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Limites en 0.

Posté par
matheux14 24-08-20 à 18:54

Bonsoir ,

Merci d'avance. )

Calculer les limites suivantes :

a) \lim_{x\to 0} \dfrac{x}{sin(x)}

b) \lim_{x\to 0} \dfrac{sin(5x)}{2x}

c) \lim_{x\to 0} \dfrac{tan(x)}{2x}

d) \lim_{x\to 0} \dfrac{tan(2x)}{tan(3x)}

Réponses

a) On sait que -1 \le sin(x) \le 1

*Si x\ge 0 , -x \le \dfrac{x}{sin(x)} \le x.

*Si x \le 0 , -x \ge \dfrac{x}{sin(x)} \ge x

Or \lim_{x\to0}-x=0 et \lim_{x\to0}x=0.

Donc \lim_{x\to0}\dfrac{x}{sin(x)}=0.

b) On sait que


-1 \le sin(5x) \le 1

* -\dfrac{1}{2x} \le \dfrac{sin(5x)}{2x} \le \dfrac{1}{2x} si x\in ]0;+\infty[.

* -\dfrac{1}{2x} \ge \dfrac{sin(5x)}{2x} \ge \dfrac{1}{2x} si x\in ]-\infty ;0[.

Or \lim_{x\to0}-\dfrac{1}{2x}=-\infty et  \lim_{x\to0}\dfrac{1}{2x}=+\infty.

Donc \lim_{x\to0 }\dfrac{sin(5x)}{2x}=+\infty (par valeurs supérieures) (1)

Et \lim_{x\to0 }\dfrac{sin(5x)}{2x}=-\infty (par valeurs inférieures) (2)

(1)≠(2) , \lim_{x\to0 }\dfrac{sin(5x)}{2x} n'existe pas.

Pour les tangentes je n'arrive pas à décoller...

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 19:00

bonjour
connais tu la limite de sin(x)/x en 0?

Posté par
Kernelpanicre : Limites en 0. 24-08-20 à 19:03

Bonjour,

pour la (a), suivre l'indication de bbjhakan.

Pour la (b), faire apparaître un taux d'accroissement en utilisant les formules trigonométriques ( sin(a+b) = ... ).

Je laisse d'autres intervenants pour la suite, je m'en vais.
Bonne soirée

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 19:08

pour la (b) on peut encore utiliser mon indication sans à avoir passé par la transformation proposée

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 19:13

on peut d'ailleurs l'utiliser judicieusement pour chacune des questions

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 19:18

bbjhakan @ 24-08-2020 à 19:00

bonjour
connais tu la limite de sin(x)/x en 0?
oui , c'est 1

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 19:23

et bien \dfrac{x}{sin(x)}=\dfrac{1}{\frac{sin(x)}{x}}

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 19:31

Ah d'accord , donc a) c'est 1.

b) Je fais comment ?

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 19:34

vois-tu comment faire apparaitre une limite semblable à sin(x)/x modulo 1 changement de variable?

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 19:35

Pas vraiment ..

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 19:36

si tu poses X=5x, as-tu une idée?

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 19:37

Non , toujours pas ...

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 19:39

1=\dfrac{5}{5} sachant que tu veux faire apparaitre

\dfrac{sin(X)}{X} avec X=5x..

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 19:45

Mais au dénominateur on n'a pas 5x encore , on a 2x or 5x=X pourquoi un X au dénominateur sachant que c'est 2x ?

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 19:47

parce que tu peux écrire \dfrac{sin(5x)}{2x}=\dfrac{5}2 \dfrac{sin(5x)}{5x} pour ensuite utiliser la limite connue..

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 19:52

Ah d'accord , je vois ..

Donc b) c'est 5/2

c) Comment faire ?

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 19:53

Est ce pareil que b) ?

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 19:56

oui en écrivant la tangente comme un quotient de sinus par cosinus et en utilisant une technique similaire

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 20:05

Ça va faire sin(x)/cos(x)=1/(cos(x))×sin(x)=1×0=0

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 20:06

J'ai oublié de mettre les ''lim''

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 20:11

on te demande la limite de tan(x)/(2x) en 0 pas de tan(x) !!

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 20:18

Oui , une erreur de frappe de ma part en copiant l'énoncé ..

Mais c'est pas grave ..

Alors c'est juste si c'était tan(x)/x ?

\lim_{x\to0}\dfrac{tan(x)}{2x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\frac{sin(x)}{cos(x)}}{2x} je bloque là ..

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 20:21

non ta limite n'est pas juste s'il s'agit de tan(x)/x t'as oublié le x au dénominateur

pourtant il suffit de faire comme précédemment

\dfrac{tan(x)}{2x}=\dfrac{1}{2cos(x)}\dfrac{sin(x)}x  et là tu connais chacune des limites en 0 puis par produit

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 20:26

Je trouve 1/2

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 20:27

une idée pour le dernier?

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 20:30

d) \lim_{x\to0}\dfrac{\frac{sin(2x)}{cos(2x)}}{\frac{sin(3x)}{cos(3x)}}=1/1=1

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 20:33

d'où sors-tu ces limites?
t'as pas des limites du genre \dfrac{sin(x)}{x} mais \dfrac{sin(x)}{cos(x)} c'est pas du tout pareil

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 20:35

Comment faire ?

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 20:37

comme pour la (b) en faisant apparaître les facteurs qui nous arrangent..

