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limites

Posté par nisha (invité) 29-03-05 à 20:42

bonsoir tt le monde. je bloque sur un petit truc dans un exo.
on a f(x)=\frac{sin x}{x}
la limite de f(x) quand x tend vers 0+ est égale à 1. de plus, la fonction est paire sur l'intervalle ]0;\frac{Pi}{2}[\{0}

ma question: comment en déduire la limite de f(x) quand x tend vers 0-.

merci

Posté par
Nightmare
re : limites 29-03-05 à 20:46

Bonjour

Il suffit d'utiliser le taux de variation de la fonction sinus :
\frac{sin(x)}{x}=\frac{sin(x)-sin(0)}{x-0}
donc
\lim_{x\to 0} \frac{sin(x)}{x}=sin'(0)=cos(0)=1


Jord

Posté par nisha (invité)re : limites 29-03-05 à 20:53

en fait le but de l'exercice était justement de démontrer que la limite de f(x) quend x tend vers 0 est égale à 1.
et donc j'ai pensé que la fonction étant paire, on pouvait également dire que la limite de f(x) en 0 est aussi égale à 1.
mais le problème c'est que la dernière question est de comparer ces deux limites et de conclure. je me demandais alors s'il n'y avait pas un autre moyen.

Posté par nisha (invité)re : limites 29-03-05 à 20:53

petite rectification dans la deuxième phrase. je parle de la limite en 0-

Posté par
Nightmare
re : limites 29-03-05 à 20:57

Je n'ai pas trés bien compris ... quel est le rapport avec la parité ? si tu postais ton énoncé en entier ça serait peut être mieux


Jord

Posté par nisha (invité)re : limites 29-03-05 à 21:13

soit x un réel de l'intervalle ]0;\frac{Pi}{2}[ et M un point du cercle trigonométrique tel que l'angle (\vec{OI}, \vec{OM}) soit de mesure x.
1- exprimer en fonction de x les distances OC, OS et IT.
         je trouve OC=cos x  IT= tan x et OS= sin x
2- exprimer en fonction de x les aires des triangles OIM et OIT.
         je trouve A(OIM)= \frac{sin x}{2}  et A(OIT)= \frac{tan x}{2}
3- exprimer en fonction de x l'aire du secteur angulaire IOM.
         je trouve A(OIM)=\frac{x}{2}
4- déduire des questions précédentes que sinx < x < tan x
                 et que pour tout x réel de ]0;\frac{Pi}{2}[ , 1<\frac{1}{sin x}<\frac{1}{cos x}

5- théorème des gendarmes: trouver la limite de \frac{x}{sin x} quand x tend vers 0+ et en déduire celle de \frac{sin x}{x} quand x tend vers 0+.
6- étudier la parité de cette fonction sur ]0;\frac{Pi}{2}[ /{0} et en déduire la limite de f(x) quand x tend vers 0-.
7- conclure.

Posté par nisha (invité)re : limites 29-03-05 à 22:27

voilà mon sujet! je voudrais juste une aide pour la sixième question. merci

Posté par
Nightmare
re : limites 29-03-05 à 22:35

je pense que c'est plutot :

1< \frac{x}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)}

On a :
\lim_{x\to 0^+} 1=\lim_{0^+} cos=1

Donc d'aprés le théoréme des gendarmes :
\lim_{x\to 0^+} \frac{x}{sin(x)}=1
donc par inverse de limite :
\lim_{x\to 0^+} \frac{sin(x)}{x}=\frac{1}{1}=1

Nous avons :
f(-x)=\frac{-x}{sin(-x)}=\frac{x}{sin(x)}=f(x)

La fonction est paire . on en déduit que de même , \lim_{0^{-}} f=1


jord

Posté par nisha (invité)re : limites 29-03-05 à 22:43

ok! merci beaucoup pour ton aide.

Posté par drioui (invité)re : limites 29-03-05 à 22:44

jecroix que C est la proj orthog de M sur (OI), S celle de M sur l'axe des y et T l'inters de (OM) et la tan au cercle
1)juste
2)A(OIM)=(OC.CM)/2=(sinx.cosx)/2
A(OIT)=juste



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