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limites des suites/suites

Posté par houppp (invité) 13-03-04 à 20:12

la suite (Un) est definie par U0=0 et pour tt n de N :
U(n+1)=(2Un+1)/(Un+2)

1- utiliser la représentation graphique de la fonction qui a x associe (2x+1)/(x+2) pour placer sur l'axe des abscisses les quatres premiers termes de la suite (Un).    ca j'ai fais!.que peut on conjecturer quant a la convergence de cette suite?

2- a) pour demontrer cette conjecture on pose, pour tt n de N, (Vn)=(1+Un)/(2-2Un).
b) demontrer que cette nouvelle suite est géométrique et donner sa raison

3- ecrire vn en fct de n puis un en fct de n. donner alors la limite de la suite (Un)

merci de m'aider...

Posté par
Victor
re : limites des suites/suites 13-03-04 à 22:08

Bonsoir,

V(n+1)=(1+U(n+1))/(2-2U(n+1))
=(1+(2Un+1)/(Un+2) )/(2-2(2Un+1)/(Un+2))
=((Un+2+2Un+1)/(Un+2))*((Un+2)/(2Un+4-4Un-2))
= (3Un+3)/(-2Un+2)
= 3Vn
Donc la suite Vn est géométrique de raison 3 et de premier terme
V0=(1+U0)/(2-2U0)=1/2
Donc Vn=V0*q^n
Vn=(3^n)/2

Il faut ensuite exprimer Un en fonction de Vn puis en fonction de n
:
Vn(2-2Un)=1+Un
2Vn-1=Un(1+2Vn)
Un = (2Vn-1)/(1+2Vn)
Un = (3^n-1)/(3^n+1)

En factorisant 3^n au numérateur et au dénominateur de Un, on a :
Un=(1-1/3^n)/(1+1/3^n)
Or lim(n->+inf)(1/3^n)=0
Donc lim(n->+inf)(Un)=1

@+



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