0 pour x > 1
f(x) - (x/2) > 0 pour x > 1
f(x) > (x/2) pour x > 1
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2) a)
f '(x) = (x² + 2x)/(x+1)²
f '(x) > 0 pour x > 1 -> f(x) est croissante.
|f(x)| = 10^6 si x²/(x+1) = 10^6
x² = 10^6 x + 10^6
x² - 10^6 x - 10^6 = 0
x = 1000001
Et comme f(x) est croissante , si x > 1000001, f(x) > 10^6.
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Essaie de continuer en te basant sur les autres exercices similaires que
tu as demandés.
Tu dois finalement trouver: lim(x->oo) f(x) = oo
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