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limites et continuité

Posté par beba (invité) 12-01-04 à 15:03

Soit f la fonction définie par f(x) =x -racine carrée de x
1) Démontrer que V x appartenant à l'intervalle 4 ouvert à + l'infini,
f(x) > racine carrée de (x).
2) a) Trouver un nombre réel A pour lequel x>A => f(x) > 10 à la puissance
4.
      b) B étant un nombre réel strictement positif, trouver un nombre
réel A pour lequel x>A => f(x) > B
      c) En déduire la limitede f en + l'infini

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : limites et continuité 12-01-04 à 15:42

V(x) > 4
x > 16

g(x) = f(x) - V(x) = x - 2V(x)
g '(x) = 1 - (2/(2V(x)))
g'(x) = 1 - (1/V(x))
g '(x) = (V(x) - 1)/V(x)
g'(x) > 0 pour x > 16
g(16) = 16 - 2*4 = 8

et donc g(x) > 0 pour V(x) > 4.
f(x) - V(x)  > 0 pour V(x) > 4.
f(x) > V(x) pour V(x) > 4.
-----
2)
a)
f '(x) = 1 - (1/(2V(x)))
f '(x) > 0  pour x > 1/4 et donc f(x) est croissante.

f(x) = 10000 pour x - V(x) = 10000
V(x) = x - 10000
x = x² - 20000x + 100000000
x² - 20001x + 100000000 = 0
x = 10100,50125

A = 10100,50125

Comme f(x) est croissante pour x > 1/4 et que f(A) = 10000, on aura:
Si x > A => f(x) > 10^4
---
b)
f(x) = B pour x - V(x) = B
V(x) = x - B
x = x² -2xB + B²
x² -x(2B+1) + B² = 0
x = [(2B+1) + V((2B+1)²-4B²)]/2
x = [(2B+1) + V(4B²+4B+1-4B²)]/2
x = [(2B+1) + V(4B+1)]/2
A = [(2B+1) + V(4B+1)]/2
A existe quel que soit B > 0 et donc comme f(x) est croissante si x
> 1/4, on a :
x>A => f(x) > B > 0
---
c) Comme on peut choisir B aussi grand que l'on veut et qu'il
sera toujours possible de trouver un nombre réel A tel que f(x) >
B pour x > A, la lim(x->oo ) f(x) = oo
-----
Sauf distraction.



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