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limites de suites géométriques
Salut à tous .J'ai un petit problème avec un devoir de maths
.Cela fait quelques jours que je travaille dessus et rien à faire
j'ai bien réussi à répondre à quelques questions mais le reste
reste une énigme pour moi!j'èspere que vous pourrez me donner
quelques pistes. voici le sujet:
Pour une suite géométrique définie sur N, on a Un=Uo.Q^n
il faut étudier la convergence de cette suite dans plusieurs cas:
1)Soit q un réel strictement supérieur à 1 et x le nb positif tel que Q=1+x.
Soit n étant un un entier naturel, Pn, la propriété: (1+x)^n plus grand
ou égal à 1+nx.
A) Vérifier que Po est vrai
B)Prouver, que si Pn est vraie pour un entier natuel n donné alors Pn+1 est
vraie
C)En déduire que la limite de Q^n lorsque n tend vers +oo est +oo.
2)q est cette fois un réel positif strictement inférieur à 1.
A) comment utiliser la question 1 pour prouver que pour tout entier
naturel n non nul, 0
Q^n
(Q/Q-1)*/n?
voilà jespere que mon énoncé est lisible et que vous trouverez quelques
pistes car j'ai vraiment du mal à prouver ce qu'il me demande.Le
plus rapide serait le mieux je vous remercie beaucoup en esperant
qu'à mon tour je pourrais aider quelques un.voila bisou et merci
encore!
1) Pn(x): (1+x)^n>=1+nx
a)verifions que p0 est vraie:
P0: on remplace n par 0:
(1+x)^0>=1+0*x
1>=1 vrai !!!!
b)
supposons que Pn est vraie et essayons de prouver Pn+1
(1+x)^(n+1)=(1+x)*(1+x)^n
et d'apres PN:
(1+x)^(n+1)>=(1+x)*(1+nx)
(1+x)^(n+1)>=1+nx+x+nx2
(1+x)^(n+1)>=(1+(n+1)x)+nx2
(1+x)^(n+1)>=(1+(n+1)x) car x2 est positif
on vient d'ecrire que Pn+1 est vraie !!!
par recurence comme Pn entraine Pn+1 et que P0 est vrai alors Pn est
vrai pour tout n
c) en d'autres termes on a prouvé que
Q^n>=1+nx pour tout n
si n tend vers +inf 1+nx tend vers +inf
Q^n est "plus grand" que +inf donc Q^n tend vers +inf
2)on prend les resultat de la question d'avant mais avec
q=1/q (comme ca on a bien un nombre plus petit que 1...)
tout a l'heure on avait;
Q^n>= 1+n(Q-1)
donc en inversant
(1/Q)^n >= 1+n(1/Q-1)=1+n(Q-1)/Q
1/Q^n >= n(Q-1)/Q
et en changeant le signe de l'inegalité
Q^n <= Q/(Q-1)/n
Voila j'éspere avoir été compréhensible,
sinon renvoie un mail 
A+
guillaume
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