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Limites

Posté par
bigsurprise 13-01-17 à 22:50

Bonsoir à tous,

Tout d'abord bonne et heureuse année 2017 à tous, avec plein de bonheur
et de succès !

S'il vous plaît, merci de votre aide pour résoudre cet exercice:

Soit la fonction f(x)=x-Vx (V: rac carrée).
1) Démontrer que quel quel soit x appartenant à ]4; + infini[ , f(x)>Vx
2) a/ Trouver un réel A pour lequel x>A f(x)>10^4
      b/B étant un réel >0, trouver un réel A tel que x>A f(x)>B.
      c/En déduire que lim quand x tend + infini de f(x)=+infini.

Pour le 1/ , OK.
Pour le 2) a/, après résolution d'une équation du 2nd degré, et un tableau de signes, je trouve que A>10100,5.

Merci de vos corrections, compléments et explications détaillées (comme d'habitude).

Bien cordialement

Posté par
Zormuchere : Limites 13-01-17 à 23:59

Salut !

f(x) = x-\sqrt{x}    au fait tu peux écrire sqrt(x) pour dire racine de x, c'est plus clair et tout le monde comprend !


Pour la 2) a) : tu peux dériver la fonction f pour démontrer qu'elle est strictement croissante sur   I~=~[0{,}25~;~+\infty[

Ce qui signifie que  \forall x,y\in I^2,\quad x>y \Longrightarrow f(x)>f(y)

Posté par
StormTK9re : Limites 14-01-17 à 00:25

2)a)J'obtiens le même résultat A > 10100,5 , c'est correct.

Posté par
bigsurprisere : Limites 14-01-17 à 09:18

Bonjour à tous,

Merci beaucoup à Zormuche et storm TK9!

Merci de votre aide pour le 2) b)  et le 2) c).

Bien cordialement.

Posté par
Jedoniezhre : Limites 14-01-17 à 09:38

Bonjour,

Pour la 2-c :

\Limits\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x} \right)=\Limits\lim_{x\to +\infty}x\left(1-\frac{\sqrt{x}}{x} \right)=\Limits\lim_{x\to +\infty}x\left(1-\underbrace{\frac{1}{\sqrt{x}}}_{\to 0} \right)=+\infty

Posté par
bigsurprisere : Limites 14-01-17 à 12:21

Merci beaucoup Jedoniezh,

Dans l'énoncé, il est précisé que le c) doit être déduit du b). C'est pourquoi, il faudrait d'abord résoudre le b) avant.

Merci d'avance.

Posté par
Jedoniezhre : Limites 15-01-17 à 16:55

b/B étant un réel >0, trouver un réel A tel que x>A f(x)>B.

Cela te revient à poser :

A-\sqrt{A}=B

et de rechercher la valeur de A en fonction de B.

Posté par
Jedoniezhre : Limites 15-01-17 à 17:04

... ce qui donne :

A=\left(\sqrt{\dfrac{1}{4}+B} \quad +\quad \dfrac{1}{2}\right)^2


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