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Limites et continuité2

Posté par Beba (invité) 12-01-04 à 15:13

Soit la fonction f définie par f(x) = x+2 / x+1
1) Démontrer que V x appartenant à R + étoile , |f(x) -1| < 1/x
2) a) Trouver un nombre réel A pour lequel x>A =>|f(x) -1|< 10 à la
puissance -4.
     b) epsilon étant un nombre réel strictement positif, trouver
un nombre réel x >A => |f(x)-1| < epsilon
    c) en déduire la limite de f en + l'infini

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Limites et continuité2 12-01-04 à 16:22

Je suppose f(x) = (x+2)/(x+1)

1)
f(x) - 1 = ((x+2)/(x+1)) - 1
f(x) - 1 = (x+2-x-1)/(x+1)
f(x) - 1 = 1/(x+1)

Avec V(x) dans R+*, x est aussi dans R+*
f(x) - 1 est alors > 0 et |f(x) - 1| = 1/(x+1)

et donc |f(x) - 1| < 1/x
-----
2)
a)
f '(x) = (x+1-x-2)/(x+1)²
f '(x) = -1/(x+1)²  
f '(x) < 0 dans R*+ -> f(x) est décroissante.

Si |f(x) - 1| = 10^-4
1/(x+1) = 10^-4
x + 1 = 10000
x = 9999
A = 9999
et comme f(x) est décroissante, si x > A, on aura |f(x)-1| < 10^-4
---
b)
Si |f(x) - 1| = epsilon
1/(x+1) = epsilon
x + 1 = 1/epsilon
x = (1/epsilon) - 1
x = (1 - epsilon)/epsilon  (comme x est dans R+*, epsilon doit être
dans ]0 ; 1[)
A = (1 - epsilon)/epsilon
et comme f(x) est décroissante, si x > A, on aura |f(x)-1| < epsilon.
---
c)
Comme on peut choisir epsilon aussi petit que l'on veut dans ]0 ;
1[, et qu'il est toujours possible de trouver un nombre réel
A tel que x >A => |f(x)-1| < epsilon, on a:
lim(x->oo) f(x) - 1 = 0
lim(x->oo) f(x) = 1
-----
Sauf distraction.



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