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limites de suites géométriques

Posté par Oriane (invité) 21-02-03 à 14:15

Salut à tous .J'ai un petit problème avec un devoir de maths
.Cela fait quelques jours que je travaille dessus et rien à faire
j'ai bien réussi à répondre à quelques questions mais le reste
reste une énigme pour moi!j'èspere que vous pourrez me donner
quelques pistes. voici le sujet:
Pour une suite géométrique définie sur N, on a Un=Uo.Q^n
il faut étudier la convergence de cette suite dans plusieurs cas:
1)Soit q un réel strictement supérieur à 1 et x le nb positif tel que Q=1+x.
Soit n étant un un entier naturel, Pn, la propriété: (1+x)^n plus grand
ou égal à 1+nx.
A) Vérifier que Po est vrai
B)Prouver, que si Pn est vraie pour un entier natuel n donné alors Pn+1 est
vraie
C)En déduire que la limite de Q^n lorsque n tend vers +oo est +oo.

2)q est cette fois un réel positif strictement inférieur à 1.
A) comment utiliser la question 1 pour prouver que pour tout entier
naturel n non nul, 0Q^n (Q/Q-1)*/n?

voilà jespere que mon énoncé est lisible et que vous trouverez quelques
pistes car j'ai vraiment du mal à prouver ce qu'il me demande.Le
plus rapide serait le mieux je vous remercie beaucoup en esperant
qu'à mon tour je pourrais aider quelques un.voila bisou et merci
encore!

Posté par Guillaume (invité)re : limites de suites géométriques 21-02-03 à 20:48

1) Pn(x): (1+x)^n>=1+nx

a)verifions que p0 est vraie:
P0:  on remplace n par 0:
(1+x)^0>=1+0*x
1>=1 vrai !!!!

b)
supposons que Pn est vraie et essayons de prouver Pn+1

(1+x)^(n+1)=(1+x)*(1+x)^n
et d'apres PN:
(1+x)^(n+1)>=(1+x)*(1+nx)
(1+x)^(n+1)>=1+nx+x+nx2
(1+x)^(n+1)>=(1+(n+1)x)+nx2
(1+x)^(n+1)>=(1+(n+1)x) car x2 est positif
on vient d'ecrire que Pn+1 est vraie !!!

par recurence comme Pn entraine Pn+1 et que P0 est vrai alors Pn est
vrai pour tout n

c) en d'autres termes on a prouvé que
Q^n>=1+nx pour tout n
si n tend vers +inf 1+nx tend vers +inf
Q^n est "plus grand" que +inf donc Q^n tend vers +inf

2)on prend les resultat de la question d'avant mais avec
q=1/q  (comme ca on a bien un nombre plus petit que 1...)

tout a l'heure on avait;
Q^n>= 1+n(Q-1)

donc en inversant
(1/Q)^n >= 1+n(1/Q-1)=1+n(Q-1)/Q
1/Q^n >= n(Q-1)/Q  
et en changeant le signe de l'inegalité

Q^n <=  Q/(Q-1)/n

Voila j'éspere avoir été compréhensible,
sinon renvoie un mail

A+
guillaume



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