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 20:47

On a

\lim_{x\to0}\dfrac{\frac{sin(2x)}{cos(2x)}}{\frac{sin(3x)}{cos(3x)}}

*\lim_{x\to}\dfrac{sin(2x)}{cos(2x)}=sin(2x)×\dfrac{1}{cos(2x)}=0×1=0

*\lim_{x\to}\dfrac{sin(3x)}{cos(3x)}=sin(3x)×\dfrac{1}{cos(3x)}=0×1=0

Un dénominateur n'étant jamais nul , cette limite n'existe pas.

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 20:49

Ou encore une forme indéterminée puisque le numérateur et le dénominateur sont nul ..

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 20:53

cette limite existe bien..
tu ne prends pas en compte mes remarques..

à la question (b) on avait \dfrac{\sin(5x)}{2x}  et l'on voulait faire apparaître \dfrac{\sin(5x)}{5x} donc on a multiplié numérateur et dénominateur par 5 (ce qui revient à multiplier par 1) et on avait donc

\dfrac{\sin(5x)}{2x}=\dfrac{5}{2}\dfrac{\sin(5x)}{5x}


maintenant, tu as

\dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\dfrac{\cos(3x)}{\sin(3x)}
comment faire apparaître \dfrac{\sin(2x)}{2x}   et \dfrac{\sin(3x)}{3x} (ou du moins son inverse)?

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 21:02

Je ne vois pas vraiment , si j'avais \dfrac{sin(2x)}{3x} , j'aurais dit \dfrac{2}{3}×\dfrac{sin(2x)}{2x}

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 21:03

Mais avec le sinus et le cosinus au dénominateur , je m'y perds..

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 21:11

c'est bien ça

\dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \dfrac{\cos(3x)}{\sin(3x)} = \dfrac{\cos(3x)}{\cos(2x)} \dfrac{\sin(2x)}{2x}\dfrac{2x}{\sin(3x)}
ainsi de suite..

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 21:11

et tu fais de même avec le sin(3x) pour avoir que des limites connues et le tour est joué

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 21:15

Bon .. je suis obligé d'accepter comme çà , sinon je ne comprends pas ..

Peut être que c'est ainsi .. Il n'y a rien à comprendre ..

Mais j'aimerais connaître au moins la technique ..

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 21:24

si tu ne comprznds pas tu peux toujours développer à l'aide des formules trigonométriques mais ce sera bien plus calculatoire et bien plus long à faire

ici j'utilise simplement qu'à chaque fois

\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x}=0


comment je le fais? je fais apparaitre ce terme dans chacun de mes calculs

par exemple dans le cas (c) avec

\dfrac{\tan(x)}{2x}=\dfrac{1}{2\cos(x)}\dfrac{\sin(x)}{x} c'est immédiat


en revanche dans le dernier cas, je n'ai pas le facteur "x" dans mon expression, donc je le fais apparaître:

Comme 1=\dfrac{2x}{2x} (avec x non nul), j'écris que

\dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\dfrac{\cos(3x)}{\sin(3x)}=1 \times \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\dfrac{\cos(3x)}{\sin(3x)}= \dfrac{2x}{2x} \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\dfrac{\cos(3x)}{\sin(3x)}

puis j'écris les facteurs dans l'ordre qui m'arrange pour faire apparaitre les expressions qui me conviennent.
me suis-tu jusque là?

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 21:28

Oui , je vois mieux maintenant..

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 21:35

donc maintenant j'obtiens donc en écrivant comme ça m'arrange

\dfrac{\cos(3x)}{\cos(2x)}\dfrac{\sin(2x)}{2x}\dfrac{2x}{\sin(3x)}  et maintenant je fais apparaitre l'inverse sin(3x)/(3x)  avec 1=3x/(3x)  et donc

\dfrac{\cos(3x)}{\cos(2x)}\dfrac{\sin(2x)}{2x}\dfrac{2x}{\sin(3x)}  = \dfrac{3x}{3x}\dfrac{\cos(3x)}{\cos(2x)}\dfrac{\sin(2x)}{2x}\dfrac{2x}{\sin(3x)}=\dfrac{2}{3} \dfrac{\cos(3x)}{\cos(2x)}\dfrac{\sin(2x)}{2x}\dfrac{3x}{\sin(3x)} et là on connait toutes les limites

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 21:43

Je ne comprends pas comment on passe de là \dfrac{2x}{2x} \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\dfrac{\cos(3x)}{\sin(3x)} à

\dfrac{\cos(3x)}{\cos(2x)}\dfrac{\sin(2x)}{2x}\dfrac{2x}{\sin(3x)}  

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 21:44

c'est la commutativité de la multiplication à savoir a\times b\times c = b\times a\times c = c\times b \times a (on l'écrit dans l'ordre qu'on veut)

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 21:51

Ok  çà y est j'ai compris !

On trouve à la fin 2/3

Merci

Posté par
bbjhakanre : Limites en 0. 24-08-20 à 21:53

oui c'est bien ça
si tu ne comprends pas pourquoi je t'ai fait procéder de la sorte essaie de faire en développant à l'aide des formules trigonométriques..
ressaie ces exos à tête reposée plus tard et reviens poser des questions si tu as toujours du mal!

Posté par
matheux14re : Limites en 0. 24-08-20 à 22:14

OK


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