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Limites de suites encore

Posté par Saosao (invité) 20-03-05 à 12:03

Bonjour,
C'est encore moi avec mes problèmes de suites..
Voici 2exercices:

1er exo:
Soit (Un) la suite définie, pour tout entier n, par
Un=\sqrt{n+2}-\sqrt{n}
Démontrer que, pour tout entier n1:
Un=2/\sqrt{n+2}+\sqrt{n}
Ca j'ai réussi!

Mais après il faut démontrer que 0<Un1/\sqrt{n} et après il faut en déduire que la suite (Un) est convergente et préciser sa limite.
Là je comprends plus rien...

2ème exo:
Soit(Un) la suite définie par
Un=\frac{1}{n}(2+sin\sqrt{n}) pour tout entier n1

Démontrer que pour tout entier n1:
0Un\frac{3}{n}
En déduire que la suite (Un) est convergente et préciser sa limite

Merci de bien vouloir m'aider

Posté par titimarion (invité)re : Limites de suites encore 20-03-05 à 12:07

Salut
tu sais que \sqrt{n+2}>\sqrt n
Donc \sqrt{n+2}+\sqrt{n}>2\sqrt n
Ainsi U_n<\frac{1}{\sqrt n}
Ainsi tu as bien ton inégalité et par le théorème des gendarmes ou du pincement tu en déduis que un converge vers 0.

Posté par titimarion (invité)re : Limites de suites encore 20-03-05 à 12:09

Pour le 2 on a -1<sin(x)<1 et cela quelquesoit  x
Ainsi 0<2+sin(\sqrt n)<3
Ce qui te permet d'avoir l'encadrement voulu et comme précédemmment par le théorème du gendarme tu peux conclure.

Posté par Saosao (invité)re : Limites de suites encore 20-03-05 à 12:10

Ah oui j'y avais pas pensé merci beaucoup titimarion!

Posté par
Nightmarere : Limites de suites encore 20-03-05 à 12:11

Bonjour

Nous avons :
\sqrt{n+2}\ge 0
donc
\sqrt{n+2}+\sqrt{n}\ge \sqrt{n}
et donc :
0< \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}\le \frac{1}{\sqrt{n}}

Or , 0 et \frac{1}{\sqrt{n}} convergent tout deux vers 0 , donc d'aprés le théoréme des gendarmes , \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}} converge aussi vers 0

Pour le deuxiéme , sers toi du fais que -1\le sin(\sqrt{n})\le 1


jord

Posté par
Nightmarere : Limites de suites encore 20-03-05 à 12:11

Oups ,en retard Jord , salut titimarion


jord

Posté par Saosao (invité)re : Limites de suites encore 20-03-05 à 12:18

Merci aussi Nightmare,
Avec tout cela si j'ai pas compris, c'est que je suis mal réveillée..

Posté par
Nightmarere : Limites de suites encore 20-03-05 à 12:20


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